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参考文献、图片来源与全书结语

延伸阅读 Martzloff, Jean-Claude. A History of Chinese Mathematics. Berlin: Springer, 1997. Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony W.-C. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press, 1999. Ifrah, Georges. Histoire universelle des chiffres. Paris: Robert Laffont, 1994. Ascher, Marcia; Ascher, Robert. Code of the Quipu. Ann Arbor: University of Michigan Press, 1981. Alder, Ken. The Measure of All Things: The Seven-Year Odyssey and Hidden Error That Transformed the World. New York: Free Press, 2002. Einstein, Albert. Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik, 49, 1916, pp. 769–822. Weil, André. Souvenirs d’apprentissage. Basel: Birkhäuser, 1991. Iverson, Kenneth E. A Programming Language. New York: Wiley, 1962. Iverson, Kenneth E. Notation as a tool of thought. Communications of the ACM, 23(8), 1980, pp. 444–465. Knuth, Donald E. Two notes on notation. American Mathematical Monthly, 99(5), 1992, pp. 403–422. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics. Reading: Addison-Wesley, 1989. 中译本：《具体数学》。 Backus, John et al. The FORTRAN automatic coding system. Proceedings of the Western Joint Computer Conference, 1957, pp. 188–198. Stigler, Stephen M. Stigler’s law of eponymy. Transactions of the New York Academy of Sciences, 39, 1980, pp. 147–157. Carraher, Terezinha N.; Carraher, David W.; Schliemann, Analúcia D. Mathematics in the streets and in schools. British Journal of Developmental Psychology, 3, 1985, pp. 21–29. Carraher, Terezinha N.; Carraher, David W.; Schliemann, Analúcia D. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1988. D’Ambrosio, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. Gerdes, Paulus. Geometry from Africa: Mathematical and Educational Explorations. Washington: Mathematical Association of America, 1999. Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang. Every planar map is four colorable. Illinois Journal of Mathematics, 21, 1977, pp. 429–567. Hales, Thomas et al. A formal proof of the Kepler conjecture. Forum of Mathematics, Pi, 5, 2017, e2. Moura, Leonardo de; Ullrich, Sebastian. The Lean 4 theorem prover and programming language. CADE 28, Springer, 2021. 图片来源 图片 来源 许可 秦九韶《数书九章》中的筹算数字（1247） 维基共享资源 公共领域 《德累斯顿抄本》第 62 页，西尔韦纳斯·莫利复制 维基共享资源 公共领域 利马拉尔科博物馆的印加结绳 维基共享资源 CC BY 2.0，bobistraveling 阿南的十进制时间表盘（约 1793） 维基共享资源 公共领域 1921 年的阿尔伯特·爱因斯坦，费迪南德·施穆策绘 维基共享资源 公共领域 打着 Fortran 语句的穿孔卡片 维基共享资源 公共领域 朱世杰《四元玉鉴》中的三角形（1303） 维基共享资源 公共领域 乌比拉坦·丹布罗西奥接受肯尼斯·O·梅奖章（2001） 维基共享资源 CC BY-SA 4.0，ICHM 用四种颜色着色的地图 维基共享资源 CC BY-SA 3.0，Inductiveload 交互图形（一个数的三种写法和十进制时间）在本站的四种语言中都能使用。所下载图片的记录及每个文件的哈希值，见 data/semiotica_imagens.json。

October 26, 2026 阅读
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记号与文化：指南与术语表

