Hero Image
用手和耳朵阅读:盲文与内米斯码

普通的数学书写是二维的。在 $\frac{x+1}{2}$ 中,分数线上面的东西被下面的东西除;在 $x^2$ 中,$2$ 在高处,所以是指数;在 $\sqrt{x+1}$ 中,根号的横线恰好盖住里面的东西。位置是符号的一部分,就像一个数字在数中的位置。眼睛一下子就读出了这一切。可是不用眼睛阅读的人呢? 布莱尔的点 1829 年,法国人路易·布莱尔——五岁起失明,后来在巴黎皇家盲童学校任教——发表了一套用六个凸点排成两列、每列三个的书写系统。每一种组合就是一个符号:至少有一个点的组合共有 $2^6 - 1 = 63$ 种,足够表示字母、标点和数。对于数,布莱尔用了一个省事的办法:在前十个字母前加一个数符,就让 $a$ 表示 $1$,$b$ 表示 $2$,直到 $j$ 表示 $0$。 盲文是一种线性书写:一个符号接一个符号,排成一行。要用它写数学,就得用符号说出普通书写用位置表达的东西:分数从哪里开始、在哪里结束,指数在哪里结束,根号盖到哪里。 算术方块 做算术时,盲校长期使用算术方块(cubarithme):一块分成方格的板,格子里可以放入小立方块,每一面都刻有一个盲文数字。学生像在练习本上一样列竖式,个位对齐个位,用手指去摸一列列数字。位置又回来了,这回是通过触觉。 法国杂志《研究与发明》(Recherches et inventions,1926)对算术方块的介绍:一块方格板,可以放入刻有盲文数字的立方块,靠触觉列竖式计算。Pierre Villey · 维基共享资源 · 公共领域 内米斯码 美国人亚伯拉罕·内米斯(1918–2013)生来失明,曾被劝阻不要学数学:别人告诉他,他没有办法读公式。他读了心理学,做过别的工作,业余时间继续学数学;最终在哥伦比亚大学获得了数学博士学位,并在大学执教了几十年。为了读写所学的东西,他创造了一套数学盲文码,1952 年在美国被正式采用,至今仍称为内米斯码。 这套码的核心思想,是把位置变成开始与结束的符号。一个分数写成“分数开始,分子,分数线,分母,分数结束”;一个指数写成“上升一层,指数,回到基线”。今天我们在键盘上输入数学时,出于别的原因做的正是同样的事: $$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$在高德纳的 TeX(本网站通篇使用的书写方式)中变成 \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} 用花括号代替位置。在这两种情况下,线性化都揭示了结构:书写者必须说出每一部分从哪里开始、在哪里结束。 大声读 屏幕阅读器和口述公式的老师面对的是同一个问题。“$x$ 加一除以二”可以是 $\frac{x+1}{2}$,也可以是 $x + \frac{1}{2}$。在日常说话中,区别靠停顿和语调来表达,而这些在文本里都消失了。能读数学的屏幕阅读器像内米斯那样解决这个问题:它们说“分数开始,$x$ 加一,除以二,分数结束”。听起来很啰嗦,但这恰恰是图形不用文字就交给眼睛的信息。 文字、音乐和素歌 路易·布莱尔在 1829 年介绍他的系统的那本书,名为《用点书写文字、音乐和素歌的方法》(Procédé pour écrire les paroles, la musique et le plain-chant au moyen de points)。乐谱和公式一样,是写在平面上的:音有高有低,和弦层层叠起,它也必须排成一行,才能用手指来读。 练习:口述时不产生歧义用文字写出 $\sqrt{x+1}$、$\sqrt{x} + 1$ 和 $\frac{\sqrt{x+1}}{2}$,使听的人不可能弄错。 “根号,开,$x$ 加一,关。”“根号 $x$,根号结束,加一。”“分数开始:根号,开,$x$ 加一,关;除以二;分数结束。”“开”“关”“结束”这些词,起的正是普通书写所画线条的作用。

