1796 年的《宇宙体系论》是一本写给没有数学训练的读者的书。拉普拉斯在书里用散文讲述了天体力学的全部发现。在书的末尾，他在一条注释里——他自己说，是“带着对一切非观测或计算结果之物所应有的怀疑”——大胆提出了太阳系起源的解释。

《宇宙体系论》第二版扉页，1798 年（共和历七年）。
《宇宙体系论》第二版扉页，1798 年（共和历七年）。Pierre-Simon Laplace · Wikimedia Commons · 公有领域

巧合得过分

拉普拉斯从人人皆知的事实出发。当时已知的行星都朝同一方向绕太阳运行，轨道几乎在同一平面上，而且接近圆形。它们的自转方向也相同，卫星绕行星的方向同样如此。把行星、卫星和自转加起来，拉普拉斯数出了 43 个运动，全都朝同一方向。

如果每个运动都可能偶然地朝这边或那边，概率各为 $\frac{1}{2}$，那么它们全部一致的概率是多少？第一个运动选定方向，其余 42 个必须跟随：

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{42} = \frac{1}{4\,398\,046\,511\,104} \approx \frac{1}{4.4 \times 10^{12}}.$$

拉普拉斯写道，可以用“四万亿以上对一”打赌，这种排列有一个共同的原因。这是把概率推理用在天空上，非常有他的风格：他不只是说这个巧合很奇怪，而是把它量了出来。

旋转的云

他提出的原因是这样的。最初，太阳被一层巨大而炽热的大气——一团星云——包围着，它缓慢旋转，延伸到今天各行星轨道之外。云团冷却时会收缩，而收缩时转得越来越快，直到边缘处离心力等于引力，物质环便脱离出来。每个环聚集成一颗行星，旋转方向与原来的云团相同。卫星也以同样方式由行星的大气中产生。

为什么收缩的云会转得更快？这是角动量守恒，和花样滑冰运动员收拢双臂时加速旋转是同一个道理。质量为 $m$、距转轴 $r$、角速度为 $\omega$ 的物体，角动量为

$$L = m\,r^2\,\omega.$$

没有外力矩时，$L$ 不变。如果云团收缩到原来半径的一半，$r^2$ 变为四分之一，为了补偿，$\omega$ 变为四倍：

$$m\,r^2\,\omega = m\left(\frac{r}{2}\right)^2\omega' \quad\Rightarrow\quad \omega' = 4\omega.$$
练习：收缩的恒星

太阳半径约 $700\,000$ 千米，每 25 天自转一圈。如果它在不损失质量和角动量的情况下收缩到半径 10 千米，像一颗中子星那样，新的自转周期是多少？（假设质量分布的形状不变，因此 $L \propto r^2\omega$。）

半径缩小 $\frac{700\,000}{10} = 70\,000$ 倍，所以 $\omega$ 增大 $70\,000^2 = 4.9 \times 10^9$ 倍。周期按同样比例缩短：$25 \text{ 天} = 2\,160\,000$ 秒，$\frac{2\,160\,000}{4.9 \times 10^9} \approx 4.4 \times 10^{-4}$ 秒。不到半毫秒：这正是已知最快脉冲星的数量级。

练习：更少的运动

1796 年已知的卫星比今天少。如果拉普拉斯只计算 1781 年以前已知的 6 颗行星（从水星到土星）的公转，它们偶然全部同向的概率是多少？

第一颗选定方向，其余 5 颗必须跟随：$\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$，约 3%。不大，但也不荒谬。正是把几十个独立的运动放在一起，这个巧合才变得难以置信：每多一个运动，概率就减半。

来源： Pierre-Simon Laplace，Exposition du système du monde（1796；1835 年版注释七） · Stephen G. Brush，Nebulous Earth: The Origin of the Solar System and the Core of the Earth from Laplace to Jeffreys（1996） · Immanuel Kant，Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels（1755） · ALMA Partnership，“The 2014 ALMA Long Baseline Campaign: First Results from High Angular Resolution Observations toward the HL Tau Region”，The Astrophysical Journal Letters 808（2015）。

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