论作为几何基础的假设
几何学的假设在无穷小范围内是否成立的问题，与空间度量关系的内在根据问题是联系在一起的。
— 伯恩哈德·黎曼，《论作为几何基础的假设》（1854） 1854 年 6 月 10 日，黎曼在哥廷根学院做了题为《论作为几何基础的假设》的演讲。听众中有哲学家和历史学家，所以他写得几乎没有公式。这篇讲稿直到他去世后的 1868 年才发表，却改变了几何学。
从内部看几何 出发点是高斯的绝妙定理：生活在曲面内部的人，只靠测量距离、不必从外部观看，就能测出曲面的曲率。一个生活在球面上的二维生物，画三角形、量它们的角，就会发现自己的曲面是弯曲的。
黎曼把这个想法推到了极致。他考虑的不是普通空间中的曲面，而是流形（Mannigfaltigkeiten）：任意维数的空间，用坐标 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 描述，不需要嵌入任何更大的空间。决定一个流形几何的，是度量非常接近的两点之间距离的规则。
度量 在普通平面上，相邻两点间的距离 $ds$ 由勾股定理给出：$ds^2 = dx^2 + dy^2$。黎曼提出，一般情况下，无穷小距离由一个更一般的二次式给出：
$$ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}(x)\,dx_i\,dx_j,$$其中系数 $g_{ij}$ 可以随点而变。这些系数构成了度量。例如，在半径为 $R$ 的球面上，用纬度 $\varphi$ 和经度 $\lambda$ 表示，
$$ds^2 = R^2\,d\varphi^2 + R^2\cos^2\varphi\,d\lambda^2:$$在两极附近，$\cos\varphi$ 很小，一度经度对应的长度也就短了。
黎曼从度量出发，定义了每一点、每一个方向上的曲率。常曲率空间有三种：曲率为零（欧几里得几何）、正曲率（如球面，那里没有平行线）和负曲率（罗巴切夫斯基和鲍耶发现的双曲几何，那里有无穷多条平行线）。
那么真实的空间呢？ 演讲最后，黎曼大胆地指出：我们并不能预先知道物理空间的几何是什么。它不能由逻辑决定，只能由经验决定，而且可能取决于作用在物体上的“力”。在极小或极大的尺度上，欧几里得几何可能不再成立。
六十年后，阿尔伯特·爱因斯坦在黎曼几何中找到了他所需要的工具。在 1915 年的广义相对论中，时空是一个带有度量 $g_{\mu\nu}$ 的四维流形，引力不是一种力，而是由物质和能量产生的这个度量的弯曲。
高斯的选择
黎曼为演讲提出了三个题目，原以为高斯会按惯例在两个电学题目中挑一个。高斯偏偏选了第三个几何题目，这是他自己思考了几十年却没有发表的问题。原本指望另一个题目的黎曼，只好用几个星期紧张工作来准备讲稿。据戴德金说，演讲结束后回去的路上，高斯以一种他身上少见的激动谈到了自己所听到的那些思想的深度。 练习：球面上的三角形在地球上，考虑一个顶点在北极、另两个顶点在赤道上经度 0° 和 90° 处的三角形。它的内角和是多少？与面积有什么关系？
在赤道上，经线与赤道成 90° 角。在北极，0° 经线与 90° 经线的夹角是 90°。内角和为 270°，即 $\frac{3\pi}{2}$，而不是 $\pi$。超出的 $\frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$ 乘以 $R^2$ 就是三角形的面积：$\frac{\pi}{2}R^2$，恰好是球面面积 $4\pi R^2$ 的 $\frac{1}{8}$。在曲率为常数 $\frac{1}{R^2}$ 的曲面上，角盈等于面积除以 $R^2$。
