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生活中满分，学校里零分：纸面之外的数学

20 世纪 80 年代初，巴西伯南布哥联邦大学的三位研究者——特雷济尼娅·努内斯·卡拉赫、戴维·卡拉赫和阿纳卢西亚·施利曼——来到累西腓的集市，和卖椰子、玉米和爆米花的 9 到 15 岁的孩子们交谈。他们装成顾客，在买东西时出算术题。之后，他们又带着同样的题目回来，按学校的方式写在纸上。 研究结果于 1985 年以《街头与学校里的数学》（Mathematics in the streets and in schools）为题发表，从此出名。在集市上，孩子们答对了约 98% 的题目。同样的题目写成应用题时，约答对 74%。写成没有情境的竖式计算时，约 37%。作者们后来在巴西出版的书，用书名概括了这一情形：Na vida dez, na escola zero（1988），“生活中满分，学校里零分”。 两种计算方式 变的不是算术，而是记号。在研究记录的一段对话中，一位顾客问四个椰子多少钱，每个 35 克鲁塞罗。男孩回答大致是：“三个是一百零五；再加三十，一百三十五；再加五，一百四十。”他从一个已经背熟的价格（三个椰子）出发，一块一块地加，每一步都知道每个数是什么：钱，椰子。 在纸上，同样的计算变成 $35 \times 4$，按列竖写，还要进位。书面算法之所以强大，恰恰因为它忘掉了意义：它对椰子、米或年同样适用。但意义一忘，学生也就失去了掌控：如果某一位算错了，他不会察觉四个椰子卖 $1400$ 克鲁塞罗是荒谬的。在街头，这种掌控从不丧失。 民族数学 巴西数学家乌比拉坦·丹布罗西奥（1932–2021）从 20 世纪 70 年代起，为研究这些存在于学校之外的数学的领域起了名字：民族数学（etnomatemática），即在每个文化环境（ethno）中解释和应对（mathema）现实的方式（tica）。集市小贩、泥瓦匠、裁缝、渔民、原住民：他们都在计数、度量、比较和计算，用的是自己的记号和程序，而且往往是口头的。 乌比拉坦·丹布罗西奥于 2001 年接受国际数学史委员会颁发的肯尼斯·O·梅奖章。International Commission on the History of Mathematics · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0 在莫桑比克，数学家保卢斯·格尔德斯研究了 sona，这是安哥拉乔奎人在沙地上画的图案：一条连续的线绕着点阵而行，手指不离开地面。它们背后有一些可以用最大公约数和对称性写出来的规律。民族数学并不是说这些实践是换了衣服的学校数学；它是说，这些是真正的知识，而学校从它们出发而不是无视它们，就会有所收获。 民族数学是由文化群体所实践的数学，例如城市和农村社区、工人群体、职业阶层、某一年龄段的儿童、原住民社会，以及许许多多以共同的目标和传统相认同的其他群体。 — 乌比拉坦·丹布罗西奥《民族数学：传统与现代之间的纽带》（2001） 桥梁 对记号而言，这个教训是双重的。学校的书写并不是数学思维的唯一方式，在纸上失败的学生在生活中可能是熟练的计算者。但学校的书写提供了口头计算所没有的东西：一般性、记录，以及检验和传承的可能。好的教学在两者之间架起桥梁：从“三个是一百零五”出发，说明 $4 \times 35 = 3 \times 35 + 35$ 是同一件事的另一种写法。

October 26, 2026 阅读
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参考文献与图片来源

