在猜单双游戏里，没有好招。如果你总是伸一根手指，对手学会了就会每次都赢。唯一的防御是不可预测：随机出招，一半时间出一根，一半时间出两根。这样，无论对手怎么做，你都能赢一半的局。

1928 年，冯·诺依曼在一篇名为《论室内游戏的理论》的论文中证明，这个想法适用于所有两人零和博弈，即一方之所得恰是另一方之所失的博弈。而且它总会给出一个确切的数，即博弈的值。

一个小游戏

行方选 A 或 B，列方选 C 或 D，两人同时出招。下表给出行方得到（也即列方付出）多少：

C D
A $3$ $-1$
B $-2$ $1$

没有显而易见的选择。如果行方总出 A，列方就用 D 应对，行方输 $1$。如果行方总出 B，列方就用 C 应对，行方输 $2$。那么假设行方随机出招：以概率 $p$ 出 A，以概率 $1 - p$ 出 B。行方的期望收益是

$$\text{对 C：} 3p - 2(1-p) = 5p - 2, \qquad \text{对 D：} -p + (1-p) = 1 - 2p.$$

列方会选择让行方得得少的那种应对。所以行方只能指望两个值中较小的那个，并希望选择 $p$ 使这个最小值尽可能大。这发生在两条直线的交点处：

$$5p - 2 = 1 - 2p \;\Longrightarrow\; p = \frac{3}{7}, \qquad \text{有保证的收益} = 5 \cdot \frac{3}{7} - 2 = \frac{1}{7}.$$

博弈的值

再看列方的推理：以概率 $q$ 出 C 时，如果行方出 A，列方付给行方 $4q - 1$；如果行方出 B，则付 $1 - 3q$。对列方最好的是让两者相等：$q = \frac{2}{7}$，这时列方至多付出 $\frac17$。

两个数相同。行方能保证至少得到 $\frac17$；列方能保证至多付出 $\frac17$。这就是极小极大定理：

$$\max_{p}\,\min_{q}\; G(p, q) \;=\; \min_{q}\,\max_{p}\; G(p, q),$$

其中 $G$ 是行方的期望收益。左边是行方单靠自己能保证的最好结果；右边是列方单靠自己能保证的最好结果。冯·诺依曼证明，对任何有限的收益表，只要允许双方随机出招，两边总是相等。

不，不，国际象棋不是博弈。国际象棋是一种定义明确的计算形式。[……] 真正的博弈完全不是这样。真实的生活由虚张声势、小小的欺骗伎俩组成，由你不断问自己“对方会认为我打算做什么”组成。这才是我的理论中博弈的意思。

— 约翰·冯·诺依曼，在伦敦一辆出租车上的谈话，由雅各布·布洛诺夫斯基记于《人之上升》（1973）

从客厅到经济学

1944 年，冯·诺依曼和奥地利经济学家奥斯卡·摩根斯特恩出版了《博弈论与经济行为》，这本六百多页的书把极小极大带进了市场、拍卖和谈判，并以经济学家至今仍在使用的方式定义了期望效用。六年后，普林斯顿一个名叫约翰·纳什的年轻人展示了怎样把这个想法推广到非零和博弈，提出了以他名字命名的均衡。

练习：猜单双

在猜单双中，猜中两人手指之和奇偶的一方赢 $1$，另一方输 $1$。证明：以各 $\frac12$ 的概率出 1 根或 2 根手指，无论对手怎么做，都能保证期望收益为 $0$。

如果我以 $\frac12$ 的概率出 1，而对手出 1，那么和为偶数或奇数的概率各为 $\frac12$：期望收益为 $\frac12 \cdot 1 + \frac12 \cdot (-1) = 0$。对手出 2 时也一样。这个博弈的值是 $0$：双方都没有优势，但只有随机出招的一方是受保护的。

练习：列方的策略

验证当 $q = \frac{2}{7}$ 时，无论行方出 A 还是出 B，列方都恰好付出 $\frac17$。

对 A：$3 \cdot \frac27 + (-1) \cdot \frac57 = \frac{6 - 5}{7} = \frac17$。对 B：$-2 \cdot \frac27 + 1 \cdot \frac57 = \frac{-4 + 5}{7} = \frac17$。由于列方在两种情况下付出相同，行方无法利用列方的选择。

来源： John von Neumann, “Zur Theorie der Gesellschaftsspiele”, Mathematische Annalen（1928）· John von Neumann 与 Oskar Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior（1944）· Jacob Bronowski, The Ascent of Man（1973）。

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