本章把记号当作人、地方和工具的产物来阅读。下面的指南汇集了有助于对任何符号进行这种阅读的问题。 面对一种记号的五个问题 它诞生于什么工具？ 算筹的算板、穿孔卡片、APL 的键盘、黑板。符号的形状常常保留着工具的形状。 哪个群体在用它？ 物理学家、工程师、程序员、集市小贩。同一个字母在每个部落里可以有不同的意思，比如 $\log$ 或 $j$。 它取代了什么，为什么？ 米取代了地方度量，因为商业从中获益；十进制时间什么也没取代，因为谁也得不到好处。 它把谁挡在了外面？ 每一种缩写都向不懂约定的人收取过路费。为众多读者写作的人，至少会把捷径还原一次。 它使什么变得可以思考？ 红筹和黑筹使负数变得可以思考；艾弗森括号把计数变成求和；形式化的书写使机器检验证明成为可能。 对一个符号的完整解读：程序中的等号 考虑超市收银程序中的一行 total = total + price。 工具： 穿孔卡片和 Fortran 的键盘，符号很少，从公式中继承了等号。 群体： 程序员，对他们来说等号的意思是“存入”。对数学家来说，这一行是一个迫使 $\text{price} = 0$ 的方程。 它取代了什么： 收银员逐件商品手工进行的“加上并记下”。 它把谁挡在了外面： 刚刚在学校学到等号表示断言相等的学生。 它使什么变得可以思考： 把名字看作一个随时间变化的盒子，这是一切迭代算法的基础。 术语表 筹算数字。 中国的写数方式，复制自算板，算筹在相邻数位之间纵横交替。 二十进制。 每一位是前一位的二十倍的记数系统，玛雅人使用，有专门表示零的符号。 结绳（quipu）。 印加人用来以十进位值制记录数的一组打结的绳子。 十进制时间。 把一天分成 10 小时、每小时 100 分、每分 100 秒的制度，法国大革命于 1794 年推行，1795 年放弃。 百分度（gon）。 直角为 100 的角度单位。在计算器的 GRAD 模式中保留下来。 爱因斯坦约定。 对一项中出现两次的每个指标默认求和的规则。 下取整与上取整。 $\lfloor x \rfloor$，不大于 $x$ 的最大整数；$\lceil x \rceil$，不小于 $x$ 的最小整数（艾弗森）。 艾弗森括号。 命题 $P$ 为真时 $[P]$ 为 $1$，为假时为 $0$。 赋值。 把一个值存进一个名字的命令：Fortran 和 C 中的 x = x + 1，Algol 和 Pascal 中的 x := x + 1，高德纳的 $x \leftarrow x + 1$。 斯蒂格勒定律。 没有哪项发现以最早发现者的名字命名。斯蒂格勒把它归于默顿。 以人名命名（eponym）。 给定理、公式或对象冠以人名，如“帕斯卡三角形”。 民族数学。 研究各文化群体在学校内外计数、度量和计算方式的领域（丹布罗西奥）。 证明助手。 逐步检验用形式语言写成的证明的程序，如 Coq 和 Lean。 练习：运用指南把问题 1、2 和 5 用于百分号 $\%$。 工具： 这个符号来自意大利商业中对 per cento（每百）的缩写，手写在账簿上，随着时间推移缩成了 $\%$。2. 群体： 先是商人和银行家，然后才是数学家。5. 它使什么变得可以思考： 把分母不同的比例放在同一个标准 $100$ 上比较：$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{7}{20}$ 难以比较，$37.5\%$ 和 $35\%$ 则不难。

October 26, 2026 阅读
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写给机器的记号：由计算机核验的证明

两千年来，数学证明一直是写给人读的文本。它可以跳过“显然”的步骤，可以借助图形，可以使用群体内部的约定。其余的由读者补全。近五十年来，出现了一位什么都不补全的读者：计算机。 四种颜色 给任意一张地图着色，使相邻的国家颜色不同，需要几种颜色就够了？答案是四种，这一猜想于 1852 年提出，抵抗了一个多世纪。1976 年，伊利诺伊大学的肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯证明了它：他们把问题化为将近两千种情形，由计算机逐一检验，用了一千多个小时的机时。 一张用四种颜色着色的地图，任何两个相邻的区域颜色都不相同。Inductiveload · 维基共享资源 · CC BY-SA 3.0 学界产生了分歧。一个没有人能够完整读完的证明，还算是证明吗？支持者提醒说，许多很长的证明也没有人完整读过；批评者说，程序可能有错误。2005 年，法国人乔治·贡蒂耶把整个证明，包括计算机的部分，写进了一个名为 Coq 的证明助手，它从公理出发检验每一个逻辑步骤。疑问换了地方：不再是“程序对吗？”，而是“检验器对吗？”——那是一个小得多、也容易审查得多的程序。 开普勒猜想 1611 年，开普勒断言，堆放橙子最密的方式就是水果摊上的金字塔。1998 年，美国人托马斯·黑尔斯宣布了一个证明，它把几百页的论证与大量计算机计算结合在一起。一组审稿人工作了四年，宣布他们对其正确性有“99% 的把握”。黑尔斯不满足于那 1%，启动了 Flyspeck 项目，用形式语言写出整个证明。2014 年，在几十位合作者的参与下，项目完成：机器检验了每一步。 Lean 如今数学家用得最多的证明助手是 Lean，由巴西人莱昂纳多·德·莫拉于 2013 年在微软研究院创造。围绕它形成了 mathlib，一个集体编写的库，收录了数十万条形式化的定理，作者有数百人。2020 年，德国菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨向学界发起挑战，请大家把他的一个结果形式化，因为他自己也不确定是否核对过所有细节。“液态张量实验”（Liquid Tensor Experiment）于 2022 年完成：结果是对的，而且形式化过程还发现了证明中可以简化的地方。 Lean 的一行代码是这样的： theorem soma_comuta (a b : ℕ) : a + b = b + a := Nat.add_comm a b “对任意自然数 $a$ 和 $b$，$a + b = b + a$，证明就是库中的交换律定理。”什么都不省略：每个字母的类型，每一步的出处。这是把第7章的线性书写推向了极端，是把第4章中用文字写的证明译成了一种机器能够检验的语法。 改变群体的记号 形式化正在改变工作方式。像英国人凯文·巴扎德在 2024 年发起的费马大定理形式化这样的项目，聚集了几十位从未谋面的合作者，每人形式化一个引理，并确信各个部分能拼合在一起，因为接缝由机器来检验。记号再一次决定了谁能参与、怎样参与。

