船长的年龄：从应用题到方程

20 世纪 70 年代末，法国格勒诺布尔的数学教学研究所（IREM）的研究人员给小学生出了一道奇怪的题：

船上有 26 只绵羊和 10 只山羊。船长几岁？

这道题没有答案：题目里根本没有提到任何人的年龄。然而，根据教育家斯特拉·巴吕克在《船长的年龄》（L’âge du capitaine，1985）一书中使之出名的记述，97 个孩子中有 76 个给出了一个数，几乎都是 $36$，也就是题目中两个数的和。

隐藏的契约

这些孩子并不粗心。他们是在非常有逻辑地遵守学校没有明说却教给了他们的规则：每道题都有答案，答案是一个数，题目里的每个数都要用上，运算就是字面暗示的那一种。法国研究者居伊·布鲁索把这套不言明的规则称为教学契约。当契约比文字更重要时，文字就不再被阅读了。

契约中的一条是关键词规则：“多”就加，“剩下”就减，“每”就乘。它在很多课本习题里管用，所以根深蒂固。但只要把句子倒过来说：

安娜有 12 颗糖，比贝亚多 4 颗。贝亚有几颗糖？

照“多”字办事的人会做加法，答 $16$。读懂的人会注意到贝亚的更少：$12 - 4 = 8$。用符号的语域写出来，题目是 $A = B + 4$，其中 $A = 12$；方程里有个“$+$”，可要求的计算却是减法。这个词描述的是数量之间的关系，而不是读者应该做的运算。

从文字到方程的这一步，是迪瓦尔意义上的表征系统之间的转换，我们在第2章中见过。当词语的顺序与符号的顺序不一致时，它恰恰最难。

匈牙利数学家乔治·波利亚在《怎样解题》（How to Solve It，1945）中总结了一套至今仍然有用的步骤：

回答一个你不理解的问题是愚蠢的。
— 乔治·波利亚《怎样解题》（1945）

第一步就能救下格勒诺布尔的孩子们：未知量是一个人的年龄，而没有任何数据提到它。最后一步也能：$36$ 岁的船长说得过去，可是“这个 $36$ 是从哪里来的？”这个问题没有答案。

练习：倒过来的折扣

打八折（便宜 $20\%$）之后，一件衬衫卖 40 雷亚尔。原价是多少？为什么“48 雷亚尔”这个答案是错的？

设原价为 $p$，题目说的是 $0.8\,p = 40$，所以 $p = 50$。答案 $48$ 来自关键词：“便宜 20%”让人想去算 $40$ 的 $20\%$。但这 $20\%$ 是原价的，不是现价的。验算：$50$ 的 $20\%$ 是 $10$，$50 - 10 = 40$。

练习：没有答案的题

下面两道题中哪一道能解？(a)“一个班有 30 个学生，其中 18 个是女生。有几个男生超过 10 岁？”(b)“一个班有 30 个学生，其中 18 个是女生。男生有几个？”

只有 (b)：$30 - 18 = 12$ 个男生。在 (a) 中，数据丝毫没有涉及年龄，任何数都是编出来的。一个好的课堂练习正是把有答案和没答案的题混在一起，让学生在计算之前先说出哪些能解。