Hero Image
为思考而写:高斯和拉马努金的笔记本

所有的数学书写都有读者。有时读者是另一个人;有时是作者自己,几天或几年之后。两者要求截然不同的写法,而两本著名的笔记本说明了:一份为自己写的文本落到别人手里时会发生什么。 高斯的日记 1796 年 3 月 30 日,哥廷根一个 18 岁的学生打开一个小本子,用拉丁文记下:他发现了如何用直尺和圆规把圆周分成 17 等份,这是自古希腊以来悬而未决的问题。他就是卡尔·弗里德里希·高斯,正是这个结果让他选择了数学而不是语文学。在此后的十八年里,他在本子上写了 146 条简短的记录,几乎总是一句话,有时是一个公式。 高斯日记的第一条记录,1796 年 3 月 30 日:把圆分成十七份所依据的原理。Carl Friedrich Gauss · 维基共享资源 · 公共领域 1796 年 7 月 10 日的记录最为著名: “ΕΥΡΗΚΑ num = Δ + Δ + Δ”:每个数都是三个三角形数之和。高斯日记,1796 年 7 月 10 日。Carl Friedrich Gauss · 维基共享资源 · 公共领域 五个符号加一个希腊词。对高斯来说,这就够了:他知道 $\Delta$ 表示三角形数($0, 1, 3, 6, 10, 15, \ldots$,即形如 $\frac{n(n+1)}{2}$ 的数),“num”表示任意正整数,而“尤里卡”庆祝的是费马在 1638 年提出却未加证明的一个断言得到了证明。完整的证明五年后发表在《算术研究》中。

Hero Image
有道理的错误:错误规则

问一个班 $(a+b)^2$ 等于什么,会有一部分人回答 $a^2 + b^2$。问 $\sqrt{9 + 16}$ 等于什么,有人会说 $3 + 4 = 7$。这些错误如此常见,而且在不同学校之间如此相似,不可能是偶然。它们遵循着某条规则。 推广过头的规则 1982 年,美国研究者玛丽莲·马茨研究了高中生的代数错误,提出其中许多来自由正确规则构造出来的错误规则(malrules)。其中最"多产"的是分配律: $$a(b + c) = ab + ac.$$它是正确的,出现得早,而且时时都在用。学生学到“外面的东西要分配进每一项”,而在没有人说过不行的情况下,就把这个动作推广到一切看起来像“对一个和施加运算”的东西上: $$(a+b)^2 \overset{?}{=} a^2 + b^2, \quad \sqrt{a+b} \overset{?}{=} \sqrt{a} + \sqrt{b}, \quad \frac{1}{a+b} \overset{?}{=} \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad \sin(a+b) \overset{?}{=} \sin a + \sin b.$$它们全是错的。它们全都和分配律有同样的形状。从记号的角度看,学生把书写读得很好:看出一个视觉模式,并且一贯地应用它。缺少的是知道形状并不够:分配律对乘法成立,是因为乘法本身是什么,而不是因为括号长成什么样。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 反例这面放大镜 拆穿错误规则的工具是反例:只要一个它不成立的情形。取 $a = 3$、$b = 4$,$(a+b)^2 = 49$,而 $a^2 + b^2 = 25$。好了:这条规则就此作废。正确的规则,比如 $(ab)^2 = a^2 b^2$,经得起所有检验;上面的图可以让你试一试。