October 26, 2026 阅读
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生活中满分，学校里零分：纸面之外的数学

20 世纪 80 年代初，巴西伯南布哥联邦大学的三位研究者——特雷济尼娅·努内斯·卡拉赫、戴维·卡拉赫和阿纳卢西亚·施利曼——来到累西腓的集市，和卖椰子、玉米和爆米花的 9 到 15 岁的孩子们交谈。他们装成顾客，在买东西时出算术题。之后，他们又带着同样的题目回来，按学校的方式写在纸上。 研究结果于 1985 年以《街头与学校里的数学》（Mathematics in the streets and in schools）为题发表，从此出名。在集市上，孩子们答对了约 98% 的题目。同样的题目写成应用题时，约答对 74%。写成没有情境的竖式计算时，约 37%。作者们后来在巴西出版的书，用书名概括了这一情形：Na vida dez, na escola zero（1988），“生活中满分，学校里零分”。 两种计算方式 变的不是算术，而是记号。在研究记录的一段对话中，一位顾客问四个椰子多少钱，每个 35 克鲁塞罗。男孩回答大致是：“三个是一百零五；再加三十，一百三十五；再加五，一百四十。”他从一个已经背熟的价格（三个椰子）出发，一块一块地加，每一步都知道每个数是什么：钱，椰子。 在纸上，同样的计算变成 $35 \times 4$，按列竖写，还要进位。书面算法之所以强大，恰恰因为它忘掉了意义：它对椰子、米或年同样适用。但意义一忘，学生也就失去了掌控：如果某一位算错了，他不会察觉四个椰子卖 $1400$ 克鲁塞罗是荒谬的。在街头，这种掌控从不丧失。 民族数学 巴西数学家乌比拉坦·丹布罗西奥（1932–2021）从 20 世纪 70 年代起，为研究这些存在于学校之外的数学的领域起了名字：民族数学（etnomatemática），即在每个文化环境（ethno）中解释和应对（mathema）现实的方式（tica）。集市小贩、泥瓦匠、裁缝、渔民、原住民：他们都在计数、度量、比较和计算，用的是自己的记号和程序，而且往往是口头的。 乌比拉坦·丹布罗西奥于 2001 年接受国际数学史委员会颁发的肯尼斯·O·梅奖章。International Commission on the History of Mathematics · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0 在莫桑比克，数学家保卢斯·格尔德斯研究了 sona，这是安哥拉乔奎人在沙地上画的图案：一条连续的线绕着点阵而行，手指不离开地面。它们背后有一些可以用最大公约数和对称性写出来的规律。民族数学并不是说这些实践是换了衣服的学校数学；它是说，这些是真正的知识，而学校从它们出发而不是无视它们，就会有所收获。 民族数学是由文化群体所实践的数学，例如城市和农村社区、工人群体、职业阶层、某一年龄段的儿童、原住民社会，以及许许多多以共同的目标和传统相认同的其他群体。 — 乌比拉坦·丹布罗西奥《民族数学：传统与现代之间的纽带》（2001） 桥梁 对记号而言，这个教训是双重的。学校的书写并不是数学思维的唯一方式，在纸上失败的学生在生活中可能是熟练的计算者。但学校的书写提供了口头计算所没有的东西：一般性、记录，以及检验和传承的可能。好的教学在两者之间架起桥梁：从“三个是一百零五”出发，说明 $4 \times 35 = 3 \times 35 + 35$ 是同一件事的另一种写法。

October 26, 2026 阅读
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定理上的名字：斯蒂格勒定律