延伸阅读 Seron, Xavier; Fayol, Michel. Number transcoding in children: a functional analysis. British Journal of Developmental Psychology, 12, 1994, pp. 281–300. Miura, Irene T.; Kim, Chungsoon C.; Chang, Chih-Mei; Okamoto, Yukari. Effects of language characteristics on children’s cognitive representation of number: cross-national comparisons. Child Development, 59, 1988, pp. 1445–1450. Skemp, Richard R. Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 1976, pp. 20–26. Gray, Eddie M.; Tall, David O. Duality, ambiguity, and flexibility: a “proceptual” view of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), 1994, pp. 116–140. Halliday, Michael A. K. Language as Social Semiotic. London: Edward Arnold, 1978. 关于数学语域的一章。 Pimm, David. Speaking Mathematically: Communication in Mathematics Classrooms. London: Routledge & Kegan Paul, 1987. Baruk, Stella. L’âge du capitaine: de l’erreur en mathématiques. Paris: Seuil, 1985. Brousseau, Guy. Théorie des situations didactiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1998. Pólya, George. How to Solve It. Princeton: Princeton University Press, 1945. 中译本：波利亚《怎样解题》。 Matz, Marilyn. Towards a process model for high school algebra errors. In: Sleeman, D.; Brown, J. S. (eds.). Intelligent Tutoring Systems. London: Academic Press, 1982, pp. 25–50. Gray, Jeremy J. A commentary on Gauss’s mathematical diary, 1796–1814, with an English translation. Expositiones Mathematicae, 2, 1984, pp. 97–130. Berndt, Bruce C. Ramanujan’s Notebooks, parts I–V. New York: Springer, 1985–1998. Kanigel, Robert. The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. New York: Scribner, 1991. Halmos, Paul R. How to write mathematics. L’Enseignement Mathématique, 16, 1970, pp. 123–152. Knuth, Donald E.; Larrabee, Tracy; Roberts, Paul M. Mathematical Writing. Washington: Mathematical Association of America, 1989. Nemeth, Abraham. The Nemeth Braille Code for Mathematics and Science Notation. Louisville: American Printing House for the Blind, 1972. 图片来源 图片 来源 许可 伊尚戈骨 维基共享资源 CC BY-SA 4.0，Joeykentin 尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基《心算》（1895） 维基共享资源 公共领域 高斯日记的第一条记录（1796） 维基共享资源 公共领域 高斯日记中的“ΕΥΡΗΚΑ”（1796） 维基共享资源 公共领域 拉马努金笔记本中的一页 维基共享资源 公共领域 《研究与发明》中的算术方块（1926） 维基共享资源 公共领域 交互图形（按读法写的数、错误规则和高斯的尤里卡）在本站的四种语言中都能使用。所下载图片的记录及每个文件的哈希值，见 data/semiotica_imagens.json。

October 26, 2026 阅读
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如何学会读写数学：指南与术语表