Hero Image
没有人写下来的约定

每一种书写都有一些没有人记得自己学过的规则。中文现在从左往右、从上往下读;阿拉伯文从右往左读。数学书写也有这类规则,其中有些强到看起来像数学真理。其实不是:它们是约定,是本来可以是别样的协议。 运算顺序 $2 + 3 \cdot 4$ 等于多少?几乎所有人都回答 $14$:先乘后加。但数学里没有任何东西强迫这个顺序。如果约定是“从左到右”,答案就是 $20$。我们用的规则(先乘方,再乘除,最后加减)是在 16 到 19 世纪的代数书里慢慢固定下来的,因为它在最常见的式子里省括号:像 $3x^2 + 2x + 1$ 这样的多项式,换一种规则就没法读了。 在美国,学生把它记成 PEMDAS;在英国,记成 BODMAS。名字不同,约定一样,而它有一个漏洞,时不时就在社交网络上冒出来: $$6 \div 2(1+2) = \ ?$$严格照规则办事、在乘除之间从左到右算的人,先算 $6 \div 2 = 3$,再算 $3 \cdot 3 = 9$。把 $2(1+2)$ 当作一个整体来读的人,因为这里的乘法是隐含的、没有符号,就算 $6 \div 6 = 1$。两种读法都有人支持,一些科学出版规范倾向于第二种。重点不在于判定谁对,而在于看出这个式子写得不好。数学家绝不会这样写。他们会写 $\frac{6}{2}(1+2)$ 或 $\frac{6}{2(1+2)}$,疑问就消失了。 不守规矩的符号 $-3^2$。 乘方先于负号,所以 $-3^2 = -(3^2) = -9$。要得到 $9$,得写 $(-3)^2$。许多计算器和电子表格遵循这个约定;也有一些不遵循。 $\sin^2 x$。 它表示 $(\sin x)^2$,这是一个省掉一对括号的老习惯。但 $\sin^{-1} x$ 表示 $\arcsin x$,即反函数,而不是 $\frac{1}{\sin x}$。同一个符号上的同一个上标有两种意思,我们在第3章中见过。 $2a$ 与 $2\tfrac{1}{2}$。 数和字母并排写表示相乘:$2a = 2 \cdot a$。在使用带分数的书里,数和分数并排写表示相加:$2\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$。同样的并置,两种运算。 $f(x+1)$ 与 $a(x+1)$。 前者是函数 $f$ 在点 $x+1$ 处的值;后者是一个乘积。只有上下文才能说明括号前的字母是函数还是数。 逗号和小数点 在巴西,$1{,}5$ 是一点五,$1.500$ 是一千五百。在美国正好相反:$1.5$ 是一点五,$1,500$ 是一千五百。同一个写法 $1.000$,在一个国家表示一千,在另一个国家表示一。2003 年,国际计量大会接受了两种小数分隔符,并建议用窄空格分隔千位,如 $1\,500$,正是为了让数不取决于读者所在的国家。

Hero Image
船长的年龄:从应用题到方程

20 世纪 70 年代末,法国格勒诺布尔的数学教学研究所(IREM)的研究人员给小学生出了一道奇怪的题: 船上有 26 只绵羊和 10 只山羊。船长几岁? 这道题没有答案:题目里根本没有提到任何人的年龄。然而,根据教育家斯特拉·巴吕克在《船长的年龄》(L’âge du capitaine,1985)一书中使之出名的记述,97 个孩子中有 76 个给出了一个数,几乎都是 $36$,也就是题目中两个数的和。 隐藏的契约 这些孩子并不粗心。他们是在非常有逻辑地遵守学校没有明说却教给了他们的规则:每道题都有答案,答案是一个数,题目里的每个数都要用上,运算就是字面暗示的那一种。法国研究者居伊·布鲁索把这套不言明的规则称为教学契约。当契约比文字更重要时,文字就不再被阅读了。 误导人的关键词 契约中的一条是关键词规则:“多”就加,“剩下”就减,“每”就乘。它在很多课本习题里管用,所以根深蒂固。但只要把句子倒过来说: 安娜有 12 颗糖,比贝亚多 4 颗。贝亚有几颗糖? 照“多”字办事的人会做加法,答 $16$。读懂的人会注意到贝亚的更少:$12 - 4 = 8$。用符号的语域写出来,题目是 $A = B + 4$,其中 $A = 12$;方程里有个“$+$”,可要求的计算却是减法。这个词描述的是数量之间的关系,而不是读者应该做的运算。 从文字到方程的这一步,是迪瓦尔意义上的表征系统之间的转换,我们在第2章中见过。当词语的顺序与符号的顺序不一致时,它恰恰最难。 波利亚的四个步骤 匈牙利数学家乔治·波利亚在《怎样解题》(How to Solve It,1945)中总结了一套至今仍然有用的步骤: 理解题目。 未知量是什么?已知数据是什么?条件是什么?能用自己的话把题目说出来吗? 拟定计划。 你知道一道相关的题吗?能给各个量起名字,把条件写成方程吗? 执行计划。 进行计算,检查每一步。 回顾。 答案说得通吗?单位对吗?回答了所提的问题吗? 回答一个你不理解的问题是愚蠢的。 — 乔治·波利亚《怎样解题》(1945) 第一步就能救下格勒诺布尔的孩子们:未知量是一个人的年龄,而没有任何数据提到它。最后一步也能:$36$ 岁的船长说得过去,可是“这个 $36$ 是从哪里来的?”这个问题没有答案。 练习:倒过来的折扣打八折(便宜 $20\%$)之后,一件衬衫卖 40 雷亚尔。原价是多少?为什么“48 雷亚尔”这个答案是错的? 设原价为 $p$,题目说的是 $0.8\,p = 40$,所以 $p = 50$。答案 $48$ 来自关键词:“便宜 20%”让人想去算 $40$ 的 $20\%$。但这 $20\%$ 是原价的,不是现价的。验算:$50$ 的 $20\%$ 是 $10$,$50 - 10 = 40$。

