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广义二项式：超越整数次幂

在学校里，我们学过展开 $(1+x)^2=1+2x+x^2$ 和 $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$。系数来自算术三角形（帕斯卡研究过它，而它早在帕斯卡之前就已为人所知）。对于正整数指数，展开式总会结束。 1664–1665 年冬天，还是学生的牛顿提出了一个从没有人如此大胆提出的问题：如果指数是 $\frac12$ 呢？或者 $-1$？$(1+x)^{1/2}$，也就是 $\sqrt{1+x}$，写成 $x$ 的幂之和会是什么样子？ 系数的规律 牛顿当时在读约翰·沃利斯的《无穷算术》，书中通过在数表之间插值来计算面积。沿着同样的思路，他注意到二项式系数遵循一个规律，而这个规律并不要求指数是整数： $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots$$每个系数都由前一个系数乘以 $\dfrac{\alpha-k}{k+1}$ 得到。如果 $\alpha$ 是正整数，到某一步因子 $(\alpha-k)$ 会等于零，此后所有项都消失：这就是学校里的二项式。如果 $\alpha$ 不是正整数，就没有哪个因子为零，求和会永远进行下去。 这个级数在 $|x|<1$ 时成立。超出这个范围，各项不减反增，求和就没有结果。 两个例子 当 $\alpha=-1$ 时，系数是 $1,-1,1,-1,\dots$，我们得到一个早已知道的级数，即等比级数： $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$当 $\alpha=\frac12$ 时，出现了新东西： $$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$牛顿并没有现代意义上的证明。他做的是验算：把这个级数自乘，发现各项相互抵消，最后只剩 $1+x$。用前三项试试： $$\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\right)^2=1+x+\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{4}\right)+\cdots=1+x+0\cdot x^2+\cdots$$$x^2$ 项消失了，正如应该的那样。后面的项也一样。 用加法开平方 要计算 $\sqrt{1.21}$，取 $x=0.21$： $$1+0.105-0.0055125+0.0005788125=1.1000663125.$$精确值是 $1.1$。只用四项，误差就已经落在小数点后第四位；第五项 $-5x^4/128\approx-0.000076$ 还能进一步改善。原本需要专门算法的开平方，变成了一连串的乘法和加法。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 “我羞于说出” 借助这样的级数，牛顿把对数和双曲线下的面积算到了几十位小数。多年后，他在给莱布尼茨的信中坦白：“我羞于说出我把这些计算进行到了多少位，因为那时我没有别的事可做。”那正是瘟疫年代，他被困在家中。 为什么重要 在此之前，无穷级数只是一些奇趣。牛顿把它们变成了工具：任何含有根式或分式的表达式都可以换成幂的和，而幂很容易求导和积分。他正是这样算出了没人会算的曲线下面积，我们将在面积一篇中看到。 牛顿直到 1676 年才公开解释这个方法，写在通过皇家学会秘书亨利·奥尔登堡转给莱布尼茨的两封信里。今天，这个公式是泰勒级数的一个特例。 练习：用三项近似计算 √1.04取 $x=0.04$：$1+0.02-\dfrac{0.0016}{8}=1+0.02-0.0002=1.0198$。下一项 $x^3/16$ 只有 $0.000004$；真实值是 $1.019804\ldots$

October 6, 2026 阅读
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1 到 100 之和

高斯最著名的故事发生在他大约 9 岁的时候。为了让课堂忙碌起来， Büttner 教授告诉学生将 1 到 100 之间的所有数字相加。几秒钟后，高斯 将黑板放在桌子上，并写上正确答案：5050。 （这个故事是由第一位传记作者讲述的 高斯的值，帐户中的确切数字可能有所不同，但想法是相同的。） 诀窍：将第一个与最后一个结合，第二个与倒数第二个结合，依此类推。 $$\begin{aligned} S &= 1 + 2 + 3 + \cdots + 98 + 99 + 100 \\ S &= 100 + 99 + 98 + \cdots + 3 + 2 + 1 \\ 2S &= \underbrace{101 + 101 + 101 + \cdots + 101 + 101 + 101}_{100 \text{ vezes}} = 10\,100 \\ S &= 5050. \end{aligned}$$ 对于任何 $n$，同样的想法给出

October 1, 2026 阅读
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坐标：几何变成代数