本章一路跟随着学习者：转写数字的孩子，读应用题的学生，写解答的学生。下面的指南汇集了在所有这些时刻都有帮助的习惯。 六个习惯 手里拿着铅笔读。 数学文本很密：一行可能抵得上一段。保罗·哈尔莫斯建议：“不要只是读，要和它较劲！”重做计算，自己举例，追问每一步为什么成立。 大声读。 把 $\sum_{k=1}^{n} k^2$ 说成“$k$ 的平方从 $k$ 等于一到 $n$ 求和”，会迫使你认出每一个部分。说话卡住的地方，阅读也卡住了。 计算之前先看形状。 最后一步运算是什么？有没有重复、对称、出现两次的数？波格丹诺夫-别尔斯基的黑板，是靠看解出来的。 双向翻译。 从文字到公式，给每个未知量起名字、配上单位；再从公式回到文字，检查它是否说了题目所说的话。 用数检验。 在相信一条规则之前，代入小的数值。一个反例就能推翻一条错误规则；很多例子不能证明一条正确规则，但能给人去寻找证明的信心。 为某个人而写。 完整的句子，公式之间有文字，在计算之前先说明目标。如果同学跟不上你的解答，它就还没写完。 对一份写得不好的解答的完整解读 一个学生交上来的“解方程 $2x + 3 = 11$”的解答是这样的： $$2x + 3 = 11 = 2x = 8 = x = 4.$$ 对的地方： 答案 $x = 4$，以及计算过程。 写下的东西： 一串等式，断言 $11 = 8 = 4$，这是错的。等号被当成了“然后”来用，这正是第4章说明必须区分开的用法之一。 学生遵循的规则： “按顺序写下我做的事，步骤之间用等号连接”，这是一条前后一致的规则，却把口语的语域和符号的语域混在了一起。 改写： “两边同减 $3$，得 $2x = 8$。两边同除以 $2$，得 $x = 4$。验算：$2 \cdot 4 + 3 = 11$。” 得到了什么： 现在每一行单独看都是对的，读者也知道两行之间做了什么。 术语表 转码。 把一个数从一种表示转到另一种表示，比如从口头数词转到书写数字。 转码错误。 照说话的方式一块一块地写数：把 trezentos e quatro（三百零四）写成 $3004$。 数学语域。 用来谈论数学的语言变体，日常词语带着约定的意思（韩礼德）。 教学契约。 学生和老师不言而喻地共同遵守的一套规则，比如“每道题都有答案”（布鲁索）。 关键词。 被当作运算指令的题目用词（“多”就加）。有时管用，常常误导。 约定。 约定好的、本可以是别样的规则：运算顺序、小数分隔符、$\sin^2 x$ 的意思。 错误规则。 通过类比正确规则而构造出的错误规则，比如由分配律得出 $(a+b)^2 = a^2 + b^2$（马茨）。 反例。 使一个一般断言不成立的情形。一个就足以推翻它。 程序概念。 既是一个过程、又是这个过程所产生的对象的符号，比如 $3+4$ 或 $13^2$（格雷和托尔）。 工具性理解与关系性理解。 知道怎样套用规则，以及同时知道规则为什么成立（斯肯普）。 线性记号。 写在一行之中、用开始与结束的符号代替位置的书写：内米斯的盲文、TeX、计算器。 练习：运用指南一个学生写道：“$\sqrt{x^2 + 9} = x + 3$，所以 $x = 4$ 时等于 $7$。”用第 5 个习惯检验。 当 $x = 4$ 时：$\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$，而不是 $7$。所用的规则 $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ 是类比分配律得出的错误规则；用数检验一次就能推翻它。等式 $\sqrt{x^2+9} = x + 3$ 只在 $x = 0$ 时成立。

October 25, 2026 阅读
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有道理的错误：错误规则

问一个班 $(a+b)^2$ 等于什么，会有一部分人回答 $a^2 + b^2$。问 $\sqrt{9 + 16}$ 等于什么，有人会说 $3 + 4 = 7$。这些错误如此常见，而且在不同学校之间如此相似，不可能是偶然。它们遵循着某条规则。 推广过头的规则 1982 年，美国研究者玛丽莲·马茨研究了高中生的代数错误，提出其中许多来自由正确规则构造出来的错误规则（malrules）。其中最"多产"的是分配律： $$a(b + c) = ab + ac.$$它是正确的，出现得早，而且时时都在用。学生学到“外面的东西要分配进每一项”，而在没有人说过不行的情况下，就把这个动作推广到一切看起来像“对一个和施加运算”的东西上： $$(a+b)^2 \overset{?}{=} a^2 + b^2, \quad \sqrt{a+b} \overset{?}{=} \sqrt{a} + \sqrt{b}, \quad \frac{1}{a+b} \overset{?}{=} \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad \sin(a+b) \overset{?}{=} \sin a + \sin b.$$它们全是错的。它们全都和分配律有同样的形状。从记号的角度看，学生把书写读得很好：看出一个视觉模式，并且一贯地应用它。缺少的是知道形状并不够：分配律对乘法成立，是因为乘法本身是什么，而不是因为括号长成什么样。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 反例这面放大镜 拆穿错误规则的工具是反例：只要一个它不成立的情形。取 $a = 3$、$b = 4$，$(a+b)^2 = 49$，而 $a^2 + b^2 = 25$。好了：这条规则就此作废。正确的规则，比如 $(ab)^2 = a^2 b^2$，经得起所有检验；上面的图可以让你试一试。

