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极大值与极小值：面积最大的矩形

你有 24 米长的篱笆，想围出一块面积尽可能大的矩形地。该怎么选边长？又长又窄的矩形浪费篱笆；正方形似乎更好。但怎样证明呢？ 费马大约在 1636 年发明了一种解决这类问题的方法，比牛顿早三十多年，比莱布尼茨发表微积分早将近五十年。 费马的问题 费马的第一个例子正是这个：把长为 $b$ 的线段分成两部分 $x$ 和 $b-x$，使乘积 $x(b-x)$ 尽可能大。这就是我们的地块：24 米篱笆，相邻两边之和为 $12$，面积为 $$A(x)=x(12-x)=12x-x^2,\qquad0

October 7, 2026 阅读
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乘积法则：一次计算中的两种变化

如果你知道 $u$ 如何变化、$v$ 如何变化，那么乘积 $uv$ 如何变化？最自然的猜测是把变化相乘：$d(uv)=du\cdot dv$。看起来多么对称、多么优雅…… 莱布尼茨也做过同样的猜测。 莱布尼茨的检验与失误 在 1675 年 11 月 11 日那份开始使用字母 $d$ 的手稿中，莱布尼茨问自己：$d(xy)$ 是否等于 $dx\,dy$，$d\!\left(\frac xy\right)$ 是否等于 $\dfrac{dx}{dy}$？他没有轻信优雅，而是用一个例子检验了一下，发现并不成立。几天后，他找到了正确的法则。 这是重要的一课：即使是微积分的发明者也会犯错，而拯救他们的是验算。 你自己也试试。取 $u=x$、$v=x$，乘积是 $x^2$，导数是 $2x$。但导数之积是 $1\cdot1=1$。对不上。 变大的矩形 把 $u$ 和 $v$ 想象成一个矩形的两条边，$uv$ 是它的面积。现在把两条边都稍微增加一点：$u$ 变成 $u+du$，$v$ 变成 $v+dv$。 新面积是 $(u+du)(v+dv)$。它增加了多少？ $$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$从几何上看，矩形多出了三块：一条面积为 $v\,du$ 的长条，另一条面积为 $u\,dv$ 的长条，以及角上一个面积为 $du\,dv$ 的小方块。 小方块是两个无穷小量的乘积，因此比长条无穷地小。莱布尼茨把它略去，得到 $$d(uv)=u\,dv+v\,du.$$而猜测的 $du\,dv$，恰恰是无关紧要的那一块。 用极限的写法 今天我们写 $p(x)=f(x)\,g(x)$，并把增量除以 $h\ne0$： $$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$当 $h\to0$ 时，前两项分别趋于 $gf'$ 和 $fg'$。最后一项趋于零，因为 $\dfrac{\Delta f}{h}$ 趋于一个固定的数 $f'$，而 $\Delta g$ 趋于零。因此

October 6, 2026 阅读
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流数：如何度量瞬时变化