定理、公式和数的名字，是记号中几乎没有人质疑的部分。我们写“帕斯卡三角形”、“佩尔方程”、“洛必达法则”，仿佛名字是一个中性的标签。其实不然：名字记录了谁被阅读过，被谁阅读，用的是什么语言。 一条自我证实的定律 1980 年，美国统计学家斯蒂芬·斯蒂格勒发表了一篇文章，提出一条挑衅性的定律：没有哪项科学发现是以其最早发现者的名字命名的。为了圆满，他把这条定律归功于社会学家罗伯特·K·默顿，后者早已研究过这一现象。于是，斯蒂格勒的命名定律本身就是它自己的一个例子。它有些夸张，但正确的频率高得令人不安。 有许多名字的三角形 每个数都是上面两个数之和的那个数字三角形，冠的是布莱兹·帕斯卡的名字，他在 1654 年写过一篇关于它的论文。但它早已出现在约公元 1000 年的波斯人卡拉吉和欧玛尔·海亚姆的书中；出现在 10 世纪印度的哈拉尤达的注释里；而在中国，数学家杨辉于 1261 年发表了它，并归功于两个世纪前的贾宪。在中国，它至今仍叫杨辉三角；在意大利，叫塔尔塔利亚三角形；在伊朗，叫海亚姆三角形。 朱世杰《四元玉鉴》（1303）中的三角形，标题为“古法七乘方图”。数用筹算数字写出，一直到第八行。朱世杰 · 维基共享资源 · 公共领域 上面朱世杰的三角形比帕斯卡早了 350 年，而且请注意，其中的数是用本章第一篇中的算筹写的。“帕斯卡的”这个名字说的不是谁最早看到它，而是说：传到世界各地学校里的数学是欧洲的，欧洲人读帕斯卡在先，读杨辉在后。 什么都没做的佩尔 寻求整数解的方程 $x^2 - N y^2 = 1$ 叫做佩尔方程。英国人约翰·佩尔和它几乎没有关系。印度人婆罗摩笈多在 628 年研究过它，找到了组合解的法则；婆什迦罗第二在 1150 年左右给出了能解所有情形的方法，即环法（chakravala）。在欧洲，费马在 1657 年把它作为挑战提出，威廉·布龙克尔解决了它。是欧拉把佩尔和布龙克尔弄混了，起错了名字，而这个名字就此流传下来。 买来的法则 通过对分子和分母求导来计算 $\frac{0}{0}$ 型极限的法则，冠的是洛必达侯爵的名字，他在 1696 年把它发表在第一本微分学教科书里。但这个结果是他的私人教师约翰·伯努利的。1694 年，两人达成了一项协议：洛必达每年付给伯努利一笔年金，作为交换，他得到伯努利的发现，可以随意使用。在这里，记号记录的是一份合同。 斐波那契的兔子和印度的诗人 数列 $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ 冠的是斐波那契的名字，他在 1202 年的一道兔子问题中用到了它。几个世纪以前，维拉汉卡以及后来的赫马钱德拉等印度诗人和语法学家，在计算用长短音节组成一行诗有多少种方式时，就已经发现了它。问题关乎节奏，而不是兔子。 现在改名是不可能的，甚至也未必可取：名字是符号的一部分，改了会造成混乱。但知道名字从何而来，会改变它们所教给我们的东西。一个有许多名字的三角形，也在告诉我们：数学是在许多地方创造的。 练习：朱世杰的最后一行朱世杰三角形的最后一行给出 $(a+b)^8$ 的系数。把它写出来，并检验其和。 $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$。和为 $256 = 2^8$，每一行都是如此：令 $a = b = 1$，$(1+1)^8 = 2^8$。在图中找到最后一行正中的 $70$：十位上的 $7$ 用的是算筹的横式，一根代表五的纵筹加两根横筹。

October 26, 2026 阅读
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发号施令的等号：x = x + 1 与编程语言

对数学家来说， $$x = x + 1$$这一行是一个无解的方程：两边同减 $x$，剩下 $0 = 1$。对程序员来说，这是最常见的一行之一，意思是“取出 $x$ 的值，加一，把结果存回 $x$”。同一个符号，在两个群体里做着相反的工作：在那边它断言一个等式；在这边它命令一次赋值。 Fortran 选择了等号 始作俑者是 Fortran，第一种被广泛使用的高级编程语言，由约翰·巴克斯领导的团队在 IBM 创造，1957 年发布。程序打在穿孔卡片上，一张卡片一条语句，而穿孔机的键盘上符号很少。为了说“把值 $27$ 存进 $N$”，Fortran 写作 N=27，就像工程师的公式一样。 打着 Fortran 语句的穿孔卡片。第二张卡片上的 N=27 并不是断言 N 等于 27，而是命令把 27 存进 N。Tangopaso · 维基共享资源 · 公共领域 这个选择出于实际考虑，并且延续了下来。但它让那些把编程看作数学的人感到不安。由一个国际委员会在 1958 至 1960 年间创造的 Algol 语言，用另一个符号 := 表示赋值，而把 = 留给比较。瑞士人尼克劳斯·维尔特在 Pascal（1970）中保留了 :=，高德纳在《计算机程序设计艺术》中用箭头写赋值：$x \leftarrow x + 1$。艾弗森的 APL 也用箭头，统计语言 R 则把它继承为 <-。