October 25, 2026 阅读
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没有人写下来的约定

每一种书写都有一些没有人记得自己学过的规则。中文现在从左往右、从上往下读；阿拉伯文从右往左读。数学书写也有这类规则，其中有些强到看起来像数学真理。其实不是：它们是约定，是本来可以是别样的协议。 运算顺序 $2 + 3 \cdot 4$ 等于多少？几乎所有人都回答 $14$：先乘后加。但数学里没有任何东西强迫这个顺序。如果约定是“从左到右”，答案就是 $20$。我们用的规则（先乘方，再乘除，最后加减）是在 16 到 19 世纪的代数书里慢慢固定下来的，因为它在最常见的式子里省括号：像 $3x^2 + 2x + 1$ 这样的多项式，换一种规则就没法读了。 在美国，学生把它记成 PEMDAS；在英国，记成 BODMAS。名字不同，约定一样，而它有一个漏洞，时不时就在社交网络上冒出来： $$6 \div 2(1+2) = \ ?$$严格照规则办事、在乘除之间从左到右算的人，先算 $6 \div 2 = 3$，再算 $3 \cdot 3 = 9$。把 $2(1+2)$ 当作一个整体来读的人，因为这里的乘法是隐含的、没有符号，就算 $6 \div 6 = 1$。两种读法都有人支持，一些科学出版规范倾向于第二种。重点不在于判定谁对，而在于看出这个式子写得不好。数学家绝不会这样写。他们会写 $\frac{6}{2}(1+2)$ 或 $\frac{6}{2(1+2)}$，疑问就消失了。 不守规矩的符号 $-3^2$。 乘方先于负号，所以 $-3^2 = -(3^2) = -9$。要得到 $9$，得写 $(-3)^2$。许多计算器和电子表格遵循这个约定；也有一些不遵循。 $\sin^2 x$。 它表示 $(\sin x)^2$，这是一个省掉一对括号的老习惯。但 $\sin^{-1} x$ 表示 $\arcsin x$，即反函数，而不是 $\frac{1}{\sin x}$。同一个符号上的同一个上标有两种意思，我们在第3章中见过。 $2a$ 与 $2\tfrac{1}{2}$。 数和字母并排写表示相乘：$2a = 2 \cdot a$。在使用带分数的书里，数和分数并排写表示相加：$2\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$。同样的并置，两种运算。 $f(x+1)$ 与 $a(x+1)$。 前者是函数 $f$ 在点 $x+1$ 处的值；后者是一个乘积。只有上下文才能说明括号前的字母是函数还是数。 逗号和小数点 在巴西，$1{,}5$ 是一点五，$1.500$ 是一千五百。在美国正好相反：$1.5$ 是一点五，$1,500$ 是一千五百。同一个写法 $1.000$，在一个国家表示一千，在另一个国家表示一。2003 年，国际计量大会接受了两种小数分隔符，并建议用窄空格分隔千位，如 $1\,500$，正是为了让数不取决于读者所在的国家。

October 25, 2026 阅读
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船长的年龄：从应用题到方程