一辆汽车从一座城市出发，一小时后到达 90 公里外的另一座城市。平均速度是 90 公里/小时。但每一瞬间，速度表上的读数都不一样。它到底在测量什么？速度是距离除以时间，可在一个瞬间里，既没有走过距离，也没有经过时间。零除以零给不出答案。 这正是牛顿在 1665 年想要回答的问题。他的答案就是流数法。 流动的量 牛顿把每个变化的量想象成随时间流动的东西，就像河里的水。流动的量，他称为流量（fluent）；它流动的速率，称为流数（fluxion）。为了标记流数，他在字母上方加一个小点。在 1704 年出版的《曲线求积论》中，他写道： 设 $x$、$y$、$z$ 为流量，它们的流数分别记作 $\dot x$、$\dot y$、$\dot z$。 — 艾萨克·牛顿，《曲线求积论》（1704） 如果 $x$ 是位置，$\dot x$ 就是速度。换句话说，速度是从空间中“流”出来的。两个点 $\ddot x$ 表示流数的流数：加速度。 牛顿的算法 为了弄清 $y=x^2$ 如何变化，牛顿让一个极小的时间间隔流过，他把它记作 $o$。在这段时间里，$x$ 变成 $x+\dot x\,o$，$y$ 变成 $y+\dot y\,o$。由于关系 $y=x^2$ 仍然成立： $$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$两边减去 $y=x^2$，再除以 $o$： $$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$接下来是大胆的一步：既然 $o$ 是“无穷小”，牛顿就把最后一项丢掉了。剩下 $\dot y=2x\dot x$，也就是说，$y$ 的变化速度是 $x$ 的 $2x$ 倍。 消逝量的幽灵 先除以 $o$，再假装 $o$ 等于零，这一步让很多人不安。1734 年，爱尔兰主教乔治·贝克莱出版了《分析学家》，对微积分发起攻击。他问：这些时而存在、时而消失的量，难道不是“消逝量的幽灵”吗？这一批评是中肯的。答案直到 19 世纪才出现，那就是柯西和魏尔斯特拉斯的极限定义。 同样的计算，今天的写法 借助极限，我们可以不靠“幽灵”重新论证。在 $x$ 与 $x+h$ 之间（$h\neq0$），割线的斜率是

October 6, 2026 阅读
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17 边多边形

自希腊人以来，人们就知道如何用尺子和圆规构造边长为 3、4、5 和 15 的正多边形，并且 所有这些都使边数加倍（6、8、10、12…）。 2000 年以来，没有人发现另一个。 高斯表明，构建 $n$ 边多边形与计算 $\cos\frac{2\pi}{n}$ 相同 仅整数、四种运算和平方根。尺子和指南针知道如何扎根 正方形：这正是我们在本章中看到的结构 [笛卡尔](/cn/posts/historia/descartes/）。对于 17 边，他达到了 $$\begin{aligned} \cos\frac{2\pi}{17} = {} & \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{16} \\ & + \frac{1}{8}\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}} \\ \approx {} & 0{,}93247. \end{aligned}$$ 它只有平方根，一个在另一个里面。因此，可以构造边长为17的多边形。 规则是什么？高斯发现，当$n$是一个多边形时，可以构造$n$边的多边形。 2 乘以不同费马素数的幂：$2^{2^k} + 1$ 形式的素数，它们是 3、5、17、257 和 65 537。这些与本章中的费马数相同 [欧拉](/cn/posts/historia/euler/），这表明下一个 $2^{32}+1$ 不是素数。在1837中， 皮埃尔·旺策尔证明了无法构造其他多边形。 选择边数。绿色：你可以用尺子和圆规建造它。红：没办法。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 1, 2026 阅读
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带尺子和圆规的平方根

几何首先展示了算术运算可以用段来完成。最 美丽是平方根。查找 $\sqrt{a}$： 在直线上绘制一条长度为 1 的线段 $AB$，然后绘制一条长度为 $a$ 的线段 $BC$。 画一个直径为 $AC$ 的半圆。 垂直穿过 $B$，直到找到点 $D$ 处的半圆。 然后$BD = \sqrt{a}$。 改变a的值：高度BD始终是√a。对于 a = 4、9 或 2,25，根是精确的。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 为什么？ 每个与半圆内切且一侧为直径的三角形都是直角。 所以$ADC$是$D$中的矩形，$DB$是相对于斜边的高度。三角形 $ABD$ 和 $DBC$ 是相似的，这给出了 $$\frac{BD}{AB} = \frac{BC}{BD} \;\Longrightarrow\; BD^2 = AB \cdot BC = 1 \cdot a \;\Longrightarrow\; BD = \sqrt{a}.$$ 图中，$a = 4$：高度$BD$精确测量2个单位。 几何，第一本书：笛卡尔求解包含圆和直线（NLM 三角形和点 O）的二次方程。勒内·笛卡尔，1637·公共领域 笛卡尔也是在几何中建立了我们今天仍在使用的约定：最后一个字母 字母表中的（$x$、$y$、$z$）表示未知数，第一个（$a$、$b$、$c$）表示值 已知，指数写在顶部，如 $x^3$ 中所示。