​​Geometry的大思想是给平面上的每个点一对数字。我们选择两条线 垂线（轴），并且点通过距它们的距离 $x$ 和 $y$ 定位。今天 我们称之为[笛卡尔平面](/cn/posts/basic/inteiro/funcoes/planocartesiano/），在 向他致敬（Cartesius 是笛卡尔的拉丁名字）。 有了坐标，图形就变成了方程。请看三个例子。 来自几何图形 (1637) 的页面。字母 a、b 表示已知值，幂写在顶部。勒内·笛卡尔·公共领域 两点之间的距离。 点 $P = (x_1, y_1)$ 和 $Q = (x_2, y_2)$ 组成，其中 点 $(x_2, y_1)$，直角三角形的边 $x_2 - x_1$ 和 $y_2 - y_1$。由定理 毕达哥拉斯： $$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$ 拖动P和Q：三角形的边为Δx和Δy，距离来自毕达哥拉斯定理。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 圆。 以 $(a, b)$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆是一组点， 距中心的距离为 $r$。使用上面的公式并平方：

September 30, 2026 阅读
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欧拉留给我们的语言

欧拉的部分影响在于那些似乎一直存在的事物。他创造或推广了： $f(x)$表示$x$的功能； 字母 $e$ 为自然对数的底，$e \approx 2{,}71828$； 字母$\pi$表示圆周长与直径之比（符号已 存在，但传播它的是欧拉）； $i$为虚数单位，同$i^2 = -1$； $\Sigma$ 表示总和。 等号与字母 π 符号也有诞生日。等号 $=$ 是威尔士人罗伯特·雷科德在 1557 年的《砺智石》（The Whetstone of Witte）一书中发明的，为的是不必一遍又一遍地写"等于"。他选了两条一样长的平行线，因为他解释说，没有什么东西比它们更相等了。字母 $\pi$ 是希腊词 periphéreia（圆周）的首字母，另一位威尔士人威廉·琼斯在 1706 年第一次以今天的含义使用它。欧拉从 1730 年代开始使用它，他的著作使它成为标准。 欧拉之眼诞生于这样的想法：通过欧拉的眼睛、通过历史和历史来看待数学。 拉丁语和希腊语的原始单词。许多符号在此过程中失去了意义。 根 square，例如，在拉丁语中它是基数quadratum，正方形的边：4的根是 一个正方形面积 4。 平方根作为平方的边。欧拉之眼系列 基数平方如何变成√（点击前进） radix quadratum 4 aequalis 2：“面积4的正方形的边等于2”。 抄写员缩写：rad quad 4 aq 2。 它们更缩写为：ra qua 4 aq 2。 还有更多：r q 4 aq 2。 直到r“吞掉”这个数字，成为我们今天使用的符号：$\sqrt{4} = 2$。 欧拉生活在一个伟大的转折点之中。我们在网站上讲述的方式是，数学经历了 五个时代： 0–1637绘图性质：欧几里得几何。 1637–1830解码本质：微积分，从笛卡尔到欧拉。 1830–1890模仿和设计自然：伽罗瓦群。 1890–1980控制性质：哈密顿向量和四元数。 1980–今天创造自然：曼德尔布罗特的分形几何。 数学时代：几何、微积分、群、向量和动力学。欧拉之眼系列 莱昂哈德·欧拉的所有主题 · ← 莱昂哈德·欧拉的一生 · 巴塞尔问题 →

September 29, 2026 阅读
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重排定理

从上学起我们就知道“加法交换律”：加数的顺序不影响和。对有限和来说，这是对的。对无穷和来说，却不然。最清楚的例子就出现在黎曼定义积分的那篇 1854 年的授课资格论文里。 和为 ln 2 的级数 交错调和级数 $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots$$是收敛的，它的和是 $\ln 2 \approx 0.6931$。但它有一种脆弱之处。如果把正项和负项分开，每一组单独加起来都是无穷大： $$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots = \infty, \qquad \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots = \infty.$$这个级数之所以收敛，只是因为正项和负项交替出现、不断相互抵消。像这样收敛、但各项绝对值之和为无穷大的级数，称为条件收敛的级数。 任何数 黎曼认识到，在条件收敛的级数中，可以通过重排各项得到任何和。选一个目标，比如 1.5，按下面的方法做： 加正项 $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots$，直到超过 1.5； 加负项 $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \cdots$，直到低于 1.5； 回到还没用过的正项，如此反复。 由于每一组单独都是无穷大，总有足够的项能再次越过目标。又由于各项越来越小，在目标附近的摆动也越来越小。重排后的级数之和恰好是 1.5。原级数的每一项都恰好出现一次，改变的只是顺序。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