20 世纪 70 年代末，法国格勒诺布尔的数学教学研究所（IREM）的研究人员给小学生出了一道奇怪的题： 船上有 26 只绵羊和 10 只山羊。船长几岁？ 这道题没有答案：题目里根本没有提到任何人的年龄。然而，根据教育家斯特拉·巴吕克在《船长的年龄》（L’âge du capitaine，1985）一书中使之出名的记述，97 个孩子中有 76 个给出了一个数，几乎都是 $36$，也就是题目中两个数的和。 隐藏的契约 这些孩子并不粗心。他们是在非常有逻辑地遵守学校没有明说却教给了他们的规则：每道题都有答案，答案是一个数，题目里的每个数都要用上，运算就是字面暗示的那一种。法国研究者居伊·布鲁索把这套不言明的规则称为教学契约。当契约比文字更重要时，文字就不再被阅读了。 误导人的关键词 契约中的一条是关键词规则：“多”就加，“剩下”就减，“每”就乘。它在很多课本习题里管用，所以根深蒂固。但只要把句子倒过来说： 安娜有 12 颗糖，比贝亚多 4 颗。贝亚有几颗糖？ 照“多”字办事的人会做加法，答 $16$。读懂的人会注意到贝亚的更少：$12 - 4 = 8$。用符号的语域写出来，题目是 $A = B + 4$，其中 $A = 12$；方程里有个“$+$”，可要求的计算却是减法。这个词描述的是数量之间的关系，而不是读者应该做的运算。 从文字到方程的这一步，是迪瓦尔意义上的表征系统之间的转换，我们在第2章中见过。当词语的顺序与符号的顺序不一致时，它恰恰最难。 波利亚的四个步骤 匈牙利数学家乔治·波利亚在《怎样解题》（How to Solve It，1945）中总结了一套至今仍然有用的步骤： 理解题目。 未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？能用自己的话把题目说出来吗？ 拟定计划。 你知道一道相关的题吗？能给各个量起名字，把条件写成方程吗？ 执行计划。 进行计算，检查每一步。 回顾。 答案说得通吗？单位对吗？回答了所提的问题吗？ 回答一个你不理解的问题是愚蠢的。 — 乔治·波利亚《怎样解题》（1945） 第一步就能救下格勒诺布尔的孩子们：未知量是一个人的年龄，而没有任何数据提到它。最后一步也能：$36$ 岁的船长说得过去，可是“这个 $36$ 是从哪里来的？”这个问题没有答案。 练习：倒过来的折扣打八折（便宜 $20\%$）之后，一件衬衫卖 40 雷亚尔。原价是多少？为什么“48 雷亚尔”这个答案是错的？ 设原价为 $p$，题目说的是 $0.8\,p = 40$，所以 $p = 50$。答案 $48$ 来自关键词：“便宜 20%”让人想去算 $40$ 的 $20\%$。但这 $20\%$ 是原价的，不是现价的。验算：$50$ 的 $20\%$ 是 $10$，$50 - 10 = 40$。

October 25, 2026 阅读
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一句话里的两种语言：数学语域