October 26, 2026 阅读
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作为思维工具的记号：艾弗森

1962 年，曾在哈佛任教、当时在 IBM 工作的加拿大人肯尼斯·艾弗森出版了一本名为《一种编程语言》（A Programming Language）的书。尽管书名如此，它其实是一本讲数学记号的书：一种简洁而精确地书写算法的方法，用新的符号表示对整个数列和数表的运算。几年后，IBM 自己把这套记号变成了计算机可以执行的语言，并以书名为它命名：APL。 下取整、上取整与括号 艾弗森的一些符号离开了 APL，进入了普通数学。最著名的是下取整与上取整这一对： $$\lfloor x \rfloor = \text{不大于 } x \text{ 的最大整数}, \qquad \lceil x \rceil = \text{不小于 } x \text{ 的最小整数}.$$在他之前，人们写 $[x]$ 或“$x$ 的整数部分”，而上取整没有符号。有了这两个符号，需要分几种情况的计算可以写在一行里：$1$ 到 $100$ 之间 $7$ 的倍数有 $\lfloor 100/7 \rfloor = 14$ 个。 另一个符号，艾弗森括号，把一个命题变成一个数： $$[P] = \begin{cases} 1, & P \text{ 为真}, \\ 0, & P \text{ 为假}. \end{cases}$$有了它，“数一数 $1$ 到 $n$ 之间的偶数”就成了一个普通的和 $\sum_{k=1}^{n} [k \text{ 是偶数}]$，而这个和可以用通常的规则来处理。高德纳在 1992 年一篇名为《关于记号的两则札记》（Two notes on notation）的文章中为这种括号辩护，并在与罗纳德·格雷厄姆、奥伦·帕塔什尼克合写的《具体数学》一书中通篇使用它。上一篇中的克罗内克 δ 只是一个特例：$\delta_{ij} = [i = j]$。

October 26, 2026 阅读
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部落的约定：爱因斯坦、布尔巴基和入门的读者

一种记号并不是以同样的方式属于所有数学家。每个领域，有时每个学派，都有自己的捷径，外来者会在上面绊倒。这不是缺陷：任何活的语言都是如此，都会分化出口音和行话。但它对读者和学习者会产生影响。 爱因斯坦删掉了求和号 1916 年，在提出广义相对论的论文中，阿尔伯特·爱因斯坦需要写几百个这样的式子： $$\sum_{\mu=1}^{4} a_\mu b^\mu = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 + a_4 b^4.$$他注意到，在他的公式里，每当一个指标重复出现——一次在下、一次在上——就要求和。于是他和读者约定：当一个指标出现两次时，求和是不言而喻的，$\Sigma$ 不必写出。上面的式子就只写成 $a_\mu b^\mu$。 1921 年在维也纳演讲时的阿尔伯特·爱因斯坦，费迪南德·施穆策绘。Ferdinand Schmutzer · 维基共享资源 · 公共领域 据说爱因斯坦曾跟一位朋友开玩笑：“我在数学上有了一个伟大的发现：每当要对出现两次的指标求和时，我就把求和号省掉。”玩笑背后是认真的。爱因斯坦约定如今是相对论和微分几何的通用语言；物理学家读 $R_{\mu\nu} g^{\mu\nu}$ 时，不会想到里面藏着一个十六项的二重求和。别的领域的学生看到的是两个字母，根本看不到求和。 布尔巴基的符号 尼古拉·布尔巴基小组——从 1935 年起重写数学基础的法国集体数学家——在记号上留下了一些如今看来普遍通用的痕迹。空集符号 $\varnothing$ 是安德烈·韦伊为 1939 年《数学原本》第一卷选定的，他熟悉挪威字母表中的字母 Ø。布尔巴基书页的边上还有一个交通标志，危险弯道 ☡，提醒读者这一段需要格外小心。 一个字母，几个部落 $i$ 还是 $j$？ 对数学家来说，$\sqrt{-1}$ 是 $i$。对电气工程师来说是 $j$，因为 $i$ 已经被电流占用了。两者把同一个东西分别写成 $3 + 4i$ 和 $3 + 4j$。 $\log$。 对许多数学家来说，$\log x$ 是以 $e$ 为底的自然对数。对工程师和计算器来说，是以 10 为底。对计算机科学家来说，几乎总是以 2 为底。三种意思同时出现在同一年出版的书里。 $\langle \psi |$。 量子物理学家用保罗·狄拉克的括号（1939）书写态：左矢 $\langle \phi |$ 和右矢 $| \psi \rangle$，合起来是括号 $\langle \phi | \psi \rangle$。这套记号是个文字游戏（英文的 bracket 被拆成 bra 和 ket），同时也让某些计算几乎自己写了出来。 暗号与边界 一种群体内部的记号，为已在圈内的人节省笔墨，却向圈外的人收取过路费。它是一种暗号：不写求和号而写 $a_\mu b^\mu$ 的人，表明自己属于这个部落。好的普及文章和好的老师反其道而行之：他们至少把部落省略的东西完整地写出一次。