September 30, 2026 阅读
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巴塞尔问题

在 1650 中，Pietro Mengoli 问平方反比之和值多少钱： $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$ 伯努利家族尝试过但失败了。总和增长缓慢：对于 10 项，它给出 $1{,}5498$， 100 项给出 $1{,}6350$，1000 项给出 $1{,}6439$。没有人认得号码 她走了。见图：每个条形都是$N$项的总和。 部分和越来越缓慢地向 π²/6 上升。摆弄控制器或测试一百万个术语。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 1735年，欧拉使用了一个大胆的想法。多项式可以从它的根开始写。他 假设该函数也是如此 $\dfrac{\sin x}{x}$，这值得 $1$ 在 $x = 0$ 并抵消 $x = \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$: $$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$ 该图显示了这个想法的运作情况。蓝色曲线是$\dfrac{\sin x}{x}$，根部标记为红色。曲线 金色是只有几个括号的乘积：增加因子的数量并看到乘积遵循曲线。

September 29, 2026 阅读
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黎曼曲面

黎曼 1851 年的博士论文有个朴素的标题：《单复变函数一般理论的基础》。论文中有两个改变了数学的想法：一个复变函数要有导数必须满足的条件，以及处理多值函数的一种几何方法。 可以求导的函数 复变函数 $f(z)$（$z = x + iy$）可以写成 $f = u + iv$，其中 $u$ 和 $v$ 是 $x$、$y$ 的实函数。要使 $f$ 在复数意义下有导数，也就是说，不论 $h$ 沿哪个方向趋于零，极限 $\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$ 都相同，$u$ 和 $v$ 就必须满足柯西–黎曼方程： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$柯西早已知道这组方程，黎曼把它们放到了理论的中心。一个推论是 $u$ 和 $v$ 都是调和函数，满足拉普拉斯方程，这就是复变函数如此适合描述电、热和流体的原因。 平方根的问题 有些复变函数不止一个值。最简单的例子是 $\sqrt{z}$。把 $z$ 写成极坐标形式 $z = r\,e^{i\theta}$，它的一个平方根是 $\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}$。现在绕原点转一整圈：$\theta$ 增加 $2\pi$，点 $z$ 回到出发的位置。但平方根变成了 $$\sqrt{r}\,e^{i(\theta + 2\pi)/2} = \sqrt{r}\,e^{i\theta/2}\,e^{i\pi} = -\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}.$$转一圈后，平方根变了号；转两圈，才回到初始值。这个函数在平面上没有良好的定义。

October 31, 2026 阅读
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极限与连续

在十八世纪，微积分是一台威力惊人而又有点神秘的机器。欧拉把发散级数加起来，却能从中得到正确的结果；拉格朗日试图把一切建立在幂级数上；书里谈论着“无穷小”的量，方便时它是零，不方便时又不是零。这套东西管用，但没有人能确切解释为什么管用。 《分析教程》 1821 年，柯西出版了《皇家综合理工学院分析教程》，内容是他给未来的工程师们讲的课。他在序言中宣布，要赋予分析学“几何学所要求的全部严格性”。一切从一个定义开始： 当同一个变量相继取得的值无限地趋近于一个固定的值，以至于最终与它的差可以随意地小，这个固定的值就称为所有其他值的极限。 — 奥古斯丁-路易·柯西，《分析教程》（1821） 1821 年《分析教程》的扉页：第一部分，代数分析。柯西署名为桥梁与道路工程师、综合理工学院教授、科学院院士。Augustin-Louis Cauchy · 维基共享资源 · CC0 从此，无穷小不再是神秘的量：它只是一个极限为零的变量。例如，当 $n$ 增大时，$\frac{1}{n}$ 是一个无穷小，因为任给一个小数，$\frac{1}{n}$ 最终会比它小，而且再也不会回头。 连续函数 第二个定义是连续。对欧拉来说，连续函数是由单一公式给出的函数。柯西换了一个着眼于函数行为的观念： 如果对于给定界限之间的每个 x 值，差 f(x + α) − f(x) 的数值随着 α 的数值无限地减小，那么函数 f(x) 在这两个界限之间就是连续的。 — 奥古斯丁-路易·柯西，《分析教程》（1821） 用今天的话说：自变量的微小增量只引起函数的微小变化。四十年后，魏尔斯特拉斯用每个学生都熟悉的字母写下了这一点：对每个 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $|\alpha| < \delta$，就有 $|f(x+\alpha) - f(x)| < \varepsilon$。这两个字母本身在柯西 1823 年的证明中就已经出现。 介值定理 有了这个定义，柯西证明了一个人人都觉得显然的事实：如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，那么在 $a$ 和 $b$ 之间存在一点使 $f$ 等于零。捷克人伯纳德·波尔查诺在 1817 年发表过一个证明，但几乎没人读过。