一篇用中文写的数学文章，同时是用两种语言写的。一种是符号的语言：$=$、$+$、$x$、$\sqrt{\ }$。另一种看上去是中文，却又不完全是：它用的是日常词语，但意思是数学家们约定好的，两者在同一句话里混在一起。 英国语言学家韩礼德（Michael Halliday）在 20 世纪 70 年代把这种语言变体称为数学语域。语域是与某种活动相联系的说话方式，比如厨房里的（“爆炒”、“勾芡”），或足球里的（“越位”、“定位球”）。数学语域还多一个麻烦：它的许多词在日常语言里早已存在，意思却不同，而意思改变的时候，读者并不会得到提醒。 改变意思的词语 英国数学教育家戴维·皮姆在《说数学》（Speaking Mathematically，1987）一书中收集了许多这样的例子。以下是其中一些： 积是乘法的结果，不是积攒下来的东西。 差是减法的结果；“7 和 3 的差是多少？”要的是 $4$，而不是“两个都是奇数”。 体积量的是空间。 根是正方形的边，就像我们在第1章中看到的，也是使多项式等于零的那个值。 正规、有理和实，并不是指平常、讲理和真实。 平均数可以是算术的、几何的、加权的；报纸上说的几乎总是其中一种。 最大的危险不在名词上，名词可以靠术语表解决。危险在那些小词上。 小词 “或”。 在日常生活里，“咖啡还是茶？”期待的是只选一样。在数学里，“$x > 0$ 或 $y > 0$”在两个都为正时也成立。数学里的“或”是相容的；不相容的那种必须说出来：“二者择一，但不能两个都是”。 “如果……那么……”。 “如果下雨，我就不去”通常会被理解成“不下雨的话我就去”。在数学里，“如果 $n$ 是 4 的倍数，那么 $n$ 是偶数”对那些不是 4 的倍数的数什么也没说：$6$ 是偶数却不是 4 的倍数，而这句话依然成立。要把两方面都说出来，数学用另一种说法，“当且仅当”，和另一个符号，即第4章中的 $\Leftrightarrow$。 “有些”。 “有些学生缺席了”在交谈中暗示并非全部缺席。在数学里，“有些素数是偶数”只是说“至少有一个”，即使全部都是，这句话也仍然成立。 “多几倍”。 “彼得的贴纸比安娜多三倍。”如果安娜有 $10$ 张，彼得有 $30$ 张（安娜的三倍），还是 $40$ 张（安娜的，再加上它的三倍）？词典和写作手册的意见并不一致。数学语域干脆换个说法来避免疑问：是……的三倍。 表示相加的“和”与表示要求的“和” 在“二和三是五”里，“和”是一次加法。在“$x > 2$ 且 $x < 5$”里，它是双重要求：两个条件同时成立，集合变得更小，而不是更大。同一个连词指挥着相反的运算，学习者得从上下文判断是哪一种。 学习语域 数学语域不能靠一纸定义表来学会。它和任何语言一样，要在使用中听到它、说它、被纠正。所以让学生把 $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$ 这样的句子大声读出来（“对所有实数 $x$，$x$ 的平方大于或等于零”）并不是浪费时间：这是从一种语言到另一种语言的过渡，它会显示出阅读在哪里出了问题。

October 25, 2026 阅读
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先读后算：波格丹诺夫-别尔斯基的画

1895 年，俄国画家尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基展出了一幅画，名为《心算。在拉钦斯基的民众学校里》。在一间乡村教室里，赤着脚的农家男孩们盯着黑板，有的手托着下巴，有一个正凑到老师耳边低声说话。黑板上写着： $$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}.$$ 尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基，《心算。在拉钦斯基的民众学校里》（1895）。莫斯科，特列季亚科夫画廊。Nikolai Bogdanov-Belsky · 维基共享资源 · 公共领域 这位老师确有其人。谢尔盖·拉钦斯基原是莫斯科大学的植物学教授，他放弃了学术生涯，回到自己出生的塔捷沃村教农民的孩子。他喜欢出一些看起来很庞大、却有捷径可走的算式。波格丹诺夫-别尔斯基本人就曾是他的学生。 不必做的算术 按阅读顺序计算的人，得把五个数平方，把三位数的结果加起来，再除以 $365$。可以做，但很长。先看一眼的人会注意到别的东西： $$10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365, \qquad 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365.$$分子是 $365 + 365$，答案是 $2$。分母上的 $365$ 就是线索：它提醒我们，分子应该能分成这么大的几块。 两条路的差别不在计算能力，而在阅读。一个式子有形状：在做任何计算之前，就能看出它是一个分数，分子是五个平方数之和，这些数是连续的。第2章说明了每个公式里都藏着一棵树；读得好，就是在爬树之前先看见树。 双面的符号 对拉钦斯基的学生来说，$13^2$ 既是一条指令（“把 13 乘以 13”），又是一样东西（数 $169$，可以和别的数相加）。数学教育家埃迪·格雷和戴维·托尔在 1994 年的一篇论文中，把这种双重角色称为程序概念（procept），即过程与概念的结合。同一个符号 $3+4$ 可以读成“把 3 和 4 相加”，也可以读成数 $7$；$\frac{a}{b}$ 可以读成“相除”，也可以读成一个可以和别的分数比较的分数。 按照格雷和托尔的说法，学得下去的学生和卡住的学生，差别很大程度上就在这里。只看到过程的人，每一步都得从头再做，淹没在冗长的计算里。能把符号当作对象的人，就能把它存起来、比较它、组合它。本书所说的能动的记号，正是允许这种转换的记号：写 $13^2$ 而不写“十三乘十三”，就把一项任务变成了一个对象。