October 26, 2026 阅读
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米赢了，十进制时间没有

1793 年，法国大革命正处高潮，国民公会决定时间也要十进制化。一天将有 10 小时，每小时 100 分钟，每分钟 100 秒。钟表匠做出了新的表盘，有些把两种刻度并排放在一起，好让百姓习惯。 钟表匠阿南（Hanin）呈交国民公会的纸质表盘，新时辰用阿拉伯数字，旧时辰用罗马数字，以便对照：“新时辰与旧时辰的关系，经国民公会通过”。Hanin · 维基共享资源 · 公共领域 十进制时间在 1794 年底成为强制规定，1795 年 4 月即被暂停，距颁布只有十七个月。没有人愿意换掉家里的钟，教堂的钟照旧敲十二下，而新时间也没有任何实际好处来弥补这些麻烦。共和历——每月 30 天，分成三个十天的“旬”——维持得稍久一些：拿破仑在 1806 年初把它废除了。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 米 埋葬了十进制时间的同一部 1795 年法律，创立了公制。米被定义为从北极到赤道距离的一千万分之一，两位天文学家让-巴蒂斯特·德朗布尔和皮埃尔·梅尚从 1792 年到 1798 年测量了敦刻尔克和巴塞罗那之间的子午线弧，以确定它。克、升和公亩随之而来，全都与米相联系，全都以十为进位。 米在时辰失败的地方取得了胜利，因为它解决了一个真实的问题。法国有数百种地方度量单位，名字相同而数值不同；商业因此受损，国家征税时也一样。十进制使换算像移动小数点一样简单，这正是我们在第1章中看到的位值制的优点。即便如此，它直到 1840 年才在法国成为强制标准。 “砸公斤”暴动 巴西于 1862 年以法律采用公制，给了十年的过渡期。1874 年，新的度量衡开始在东北部内陆的集市上强制执行，帕拉伊巴、伯南布哥、阿拉戈斯和北里奥格兰德的农民冲进市政厅和市场，砸毁了秤和公制标准器。这场暴动被称为 Quebra-Quilos，“砸公斤”。对那些按葫芦瓢和杆子买卖的人来说，新记号是又一种受骗的方式，而且是和新税一起来的。 留下来的百分度 革命者还想把角度十进制化：直角为 100 百分度（gon），一整圈为 400。这个主意比时辰幸运：几代法国测量员和制图员都用过它，它至今仍作为科学计算器的 GRAD 模式，与 DEG 和 RAD 并列。但巴比伦的度，连同它的 360 和 60 分，从来没有挪过位置。 教训是：一种记号不会仅仅因为合乎逻辑就获胜。它获胜，是在使用它的群体从更换中得到的多于失去的时候，也是在推行它的人得到使用者信任的时候。 练习：十进制的傍晚普通钟表的 18 点，在十进制时间里是几点？9 点呢？ 到 18 点，一天已经过去了 $\frac{18}{24} = 0.75$。按十进制时间，$0.75 \times 10 = 7.5$ 小时，也就是7 点 50 十进制分。到 9 点，是一天的 $\frac{9}{24} = 0.375$，即 3 点 75 十进制分。这个计算很容易，因为十进制的一天就是一个用十进制写出的分数：一天的 $0.375$ 直接读作 3 点 75。

October 26, 2026 阅读
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别样的书写，别样的数学：算筹、点和结