October 30, 2026 阅读
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暗星

一颗发光的星，如果密度与地球相同、直径是太阳的 250 倍，那么由于它的引力，它的任何光线都无法到达我们这里。因此，宇宙中最大的发光天体，可能正因为如此而看不见。 — 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯，《宇宙体系论》（1796） 这几句话出现在《宇宙体系论》的第一版。拉普拉斯写下它们的时候，人们和牛顿一样相信光是由微粒组成的。如果光是一群微粒，引力就应该像拉一块石头那样拉住它们。那么，如果一颗星足够致密，它发出的光就会像向上抛出的石头一样落回去。 逃逸速度 从质量为 $M$、半径为 $R$ 的天体表面以速度 $v$ 向上抛出的石头，只有当它的动能胜过引力能时才能永远逃离： $$\frac{1}{2}mv^2 \ge \frac{GMm}{R} \quad\Longleftrightarrow\quad v \ge v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$$石头的质量消掉了：逃逸速度 $v_e$ 只取决于天体。地球上约为 11.2 千米/秒，太阳上为 618 千米/秒。 密度与大小 对于密度为 $\rho$ 的天体，质量为 $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$。代入得 $$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\rho} = R\,\sqrt{\frac{8\pi G\rho}{3}}.$$密度固定时，逃逸速度与半径成正比。这正是拉普拉斯的推理。他从太阳出发，$v_e = 618$ 千米/秒，平均密度 1.41 克/立方厘米，设想一个大 250 倍、密度与地球相同（5.51 克/立方厘米）的天体： $$v_e \approx 618 \times 250 \times \sqrt{\frac{5.51}{1.41}} \approx 618 \times 250 \times 1.98 \approx 305\,000 \text{ 千米/秒},$$比光速 $c \approx 300\,000$ 千米/秒略大。这样的天体发出的光逃不出来。

October 30, 2026 阅读
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圆的度量与圆周率 π