October 25, 2026 阅读
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数数、说数、写数

现存最古老的书面数学是一根刻了痕的骨头。伊尚戈骨于 1950 年在爱德华湖畔被发现，那里位于刚果民主共和国与乌干达的边界上。它大约有两万年历史，上面刻着分成三列的一组组平行刻痕。没有人确切知道它们数的是什么。但想法很清楚：一样东西刻一道。 伊尚戈骨，沿着骨柄刻着一组组刻痕。布鲁塞尔自然科学博物馆。Joeykentin · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0 用第2章的话说，刻痕是一种图像符号：五道刻痕和五只羊相像，至少在数量上相像。所以这种书写不需要教，一看就懂。代价是长度：要写一千，就得刻一千道。 同一个数的三种表示 我们今天写的数恰好是刻痕的反面。数字 $3$ 并不像三样东西，而在 $304$ 里，$3$ 之所以值三百，只是因为它在第三位，就像我们在第1章中看到的那样。学数数的孩子必须把三种彼此毫不相像的表示联系起来： 数量，可以看到、摸到； 口头的数词，“三百零四”； 书写的数字，$304$。 数词和数字有不同的语法。说话是在加起一块块：三百、零、四。书写是在安放数字：$0$ 占据十位。在葡萄牙语和英语里，十位上的零在话里根本不出现：葡萄牙语说 trezentos e quatro，“三百和四”。孩子把听到的一块一块照写下来，就得到 $3004$：“三百”的 $300$ 后面跟着“四”的 $4$。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 这种错误有个名称，叫转码错误，许多国家都研究过。它是系统性的：恰恰出现在那些口头说法藏起了一个空位的数上，而一旦孩子明白每一位只放一个数字，而且只能放一个，它就几乎消失了。这不是粗心，而是忠实地执行了一条对说话有效、对书写无效的规则。 帮忙的语言和添乱的语言 在葡萄牙语里，十一到十五的名称是不透明的：onze 并不说“十和一”。英语的 eleven 和 twelve 更不透明。在法语里，$97$ 说成 quatre-vingt-dix-sept，“四个二十、十、七”：一个词里装着一整道算术，这是按二十计数留下的遗产。 在汉语和日语里，数的名称跟着写法走。十一就是“十一”；九十七就是“九十七”。位值的结构就在词语里面。一些比较研究，例如 Irene Miura 及其合作者在 20 世纪 80 年代末所做的研究，发现东亚儿童用积木表示十位和个位的能力，比同龄的美国儿童出现得更早。差别不只在语言上（学校和家庭也很重要），但它说明口头的数词可以帮助或妨碍对数字的阅读。 说出来的零 在汉语里，$1504$ 读作“一千五百零四”：“一千，五百，零，四”。语言把空位念了出来。葡萄牙语说 mil quinhentos e quatro，“一千五百和四”，十位上的零从口头上消失了，而孩子们恰恰在这里出错。 练习：读懂错误老师用葡萄牙语念 quinhentos e sete（“五百和七”）时，一个孩子写成 $5007$；念 dois mil e dez（“两千和十”）时，写成 $200010$。这个孩子遵循的是什么规则？ 她把说出来的每一块都写成一个完整的数，再把它们拼起来：$500$ 后面接 $7$ 得到 $5007$；$2000$ 后面接 $10$ 得到 $200010$。这条规则前后一致，所以错误会反复出现。缺少的是这样一个想法：$7$ 应当占据 $500$ 的个位，而不是站在它旁边：$500+7=507$，同样 $2000+10=2010$。

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