我们今天写数的方式之所以显得自然，是因为它是我们唯一学过的方式。但其他文化用不同的办法解决了同一个问题——写下数量并用它们计算——而每一种解法，都在这些文化能够思考的东西上留下了印记。 中国的算筹 将近两千年里，中国的数学家用算筹计算：竹、骨或金属做的小棍，摆在分成一列列的算板上。每一列是一个十进位，1 到 5 的数字用同样多根算筹摆出；6 到 9 则用一根代表五的算筹再加几根。为了不让相邻的列混淆，算筹的摆法交替变换：个位纵摆，十位横摆，百位又纵摆。 秦九韶《数书九章》（1247）中用筹算数字写出的一道计算。空位已经用一个小圆圈标出，也就是零。秦九韶 · 维基共享资源 · 公共领域 算筹记数法是一种工具的记号：它复制了算板。空位就是没有算筹的一列；当数被搬到纸上，空位变成了空格，到 13 世纪又变成了一个小圆圈，就像上面那一页。 而且算筹有颜色。大约成书于公元前后的《九章算术》教人用“正”数和“负”数解方程组，注释者刘徽在 263 年解释说，一种用红筹，另一种用黑筹，并有加减它们的法则。在欧洲，一千多年以后负数还被称为“荒谬的数”。一种有两种颜色的工具，使欧洲那只用一种墨水的书写迟迟不肯接受的东西变得可以思考。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 玛雅的点和横 中美洲的玛雅人以二十为单位计数。一个点代表一，一条横代表五，1 到 19 的数字最多用三条横和四个点表示。数位自下而上叠放，空位有一个专门的符号，像一枚贝壳：一个位值的零，在 4 世纪的铭文中已在使用，与印度的零彼此独立。 《德累斯顿抄本》第 62 页，这是少数留存下来的玛雅书籍之一，此为西尔韦纳斯·莫利的复制本。数用点和横写成，有黑有红，夹在蛇形图案之间。Sylvanus Morley · 维基共享资源 · 公共领域 在历法计算中，第三位不是 $20 \cdot 20 = 400$，而是 $18 \cdot 20 = 360$，接近一年的天数。这套记号为天文和祭祀服务：掌握它的祭司能提前几百年算出日食和金星的周期。 印加人的结 印加人没有字母文字，但有结绳（quipu）：挂在一根主绳上的许多细绳，在不同高度上打着结。1923 年，美国人利兰·洛克证明，许多结绳以十进位值制记录数：结在细绳上的高度表示数位（个位在下，十位在上，依此类推），结的类型表示数字。制作和解读结绳的专家，即 quipucamayoc，用它们保存整个帝国的人口普查、贡赋和仓储。 利马拉尔科博物馆收藏的一件印加结绳。每根垂下的细绳都用结的位置和类型保存着一个数。bobistraveling · 维基共享资源 · CC BY 2.0 留下来的六十进制 最后，最古老的位值书写——巴比伦人的书写——在我们的书写里活了下来。他们用六十进制计数，所以一小时有 60 分钟，一分钟有 60 秒，一度有 60 角分。当我们说 $1\text{ h } 23\text{ min } 45\text{ s}$ 时，我们写的是一个三位的六十进制数。

October 26, 2026 阅读
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参考文献与图片来源

延伸阅读 Seron, Xavier; Fayol, Michel. Number transcoding in children: a functional analysis. British Journal of Developmental Psychology, 12, 1994, pp. 281–300. Miura, Irene T.; Kim, Chungsoon C.; Chang, Chih-Mei; Okamoto, Yukari. Effects of language characteristics on children’s cognitive representation of number: cross-national comparisons. Child Development, 59, 1988, pp. 1445–1450. Skemp, Richard R. Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 1976, pp. 20–26. Gray, Eddie M.; Tall, David O. Duality, ambiguity, and flexibility: a “proceptual” view of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), 1994, pp. 116–140. Halliday, Michael A. K. Language as Social Semiotic. London: Edward Arnold, 1978. 关于数学语域的一章。 Pimm, David. Speaking Mathematically: Communication in Mathematics Classrooms. London: Routledge & Kegan Paul, 1987. Baruk, Stella. L’âge du capitaine: de l’erreur en mathématiques. Paris: Seuil, 1985. Brousseau, Guy. Théorie des situations didactiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1998. Pólya, George. How to Solve It. Princeton: Princeton University Press, 1945. 中译本：波利亚《怎样解题》。 Matz, Marilyn. Towards a process model for high school algebra errors. In: Sleeman, D.; Brown, J. S. (eds.). Intelligent Tutoring Systems. London: Academic Press, 1982, pp. 25–50. Gray, Jeremy J. A commentary on Gauss’s mathematical diary, 1796–1814, with an English translation. Expositiones Mathematicae, 2, 1984, pp. 97–130. Berndt, Bruce C. Ramanujan’s Notebooks, parts I–V. New York: Springer, 1985–1998. Kanigel, Robert. The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. New York: Scribner, 1991. Halmos, Paul R. How to write mathematics. L’Enseignement Mathématique, 16, 1970, pp. 123–152. Knuth, Donald E.; Larrabee, Tracy; Roberts, Paul M. Mathematical Writing. Washington: Mathematical Association of America, 1989. Nemeth, Abraham. The Nemeth Braille Code for Mathematics and Science Notation. Louisville: American Printing House for the Blind, 1972. 图片来源 图片 来源 许可 伊尚戈骨 维基共享资源 CC BY-SA 4.0，Joeykentin 尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基《心算》（1895） 维基共享资源 公共领域 高斯日记的第一条记录（1796） 维基共享资源 公共领域 高斯日记中的“ΕΥΡΗΚΑ”（1796） 维基共享资源 公共领域 拉马努金笔记本中的一页 维基共享资源 公共领域 《研究与发明》中的算术方块（1926） 维基共享资源 公共领域 交互图形（按读法写的数、错误规则和高斯的尤里卡）在本站的四种语言中都能使用。所下载图片的记录及每个文件的哈希值，见 data/semiotica_imagens.json。

