微分学回答的问题是：已知一条曲线，它在每一点的切线是什么？17 世纪的数学家很快意识到，反过来的问题更难也更有用：已知切线必须具有的某种性质，曲线是什么？这个问题被称为切线的反方法，它是《分析讲义》第四册，也就是最后一册的主题。今天我们把它叫作解微分方程。

1638 年的一个问题

这类问题中最早的一个，是法国律师、业余数学家弗洛里蒙·德博纳在 1638 年向勒内·笛卡儿提出的。笛卡儿没能完全解出来。直到 1684 年，莱布尼茨发表了第一篇关于微积分的论文，证明所求的曲线涉及对数，问题才得到解决。这证明了新方法能解决旧几何力所不及的问题。

次切线为常数

当时的教科书里常见的一个经典例子用到了次切线。在曲线上的点 $(x, y)$ 处作切线，直到它与 $x$ 轴相交。次切线就是这个交点与纵坐标垂足之间的水平距离。切线在这段距离上升高了 $y$，所以斜率为 $y' = \frac{y}{s}$，即

$$s = \frac{y}{y'}.$$

哪条曲线的次切线在每一点都相等，等于常数 $k$？条件是 $y' = \frac{y}{k}$。分离变量，也就是把依赖于 $y$ 的都放到一边，依赖于 $x$ 的放到另一边：

$$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{k} \quad\Longrightarrow\quad \ln y = \frac{x}{k} + C \quad\Longrightarrow\quad y = A\,e^{x/k}.$$

次切线为常数的曲线是指数曲线，当时称为“对数曲线”。

箕舌线也是一个解

阿涅西曲线本身就是一个微分方程的解。取 $a = 1$，$y = \frac{1}{1 + x^2}$，其导数为

$$y' = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} = -2x \cdot \left(\frac{1}{1 + x^2}\right)^2 = -2x\,y^2.$$

也就是说，箕舌线是这样一条曲线：每一点切线的斜率等于 $-2x$ 乘以高度的平方。在下面的练习里，我们走反方向：从这个性质出发，重新得到这条曲线。

练习：重新得到箕舌线

解方程 $y' = -2x\,y^2$，条件为 $y(0) = 1$。

分离变量：$\frac{dy}{y^2} = -2x\,dx$。两边积分：$-\frac{1}{y} = -x^2 - C$，即 $\frac{1}{y} = x^2 + C$。$x = 0$ 时 $y = 1$，所以 $C = 1$。因此 $y = \frac{1}{1 + x^2}$，正是阿涅西曲线。

练习：次法线为常数

曲线上一点的次法线，是纵坐标垂足与法线（垂直于切线的直线）和 $x$ 轴交点之间的水平距离，它等于 $y\,y'$。哪条曲线的次法线为常数 $k$？

条件是 $y\,y' = k$。分离变量：$y\,dy = k\,dx$，积分得 $\frac{y^2}{2} = kx + C$。曲线为 $y^2 = 2kx + 2C$，是一条轴为水平方向的抛物线。例如取 $k = 2$，得 $y^2 = 4x + 2C$。

来源： Maria Gaetana Agnesi，Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana，第二卷（1749），第四册 · Gottfried Wilhelm Leibniz，“Nova methodus pro maximis et minimis”，Acta Eruditorum（1684） · Morris Kline，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times（1972），第 21 章。

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