Hero Image
一句话里的两种语言:数学语域

一篇用中文写的数学文章,同时是用两种语言写的。一种是符号的语言:$=$、$+$、$x$、$\sqrt{\ }$。另一种看上去是中文,却又不完全是:它用的是日常词语,但意思是数学家们约定好的,两者在同一句话里混在一起。 英国语言学家韩礼德(Michael Halliday)在 20 世纪 70 年代把这种语言变体称为数学语域。语域是与某种活动相联系的说话方式,比如厨房里的(“爆炒”、“勾芡”),或足球里的(“越位”、“定位球”)。数学语域还多一个麻烦:它的许多词在日常语言里早已存在,意思却不同,而意思改变的时候,读者并不会得到提醒。 改变意思的词语 英国数学教育家戴维·皮姆在《说数学》(Speaking Mathematically,1987)一书中收集了许多这样的例子。以下是其中一些: 积是乘法的结果,不是积攒下来的东西。 差是减法的结果;“7 和 3 的差是多少?”要的是 $4$,而不是“两个都是奇数”。 体积量的是空间。 根是正方形的边,就像我们在第1章中看到的,也是使多项式等于零的那个值。 正规、有理和实,并不是指平常、讲理和真实。 平均数可以是算术的、几何的、加权的;报纸上说的几乎总是其中一种。 最大的危险不在名词上,名词可以靠术语表解决。危险在那些小词上。 小词 “或”。 在日常生活里,“咖啡还是茶?”期待的是只选一样。在数学里,“$x > 0$ 或 $y > 0$”在两个都为正时也成立。数学里的“或”是相容的;不相容的那种必须说出来:“二者择一,但不能两个都是”。 “如果……那么……”。 “如果下雨,我就不去”通常会被理解成“不下雨的话我就去”。在数学里,“如果 $n$ 是 4 的倍数,那么 $n$ 是偶数”对那些不是 4 的倍数的数什么也没说:$6$ 是偶数却不是 4 的倍数,而这句话依然成立。要把两方面都说出来,数学用另一种说法,“当且仅当”,和另一个符号,即第4章中的 $\Leftrightarrow$。 “有些”。 “有些学生缺席了”在交谈中暗示并非全部缺席。在数学里,“有些素数是偶数”只是说“至少有一个”,即使全部都是,这句话也仍然成立。 “多几倍”。 “彼得的贴纸比安娜多三倍。”如果安娜有 $10$ 张,彼得有 $30$ 张(安娜的三倍),还是 $40$ 张(安娜的,再加上它的三倍)?词典和写作手册的意见并不一致。数学语域干脆换个说法来避免疑问:是……的三倍。 表示相加的“和”与表示要求的“和” 在“二和三是五”里,“和”是一次加法。在“$x > 2$ 且 $x < 5$”里,它是双重要求:两个条件同时成立,集合变得更小,而不是更大。同一个连词指挥着相反的运算,学习者得从上下文判断是哪一种。 学习语域 数学语域不能靠一纸定义表来学会。它和任何语言一样,要在使用中听到它、说它、被纠正。所以让学生把 $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$ 这样的句子大声读出来(“对所有实数 $x$,$x$ 的平方大于或等于零”)并不是浪费时间:这是从一种语言到另一种语言的过渡,它会显示出阅读在哪里出了问题。