October 26, 2026 阅读
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如何学会读写数学：指南与术语表

本章一路跟随着学习者：转写数字的孩子，读应用题的学生，写解答的学生。下面的指南汇集了在所有这些时刻都有帮助的习惯。 六个习惯 手里拿着铅笔读。 数学文本很密：一行可能抵得上一段。保罗·哈尔莫斯建议：“不要只是读，要和它较劲！”重做计算，自己举例，追问每一步为什么成立。 大声读。 把 $\sum_{k=1}^{n} k^2$ 说成“$k$ 的平方从 $k$ 等于一到 $n$ 求和”，会迫使你认出每一个部分。说话卡住的地方，阅读也卡住了。 计算之前先看形状。 最后一步运算是什么？有没有重复、对称、出现两次的数？波格丹诺夫-别尔斯基的黑板，是靠看解出来的。 双向翻译。 从文字到公式，给每个未知量起名字、配上单位；再从公式回到文字，检查它是否说了题目所说的话。 用数检验。 在相信一条规则之前，代入小的数值。一个反例就能推翻一条错误规则；很多例子不能证明一条正确规则，但能给人去寻找证明的信心。 为某个人而写。 完整的句子，公式之间有文字，在计算之前先说明目标。如果同学跟不上你的解答，它就还没写完。 对一份写得不好的解答的完整解读 一个学生交上来的“解方程 $2x + 3 = 11$”的解答是这样的： $$2x + 3 = 11 = 2x = 8 = x = 4.$$ 对的地方： 答案 $x = 4$，以及计算过程。 写下的东西： 一串等式，断言 $11 = 8 = 4$，这是错的。等号被当成了“然后”来用，这正是第4章说明必须区分开的用法之一。 学生遵循的规则： “按顺序写下我做的事，步骤之间用等号连接”，这是一条前后一致的规则，却把口语的语域和符号的语域混在了一起。 改写： “两边同减 $3$，得 $2x = 8$。两边同除以 $2$，得 $x = 4$。验算：$2 \cdot 4 + 3 = 11$。” 得到了什么： 现在每一行单独看都是对的，读者也知道两行之间做了什么。 术语表 转码。 把一个数从一种表示转到另一种表示，比如从口头数词转到书写数字。 转码错误。 照说话的方式一块一块地写数：把 trezentos e quatro（三百零四）写成 $3004$。 数学语域。 用来谈论数学的语言变体，日常词语带着约定的意思（韩礼德）。 教学契约。 学生和老师不言而喻地共同遵守的一套规则，比如“每道题都有答案”（布鲁索）。 关键词。 被当作运算指令的题目用词（“多”就加）。有时管用，常常误导。 约定。 约定好的、本可以是别样的规则：运算顺序、小数分隔符、$\sin^2 x$ 的意思。 错误规则。 通过类比正确规则而构造出的错误规则，比如由分配律得出 $(a+b)^2 = a^2 + b^2$（马茨）。 反例。 使一个一般断言不成立的情形。一个就足以推翻它。 程序概念。 既是一个过程、又是这个过程所产生的对象的符号，比如 $3+4$ 或 $13^2$（格雷和托尔）。 工具性理解与关系性理解。 知道怎样套用规则，以及同时知道规则为什么成立（斯肯普）。 线性记号。 写在一行之中、用开始与结束的符号代替位置的书写：内米斯的盲文、TeX、计算器。 练习：运用指南一个学生写道：“$\sqrt{x^2 + 9} = x + 3$，所以 $x = 4$ 时等于 $7$。”用第 5 个习惯检验。 当 $x = 4$ 时：$\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$，而不是 $7$。所用的规则 $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ 是类比分配律得出的错误规则；用数检验一次就能推翻它。等式 $\sqrt{x^2+9} = x + 3$ 只在 $x = 0$ 时成立。

October 25, 2026 阅读