October 31, 2026 阅读
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星云假说

1796 年的《宇宙体系论》是一本写给没有数学训练的读者的书。拉普拉斯在书里用散文讲述了天体力学的全部发现。在书的末尾，他在一条注释里——他自己说，是“带着对一切非观测或计算结果之物所应有的怀疑”——大胆提出了太阳系起源的解释。 《宇宙体系论》第二版扉页，1798 年（共和历七年）。Pierre-Simon Laplace · Wikimedia Commons · 公有领域 巧合得过分 拉普拉斯从人人皆知的事实出发。当时已知的行星都朝同一方向绕太阳运行，轨道几乎在同一平面上，而且接近圆形。它们的自转方向也相同，卫星绕行星的方向同样如此。把行星、卫星和自转加起来，拉普拉斯数出了 43 个运动，全都朝同一方向。 如果每个运动都可能偶然地朝这边或那边，概率各为 $\frac{1}{2}$，那么它们全部一致的概率是多少？第一个运动选定方向，其余 42 个必须跟随： $$\left(\frac{1}{2}\right)^{42} = \frac{1}{4\,398\,046\,511\,104} \approx \frac{1}{4.4 \times 10^{12}}.$$拉普拉斯写道，可以用“四万亿以上对一”打赌，这种排列有一个共同的原因。这是把概率推理用在天空上，非常有他的风格：他不只是说这个巧合很奇怪，而是把它量了出来。 旋转的云 他提出的原因是这样的。最初，太阳被一层巨大而炽热的大气——一团星云——包围着，它缓慢旋转，延伸到今天各行星轨道之外。云团冷却时会收缩，而收缩时转得越来越快，直到边缘处离心力等于引力，物质环便脱离出来。每个环聚集成一颗行星，旋转方向与原来的云团相同。卫星也以同样方式由行星的大气中产生。 为什么收缩的云会转得更快？这是角动量守恒，和花样滑冰运动员收拢双臂时加速旋转是同一个道理。质量为 $m$、距转轴 $r$、角速度为 $\omega$ 的物体，角动量为 $$L = m\,r^2\,\omega.$$没有外力矩时，$L$ 不变。如果云团收缩到原来半径的一半，$r^2$ 变为四分之一，为了补偿，$\omega$ 变为四倍： $$m\,r^2\,\omega = m\left(\frac{r}{2}\right)^2\omega' \quad\Rightarrow\quad \omega' = 4\omega.$$ 康德、拉普拉斯与角动量问题 四十年前的 1755 年，哲学家伊曼努尔·康德发表过类似的想法，认为太阳系由一团尘埃云形成。拉普拉斯似乎不知道康德的书，但到了 19 世纪，两种设想被合称为康德-拉普拉斯假说。它遇到了一个严重的反驳：太阳拥有太阳系 99.8% 的质量，却只有约 1% 的角动量；如果云团只是单纯收缩，太阳应该转得快得多。答案在 20 世纪才出现：磁场和星风让年轻的恒星减速，把角动量带到外面。今天，望远镜拍到了年轻恒星周围的原行星盘，比如金牛座 HL 星的盘，上面有环和缝隙，似乎正有行星在形成。现代理论与拉普拉斯的版本差别很大，但核心图景保留了下来：恒星和行星诞生于旋转的气体尘埃盘。 练习：收缩的恒星太阳半径约 $700\,000$ 千米，每 25 天自转一圈。如果它在不损失质量和角动量的情况下收缩到半径 10 千米，像一颗中子星那样，新的自转周期是多少？（假设质量分布的形状不变，因此 $L \propto r^2\omega$。） 半径缩小 $\frac{700\,000}{10} = 70\,000$ 倍，所以 $\omega$ 增大 $70\,000^2 = 4.9 \times 10^9$ 倍。周期按同样比例缩短：$25 \text{ 天} = 2\,160\,000$ 秒，$\frac{2\,160\,000}{4.9 \times 10^9} \approx 4.4 \times 10^{-4}$ 秒。不到半毫秒：这正是已知最快脉冲星的数量级。