Hero Image
先读后算:波格丹诺夫-别尔斯基的画

1895 年,俄国画家尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基展出了一幅画,名为《心算。在拉钦斯基的民众学校里》。在一间乡村教室里,赤着脚的农家男孩们盯着黑板,有的手托着下巴,有一个正凑到老师耳边低声说话。黑板上写着: $$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}.$$ 尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基,《心算。在拉钦斯基的民众学校里》(1895)。莫斯科,特列季亚科夫画廊。Nikolai Bogdanov-Belsky · 维基共享资源 · 公共领域 这位老师确有其人。谢尔盖·拉钦斯基原是莫斯科大学的植物学教授,他放弃了学术生涯,回到自己出生的塔捷沃村教农民的孩子。他喜欢出一些看起来很庞大、却有捷径可走的算式。波格丹诺夫-别尔斯基本人就曾是他的学生。 不必做的算术 按阅读顺序计算的人,得把五个数平方,把三位数的结果加起来,再除以 $365$。可以做,但很长。先看一眼的人会注意到别的东西: $$10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365, \qquad 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365.$$分子是 $365 + 365$,答案是 $2$。分母上的 $365$ 就是线索:它提醒我们,分子应该能分成这么大的几块。 两条路的差别不在计算能力,而在阅读。一个式子有形状:在做任何计算之前,就能看出它是一个分数,分子是五个平方数之和,这些数是连续的。第2章说明了每个公式里都藏着一棵树;读得好,就是在爬树之前先看见树。 双面的符号 对拉钦斯基的学生来说,$13^2$ 既是一条指令(“把 13 乘以 13”),又是一样东西(数 $169$,可以和别的数相加)。数学教育家埃迪·格雷和戴维·托尔在 1994 年的一篇论文中,把这种双重角色称为程序概念(procept),即过程与概念的结合。同一个符号 $3+4$ 可以读成“把 3 和 4 相加”,也可以读成数 $7$;$\frac{a}{b}$ 可以读成“相除”,也可以读成一个可以和别的分数比较的分数。 按照格雷和托尔的说法,学得下去的学生和卡住的学生,差别很大程度上就在这里。只看到过程的人,每一步都得从头再做,淹没在冗长的计算里。能把符号当作对象的人,就能把它存起来、比较它、组合它。本书所说的能动的记号,正是允许这种转换的记号:写 $13^2$ 而不写“十三乘十三”,就把一项任务变成了一个对象。

Hero Image
数数、说数、写数

现存最古老的书面数学是一根刻了痕的骨头。伊尚戈骨于 1950 年在爱德华湖畔被发现,那里位于刚果民主共和国与乌干达的边界上。它大约有两万年历史,上面刻着分成三列的一组组平行刻痕。没有人确切知道它们数的是什么。但想法很清楚:一样东西刻一道。 伊尚戈骨,沿着骨柄刻着一组组刻痕。布鲁塞尔自然科学博物馆。Joeykentin · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0 用第2章的话说,刻痕是一种图像符号:五道刻痕和五只羊相像,至少在数量上相像。所以这种书写不需要教,一看就懂。代价是长度:要写一千,就得刻一千道。 同一个数的三种表示 我们今天写的数恰好是刻痕的反面。数字 $3$ 并不像三样东西,而在 $304$ 里,$3$ 之所以值三百,只是因为它在第三位,就像我们在第1章中看到的那样。学数数的孩子必须把三种彼此毫不相像的表示联系起来: 数量,可以看到、摸到; 口头的数词,“三百零四”; 书写的数字,$304$。 数词和数字有不同的语法。说话是在加起一块块:三百、零、四。书写是在安放数字:$0$ 占据十位。在葡萄牙语和英语里,十位上的零在话里根本不出现:葡萄牙语说 trezentos e quatro,“三百和四”。孩子把听到的一块一块照写下来,就得到 $3004$:“三百”的 $300$ 后面跟着“四”的 $4$。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 这种错误有个名称,叫转码错误,许多国家都研究过。它是系统性的:恰恰出现在那些口头说法藏起了一个空位的数上,而一旦孩子明白每一位只放一个数字,而且只能放一个,它就几乎消失了。这不是粗心,而是忠实地执行了一条对说话有效、对书写无效的规则。 帮忙的语言和添乱的语言 在葡萄牙语里,十一到十五的名称是不透明的:onze 并不说“十和一”。英语的 eleven 和 twelve 更不透明。在法语里,$97$ 说成 quatre-vingt-dix-sept,“四个二十、十、七”:一个词里装着一整道算术,这是按二十计数留下的遗产。 在汉语和日语里,数的名称跟着写法走。十一就是“十一”;九十七就是“九十七”。位值的结构就在词语里面。一些比较研究,例如 Irene Miura 及其合作者在 20 世纪 80 年代末所做的研究,发现东亚儿童用积木表示十位和个位的能力,比同龄的美国儿童出现得更早。差别不只在语言上(学校和家庭也很重要),但它说明口头的数词可以帮助或妨碍对数字的阅读。 说出来的零 在汉语里,$1504$ 读作“一千五百零四”:“一千,五百,零,四”。语言把空位念了出来。葡萄牙语说 mil quinhentos e quatro,“一千五百和四”,十位上的零从口头上消失了,而孩子们恰恰在这里出错。 练习:读懂错误老师用葡萄牙语念 quinhentos e sete(“五百和七”)时,一个孩子写成 $5007$;念 dois mil e dez(“两千和十”)时,写成 $200010$。这个孩子遵循的是什么规则? 她把说出来的每一块都写成一个完整的数,再把它们拼起来:$500$ 后面接 $7$ 得到 $5007$;$2000$ 后面接 $10$ 得到 $200010$。这条规则前后一致,所以错误会反复出现。缺少的是这样一个想法:$7$ 应当占据 $500$ 的个位,而不是站在它旁边:$500+7=507$,同样 $2000+10=2010$。