所有圆的周长与直径之比都相同，这在阿基米德之前就已为人所知。不确定的是这个比值，也就是我们今天所说的 $\pi$，到底是多少：巴比伦人有时用 $3\frac{1}{8}$，埃及人用的数接近 $3.16$。在短篇著作《圆的度量》中，阿基米德做了两件事：把圆的面积与周长联系起来，并说明怎样把 $\pi$ 算到任意想要的精度。 圆的面积 第一个命题说，圆的面积等于一个直角三角形的面积，这个三角形的两条直角边分别是半径 $r$ 和周长 $C$： $$A = \frac{1}{2}\,r\,C.$$思路是把圆切成很薄的扇形，像切比萨一样，注意到每一片几乎都是一个高为 $r$ 的三角形。阿基米德用穷竭法给出了严格的证明：他证明这个面积既不能大于也不能小于那个三角形的面积。由于 $C = 2\pi r$，公式就变成了熟悉的 $A = \pi r^2$。 夹在两个多边形之间 为了估计 $\pi$，阿基米德在圆内作内接正多边形，在圆外作外切正多边形。里面多边形的周长小于圆周，外面多边形的周长大于圆周。除以直径，$\pi$ 就被夹在两个可以计算的数之间。 他从正六边形开始。内接正六边形的周长是 $6r$，即 $3$ 个直径；外切正六边形的周长是 $4\sqrt{3}\,r \approx 6.93\,r$。然后他把边数加倍：12、24、48，最后是 96。每一步，他都利用 $n$ 边形与 $2n$ 边形之间的一个几何关系。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 最终结果是 $$3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7}, \qquad \text{即} \qquad 3.1408 < \pi < 3.1429.$$上界 $\frac{22}{7}$ 变得非常有名，至今仍是学校里常用的 $\pi$ 的近似值。

October 29, 2026 阅读
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极大值、极小值与拐点

《分析讲义》第二册讲微分学，它的主要应用之一就是每个学生都要学的：求极大值和极小值。阿涅西用几十个关于曲线和几何问题的例子讲授这种方法，步骤总是一样：写出所求的量，求微分，令微分等于零，再加以检验。 最高点 在极大值点或极小值点，曲线在那一瞬间是水平的：切线的斜率为零。由于切线的斜率就是导数，极大值和极小值的候选点就是 $y' = 0$ 的点。 对 $a = 1$ 的阿涅西曲线，$y = \frac{1}{1 + x^2} = (1 + x^2)^{-1}$。由链式法则， $$y' = -(1 + x^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}.$$导数只在 $x = 0$ 处为零。$x < 0$ 时导数为正（曲线上升），$x > 0$ 时为负（曲线下降）。所以 $x = 0$ 是极大值点，$y = 1$。 曲线在哪里改变弯曲方向 在顶部附近，箕舌线向下弯，像一个盖子。远离顶部、接近横轴的地方，它向上弯，像一只碗。弯曲方向改变的点叫作拐点。阿涅西和当时的数学家一样，用二阶微分来找拐点：在 $y''$ 改变符号的地方，弯曲方向改变。 用商的求导法则对 $y'$ 求导： $$\begin{aligned} y'' &= \frac{-2(1 + x^2)^2 + 2x \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} \\ &= \frac{-2(1 + x^2) + 8x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3}. \end{aligned}$$分母总是正的，所以符号由 $6x^2 - 2$ 决定，它在下面的点处为零：

October 29, 2026 阅读
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哈密顿力学

1788 年，拉格朗日把牛顿力学变成了一组在任何坐标下都成立的方程。哈密顿很欣赏这本书，称它为“一种科学的诗篇”。1834 年和 1835 年，他在两篇《论动力学中的一般方法》中把这一思想向前推进，把他从光线中学到的东西带进了力学。 位置与动量 拉格朗日用位置 $q$ 和速度 $\dot q$ 描述一个系统。哈密顿把速度换成了动量 $p$（对简单的粒子，就是质量乘以速度，$p = m\dot q$），并把一个单一的函数放在一切的中心，即哈密顿量 $H(q, p)$。在大多数情况下，它就是总能量，动能加势能： $$H = T + V.$$整个运动都来自两个几乎完全对称的方程： $$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}.$$弹簧 对一个连在劲度系数为 $k$ 的弹簧上的质量 $m$， $$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k q^2}{2}.$$哈密顿方程给出 $$\frac{dq}{dt} = \frac{p}{m}, \qquad \frac{dp}{dt} = -kq.$$第一个方程说动量是质量乘以速度；第二个是胡克定律，即弹簧的力。两者合起来给出 $m\ddot q = -kq$：熟悉的振动。又因为 $\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\frac{dq}{dt} + \frac{\partial H}{\partial p}\frac{dp}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q} = 0$，能量自动守恒。

October 27, 2026 阅读