October 30, 2026 阅读
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杠杆定律

早在阿基米德之前，人们就已经用杠杆撬石头、从井里打水、称量货物。阿基米德的新贡献，是把杠杆变成了一条定理。在《论平面图形的平衡》中，他从几条简单的公理出发，例如“等重物在等距离处平衡”，像欧几里得的《几何原本》那样推导出一般定律。 定律 无论是可公度的还是不可公度的量，当它们到支点的距离与它们的重量成反比时，就处于平衡。 — 阿基米德，《论平面图形的平衡》，第一卷，命题 6 与 7 如果重量 $P_1$ 在支点一侧距离 $d_1$ 处，重量 $P_2$ 在另一侧距离 $d_2$ 处，杠杆平衡的条件是 $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_2}{d_1} \quad\Longleftrightarrow\quad P_1\,d_1 = P_2\,d_2.$$离支点远的小重物可以平衡离支点近的大重物。乘积 $P \cdot d$，今天称为力矩，正是两边必须相等的量。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 证明的思路 最简单的情形可以说明论证的精神。假设左边距支点 1 处有一个 2 单位的重物，右边距支点 2 处有一个 1 单位的重物。把 2 单位的重物换成两个分开的单位重物，一个正好在支点上，另一个在左边距离 2 处。这两个重物的重心仍在距离 1 处，所以根据一条公理，平衡不变。但现在我们有三个相等的重物，位于 $-2$、$0$ 和 $+2$：一排关于支点对称的重物，显然是平衡的。阿基米德把这种推理推广到任意可公度的重量，把它们分成相等的单位；再用反证法推广到不可公度的情形。 重心 同一部著作还教人求平面图形的重心：图形放在针尖上能保持平衡的那一点。例如，阿基米德证明三角形的重心是三条中线的交点，位于每条中线从顶点算起的三分之二处。把整个图形看作重量集中在一点上，这个想法是他用来发现自己最伟大公式的方法的关键。 用杠杆撬动地球的阿基米德，伦敦《机械杂志》1824 年的版画。Mechanics Magazine · Wikimedia Commons · 公有领域 给我一个支点 “给我一个支点，我就能撬动地球”这句话，是 4 世纪的亚历山大的帕普斯记录下来的，离阿基米德已经五百多年，用的是多利斯方言，也就是叙拉古的方言。普鲁塔克讲的是实际的版本：据说阿基米德为了向希伦展示滑轮和杠杆的威力，独自一人把一艘满载的船推下了水。这句话是故意夸张的，下一个练习会说明原因。

October 29, 2026 阅读
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《分析讲义》

18 世纪中叶，想学微积分的人会遇到一个难题。牛顿和莱布尼茨的发明才有七十年历史，它的成果散见于科学期刊上的论文、书信，以及用拉丁语、法语和英语写成的书里，记号也各不相同。唯一有名的教科书，洛必达侯爵 1696 年的《无穷小分析》，只讲微分学。没有一本书能带着学生一步一步地从代数走到微分方程。 阿涅西的《分析讲义》就是这样一本书。 两卷四册 全书约一千页，分为四册： 有限量的分析（第一卷，1748）：代数、方程的解法、解析几何、圆锥曲线和其他曲线，以及“方程的作图”，即借助几何图形解方程。箕舌线就出现在这里。 微分学（第二卷，1749）：导数、切线、极大值、极小值与拐点。 积分学：积分、面积、体积、曲线的长度和级数。参见曲线下的面积。 切线的反方法：也就是今天所说的微分方程。 阿涅西并不打算介绍自己的发现。这本书的价值在于它的编排：每个主题都放在它所依赖的内容之后，每种方法都配有许多解出的例题，全部微积分都用莱布尼茨的记号书写，即 $dx$ 和 $\int$，后来证明这是最实用的记号。 玛丽亚·加埃塔纳·阿涅西像，埃内斯塔·莱尼亚尼·比西根据玛丽亚·隆吉的素描所作的雕版画，1812 年。Ernesta Legnani Bisi，据 Maria Longhi · Wikimedia Commons · 公有领域 用直尺和圆规解方程 书中最古老的部分展示了当时一种如今已经消失的习惯：除了用计算解方程，数学家还喜欢作出解，也就是把它画成一条线段。 最简单的例子是方程 $x^2 = ab$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的线段。把 $a$ 和 $b$ 首尾相接放在一条直线上，以整条线段 $a + b$ 为直径画半圆。在 $a$ 与 $b$ 的连接点处作垂线，交半圆于一点。这条垂线的长度 $h$ 就是方程的解：$h^2 = ab$。 为什么？由直径两端和半圆上那一点构成的三角形是直角三角形（它内接于半圆），而直角三角形斜边上的高把斜边分成两段，这两段的乘积等于高的平方。阿涅西还处理了复杂得多的情形，比如用两条圆锥曲线的交点作出三次和四次方程的解。 非凡的反响 1749 年，巴黎科学院的一个委员会审阅了这本书，认为它是这个主题上写得最完整、编排最好的著作。第二卷于 1775 年译成法语，并附有夏尔·博叙的补充。剑桥教授约翰·科尔森的英译本于 1801 年出版。 为什么用意大利语？ 当时，严肃的数学书都用拉丁语或法语写作。阿涅西用意大利语写，是因为这本书正如书名所说，是 ad uso della gioventù italiana，供意大利青年使用的。她本人从小就精通拉丁语。这一选择使这本书成为意大利科学语言史上的里程碑，但在译本出现之前，也限制了它在意大利以外的流传。 练习：几何平均证明在上面的作图中，$h^2 = ab$。 设半圆上的点为 $C$，垂足为 $D$。圆心在直径的中点，半径为 $r = \frac{a + b}{2}$。$D$ 到圆心的距离是 $\left|\frac{a+b}{2} - a\right| = \frac{|b - a|}{2}$。在由圆心、$D$ 和 $C$ 构成的三角形中用勾股定理： $$h^2 = r^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2 - (b-a)^2}{4} = \frac{4ab}{4} = ab.$$ 线段 $h = \sqrt{ab}$ 是 $a$ 和 $b$ 的几何平均。