Hero Image
参考文献与图片来源

延伸阅读 Euler, Leonhard. Lettres à une princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie. Saint Petersburg, 1768–1772。第 102 至 108 封信用圆讨论三段论。 Venn, John. On the diagrammatic and mechanical representation of propositions and reasonings. The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine, 10, 1880, 第 1–18 页。 Peirce, Charles S. Collected Papers, vol. 4. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933。关于图与图式推理。 Clagett, Marshall (ed.). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions. Madison: University of Wisconsin Press, 1968。 Playfair, William. The Commercial and Political Atlas. London, 1786。 Tufte, Edward R. The Visual Display of Quantitative Information. Cheshire: Graphics Press, 1983。 Huff, Darrell. How to Lie with Statistics. New York: W. W. Norton, 1954。 Cleveland, William S. The Elements of Graphing Data. Monterey: Wadsworth, 1985。 Argand, Jean-Robert. Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Paris, 1806。 Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton: Princeton University Press, 1998。 Nelsen, Roger B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington: Mathematical Association of America, 1993。 Abbott, Edwin A. Flatland: A Romance of Many Dimensions. London: Seeley, 1884。 Garland, Ken. Mr Beck’s Underground Map. Harrow Weald: Capital Transport, 1994。 图片来源 图片 来源 许可 普莱费尔的英国与非洲进出口图(1786) Wikimedia Commons 公有领域 约翰·斯诺的霍乱地图(1854) Wikimedia Commons 公有领域 弗洛伦斯·南丁格尔的死亡原因图(1858) Wikimedia Commons 公有领域 查尔斯·米纳德的俄国战役图(1869) Wikimedia Commons 公有领域 阿尔冈文章的扉页(1806) Wikimedia Commons 公有领域 1652 年的柯尼斯堡,梅里安后人的版画 Wikimedia Commons 公有领域 《平面国》扉页,1885 年美国版 Wikimedia Commons 公有领域 平面国房屋的平面图,艾勃特绘 Wikimedia Commons 公有领域 欧拉圆、奥雷姆的纬度和阶梯求和的示意图是为本书制作的,图中没有文字,因此适用于四种语言。交互图形(图表的刻度、阿尔冈平面和超立方体)在本站的四种语言中都能使用。下载图片的记录及每个文件的哈希值见 data/semiotica_imagens.json。

Hero Image
如何阅读一张图:指南与术语表

本章读的是图。下面的指南汇集了一些问题,帮助我们像读公式一样仔细地读图。 关于一张图的五个问题 图复制了什么? 一张图是某些关系的图像符号,从来不是全部关系的。在图论的图里,只有连接;在维恩图里,只有包含关系。找出重要的东西,忽略其余的。 什么是约定? 刻度、坐标轴的起点、颜色、图框的比例。这些选择不以陈述的形式出现,却会改变眼睛得出的结论。 长度、面积还是角度? 眼睛比较长度很好,比较面积很差,比较角度更差。问问是哪一个承载着信息,它是否按正确的比例画出。 图是在证明还是在说明? 如果眼睛用到的每一种关系都能由论证保证,图就是证明。否则它只是说明,而且可能骗人。 漏掉了什么? 多出的一个维度、放不下的一个变量、被坐标轴截掉的一个值。每张图都是一种选择,而选择本身就说明了什么。 对一张报纸图表的完整解读 一份报纸用折线图显示某种商品一年内的价格从 10.00 涨到 10.50,纵轴从 9.90 到 10.60。那条线从图的底部一直穿到顶部。 复制了什么: 价格随时间的先后顺序。这是对的。 约定: 坐标轴不从零开始。在折线图里这可以是合理的,但高度不再度量大小。 承载信息的是什么: 斜率。它看起来很陡,因为图框被竖向拉长了。 证明还是说明: 图说明了 $5\%$ 的上涨,却暗示了一次暴涨。 漏掉了什么: 这段时间的通货膨胀。如果通胀是 $6\%$,价格按实际计算其实下降了,图把故事讲反了。 术语表 图。 用平面上图形的排列来表示关系的符号。 关系的图像符号。 在皮尔斯看来,不是在事物上、而是在事物之间关系的结构上与对象相似的符号。 欧拉图。 按集合之间已知的关系摆放的圆:在里面、在外面或相交。 维恩图。 总是相交的圆,显示全部 $2^n$ 个区域,用阴影表示空区域。 纬度与经度(奥雷姆)。 性质的强度(竖直)沿着广延(水平)的分布。函数图像的祖先。 对数刻度。 每走同样长的一步就乘以同一个因子的坐标轴。把指数增长变成直线。 截断的坐标轴。 不从零开始的坐标轴。在条形图中会夸大差异。 复平面(阿尔冈平面)。 把 $a+bi$ 表示为点 $(a,b)$。乘以 $i$ 就是旋转 $90°$。 图(图论)。 点(顶点)和连线(边),其中只有谁连着谁才重要。 平面图。 能画得没有交叉的图。 无字证明。 用很少或不用解释,让证明一目了然的图。 投影。 一个对象在较低维空间中的影子,比如立方体在纸上的画法。 练习:用一用指南一张饼图显示四家公司的市场份额分别为 23%、25%、26% 和 26%。指南怎么说? 信息在角度里,而眼睛比较角度很差:四片看起来一样大。如果问题是“谁领先?”,比较长度的条形图会显示出差别。如果问题是“市场是否被瓜分?”,饼图回答得很好,恰恰因为它隐藏了细小的差别。

Hero Image
第四维:画出看不见的东西

本章所有的图都有一个优势:所表示的对象总能以某种方式放到纸上。但数学谈论四维、十维甚至一百万维的空间时,毫不费力。代数没有任何困难:四维空间中的一个点,只是四个数的一张清单 $(x,y,z,w)$。然而眼睛生活在三维里。怎样画出看不见的东西? 平面国 《平面国:一个多维的传奇》的扉页,署名“一个正方形”,1885 年美国版。真正的作者是英国校长埃德温·艾勃特。Edwin A. Abbott · Wikimedia Commons · 公有领域 1884 年,伦敦一所学校的校长埃德温·艾勃特以一个正方形为笔名,出版了一部名为《平面国》的小说。叙述者是一个生活在二维世界里的正方形,那里住着三角形、正方形、五边形和圆。居民们只能看见线段:从侧面看,每个多边形都是一条线。 有一天,一个球来到平面国。正方形看见一个点出现,长成一个圆,又缩小、消失:那是球穿过平面时的一个个截面。他无法理解球是什么,直到他被带离平面,从上方看见自己的世界。回去之后,他试图谈论第三维,结果因异端罪被关进了监狱。 艾勃特亲手画的一座平面国房屋的平面图:一个五边形,一扇门给男人,另一扇给女人。对居民来说,这是看一座房子唯一可能的视角。Edwin A. Abbott · Wikimedia Commons · 公有领域 艾勃特的教训是一种方法:用类比推理。我们就是面对球的那个正方形。一个穿过我们空间的四维物体,会显现为一连串先长大后缩小的三维截面。我们无法看见它的全貌,但可以问:比它低一维的居民会怎样看见它? 不用看也能数 用数字,类比更有效。看看各个维度中的“立方体”序列: 维数 对象 顶点 棱 0 点 1 0 1 线段 2 1 2 正方形 4 4 3 立方体 8 12 4 超立方体 16 32 要从一个维度到下一个维度,就把对象复制一份,把每个顶点与它的副本连起来。顶点数加倍:$2^n$。棱数是原来的棱、副本的棱和新的连线:$2E+V$。从立方体到超立方体:$2\cdot12+8=32$。没有人看见过超立方体的 32 条棱,但这个计数是确定的。记号和推理到达了眼睛到不了的地方。超立方体的另一个名字四维立方体(tesseract),是英国数学家查尔斯·霍华德·辛顿在 1888 年创造的。 超立方体的影子 能画出来的是影子。立方体在纸上的影子是两个顶点相连的正方形。超立方体在我们空间里的影子是两个立方体,顶点相连,一个套在另一个里面。而这个影子在纸上的影子,就是下面这张图。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 让超立方体在 $xw$ 平面上旋转。这个平面混合了我们空间的一个方向和第四个方向,对我们来说并不存在。结果看起来不可思议:里面的立方体变大,外面的变小,两者互相穿过、交换位置。对平面国的居民来说,一个转出平面的立方体同样会像是在里外翻转。这张图展示的不是超立方体本身,而是我们用现有的眼睛能知道的关于它的东西。