October 28, 2026 阅读
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行列式与置换

1812 年 11 月 30 日，来自瑟堡的年轻工程师在法兰西学会宣读了一篇标题很长的论文：论那些在变量互换时只能取两个大小相等、符号相反的值的函数。标题背后，是第一套一般的行列式理论。 会变号的函数 取三个变量 $a_1, a_2, a_3$，以及它们之差的乘积 $$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$如果交换 $a_1$ 和 $a_2$，每个因子要么不变，要么变号，总的结果是 $\Delta$ 变成 $-\Delta$。交换任何两个变量都是如此。变量的置换是一连串交换，它把 $\Delta$ 乘以 $+1$ 或 $-1$：置换分为偶置换和奇置换。 柯西用这个观察整理了莱布尼茨、克拉默、范德蒙德和拉普拉斯在解线性方程组时得到的各种表达式。他把 $n^2$ 个系数排成一个方阵，用两个下标记为 $a_{i,j}$，并把行列式定义为所有这样的乘积之和：每个乘积从每一行、每一列各取一个元素，并带上相应置换的符号： $$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}.$$“行列式”（déterminant）这个词来自高斯，他曾把它用于二次型；是柯西把它固定为今天的含义。 乘积 这篇论文的主要结果是乘积定理：如果 $C$ 是 $A$ 与 $B$ 按行乘列得到的方阵，那么 $$\det C = \det A \cdot \det B.$$雅克·比内在同一年也提出了这个定理，适用于长方阵列的一般形式今天称为柯西–比内公式。用数字验证一下。设 $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},$$则 $\det A = 6 - 1 = 5$，$\det B = 1 - 8 = -7$。乘积是

October 27, 2026 阅读
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作为数对的复数

到十九世纪初，复数已经用了三百年，从卡尔达诺和邦贝利开始，欧拉更是用它们创造了奇迹。韦塞尔、阿尔冈和高斯把它们画成了平面上的点。但不安依然存在：$\sqrt{-1}$ 究竟是什么？一个平方为负的数，看起来像是一种有用的虚构，而不是数学的对象。 哈密顿没有画任何图就解决了这个问题。在 1833 年和 1835 年提交给皇家爱尔兰学院、1837 年发表的论文《共轭函数或代数数对的理论》中，他提出：复数就是一个有序实数对，仅此而已。 游戏规则 对数对 $(a, b)$ 和 $(c, d)$，哈密顿定义 $$(a, b) + (c, d) = (a + c,\; b + d), \qquad (a, b)\cdot(c, d) = (ac - bd,\; ad + bc).$$形如 $(a, 0)$ 的数对与实数的行为完全一样：$(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)$，$(a, 0)\cdot(c, 0) = (ac, 0)$。所以可以把 $(a, 0)$ 简单地写成 $a$。而数对 $(0, 1)$ 有一个特殊的性质： $$(0, 1)\cdot(0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\; 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1.$$把 $(0, 1)$ 记作 $i$，数对 $(a, b)$ 就是 $a + bi$，且 $i^2 = -1$。“负一的平方根”不再是个谜：它是一对服从明确乘法规则的实数。关于复数的一切，都可以用实数的算术来验证。

October 27, 2026 阅读
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极小极大定理：怎样出招才不被猜中

在猜单双游戏里，没有好招。如果你总是伸一根手指，对手学会了就会每次都赢。唯一的防御是不可预测：随机出招，一半时间出一根，一半时间出两根。这样，无论对手怎么做，你都能赢一半的局。 1928 年，冯·诺依曼在一篇名为《论室内游戏的理论》的论文中证明，这个想法适用于所有两人零和博弈，即一方之所得恰是另一方之所失的博弈。而且它总会给出一个确切的数，即博弈的值。 一个小游戏 行方选 A 或 B，列方选 C 或 D，两人同时出招。下表给出行方得到（也即列方付出）多少： C D A $3$ $-1$ B $-2$ $1$ 没有显而易见的选择。如果行方总出 A，列方就用 D 应对，行方输 $1$。如果行方总出 B，列方就用 C 应对，行方输 $2$。那么假设行方随机出招：以概率 $p$ 出 A，以概率 $1 - p$ 出 B。行方的期望收益是 $$\text{对 C：} 3p - 2(1-p) = 5p - 2, \qquad \text{对 D：} -p + (1-p) = 1 - 2p.$$列方会选择让行方得得少的那种应对。所以行方只能指望两个值中较小的那个，并希望选择 $p$ 使这个最小值尽可能大。这发生在两条直线的交点处： $$5p - 2 = 1 - 2p \;\Longrightarrow\; p = \frac{3}{7}, \qquad \text{有保证的收益} = 5 \cdot \frac{3}{7} - 2 = \frac{1}{7}.$$ 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

October 26, 2026 阅读
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停机问题：没有机器能回答的问题

1928 年，德国人大卫·希尔伯特提出了一个挑战，他称之为 Entscheidungsproblem，即“判定问题”：找到一种机械程序，对任何用逻辑语言写出的数学命题，都能在有限时间内回答它是真是假。如果这样的程序存在，数学就会变成一条流水线：只要写下问题，摇动手柄即可。 希尔伯特相信答案是肯定的。八年后，图灵和美国人阿隆佐·丘奇各自用不同的方法证明，答案是否定的。 一个更简单的问题 图灵没有正面进攻希尔伯特的问题。他先找到一个更朴素、却没有任何机器能回答的问题。今天人们这样讲述它： 给定一个程序和一个输入，这个程序终究会停机，还是会永远运行下去？ 有时候很容易知道。把一个数加 1 的程序立刻就停。一个毫无出口地数 $1,2,3,\ldots$ 的程序永远不停。但有些很短的程序，谁也不知道答案。例如下面这个程序，它检验著名的哥德巴赫猜想——每个大于 2 的偶数都是两个素数之和： 从 $n=4$ 开始。 如果 $n$ 不是两个素数之和，就停机。 否则，把 $n$ 加 2，回到第 2 步。 这个程序停机当且仅当猜想不成立。知道它会不会停，就等于解决一个自 1742 年以来悬而未决的问题。一种判定程序是否停机的通用方法，可以一举解决这个问题以及许多其他问题。 证明 用反证法，假设存在一台机器 $P$ 能完成这项工作。它接收一个程序 $M$ 的描述和一个输入 $x$，并且总能在有限时间内回答： $$P(M,x)=\begin{cases}\text{“停机”}&\text{若 }M\text{ 在输入 }x\text{ 上停机},\\ \text{“不停机”}&\text{若 }M\text{ 永远运行}.\end{cases}$$有了 $P$，再造一台新机器——唱反调的 $D$。它接收一个程序 $M$ 的描述，然后这样做： 问 $P$：当 $M$ 收到它自己的描述作为输入时会怎样； 如果 $P$ 说“停机”，$D$ 就进入无限循环； 如果 $P$ 说“不停机”，$D$ 就停机。 致命的问题来了：当 $D$ 收到它自己的描述时，会怎样？ 如果 $D(D)$ 停机，那么 $P$ 对 $D(D)$ 的回答是“不停机”，$P$ 错了。 如果 $D(D)$ 不停机，那么 $P$ 的回答是“停机”，$P$ 又错了。 两种情况下 $P$ 都出错。所以机器 $P$ 不存在。$\blacksquare$

October 18, 2026 阅读