Hero Image
无字证明

1993 年,美国数学协会出版了一本奇特的书,由罗杰·尼尔森编辑:《无字证明》。每一页有一张图,有时下面有一个公式。一句话也没有。意思是让读者看、理解、被说服,而不需要任何人解释。这本书非常成功,后来又出了两卷,《数学杂志》至今仍在刊登这样的证明。 变成矩形的阶梯 一个有 1、2、3、4 个小方块的阶梯,以及两个相同的阶梯拼成的 4×5 矩形。为本书制作的教学示意图。 $1+2+3+4$ 等于多少?用一排排小方块画一个阶梯。再复制一个,转过来拼在旁边:两个阶梯组成一个 $4\times5$ 的矩形,有 $20$ 个小方块。每个阶梯占一半: $$1+2+3+4=\frac{4\cdot5}{2}=10.$$而且这张图并不依赖于 $4$。一个 $n$ 级的阶梯,两份拼成 $n\times(n+1)$ 的矩形,于是 $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$第4章用代数归纳法证明过这个公式。图用另一种方式证明了同一件事:不是一步步地推,而是看出为什么会出现半个矩形。 “看!” 最有名的无字证明,是据说出自十二世纪印度数学家婆什迦罗的勾股定理证明。把四个直角边为 $a$ 和 $b$、斜边为 $c$ 的直角三角形放进边长为 $c$ 的正方形里,中间留下一个边长为 $b-a$ 的小正方形。据传说,婆什迦罗在下面只写了一个词:“看!”。面积给出 $$c^2=4\cdot\frac{ab}{2}+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2.$$有趣的是,这个“无字证明”需要一行代数来核对。图展示了各个部件;计算保证它们拼得上。 图什么时候是证明,什么时候在骗人 第1章讲过希腊人对图形的不信任。这种不信任是有道理的。业余魔术师保罗·柯里在 1953 年推广的消失的方格谜题,用四块拼成一个三角形,交换各块的位置后,又拼成一个同样大小的三角形,却少了一个小方格。面积到哪里去了? 秘密在于,这两个“三角形”都不是三角形。两块三角形的斜率不同,分别是 $\frac25=0.4$ 和 $\frac38=0.375$,所谓的“斜边”其实是一条折线:在一种拼法里稍稍向内凹,在另一种拼法里稍稍向外凸。两者之差正好是一个小方格,摊在一条细得眼睛看不见的窄带里。 只有当眼睛依赖的每一种关系——“这些线平行”“这些点共线”“这些块拼得上”——都能由论证来保证时,无字证明才是证明。当眼睛假设的比图所保证的更多时,图就变成了错觉。 不断对半分的正方形 取一个面积为 $1$ 的正方形。涂一半,再涂剩下的一半,再涂剩下的一半。涂上的面积是 $\frac12$、$\frac14$、$\frac18$,白色部分越缩越小,却永远不会消失。图不用任何计算就表明 $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=1$:没有任何东西漏掉,也没有任何东西超出正方形。这正是第5章用级数的等号读过的那个级数。 练习:奇数之和第4章展示过一张图,其中每个奇数是一层 L 形。用这个想法,不做加法算出 $1+3+5+\cdots+19$。 从 $1$ 到 $19$ 的奇数是 $10$ 层,$10$ 层组成边长为 $10$ 的正方形。和是 $10^2=100$。