三角不等式

テスト — 不等式

三角関数の不等式 (第 VIII 章)。 Teste 172CESCEA-74 区間 $[0, \pi]$ における不等式 $\operatorname{sen}^2 x - \frac{1}{2} \ge 0$ の解は次のとおりです。 a) $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ または $\frac{3\pi}{4} \le x \le \pi$b) $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4}$c) $\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{2\pi}{3}$d) $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \le x \le \pi$e) わからない $\operatorname{sen}^2 x \ge \frac{1}{2} \iff |\operatorname{sen} x| \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$; $[0, \pi]$、$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4}$にあります。 Teste 173CESCEM-72 不等式 $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen}^2 x > 0$ を考えてみましょう。次のように言えます: a) 第 1 象限の $x$ についてのみ満たされますb) $0$ と $\pi$ の間の $x$ についてのみ満たされます。c) $-x$ を $x$ に置き換えることによって得られる不等式は、指定された不等式と等価ですd) それを満たす$x$の値は、まさに$\operatorname{sen} x > 0$の値です。e) 第 3 象限には不等式を満たす $x$ があります $\operatorname{sen} x(1 + \operatorname{sen} x) > 0$。 $1 + \operatorname{sen} x \ge 0$ と同様、$\operatorname{sen} x = -1$ の場合のみ null となり、不等式は $\operatorname{sen} x > 0$ と同等になります。

October 25, 2026 読んだ

第 VIII 章の演習 — 不等式

各不等式にサイクルを描きます。補助線をマークし、適切な円弧を強調表示してから、$A$ から始まる間隔を書き込みます。厳密な不等式を満たさない点はオープンとなります。正弦不等式 271 不等式$0 \le \operatorname{sen} x < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$を解きます。解像度を参照してください$x$ の画像は、直線 $r$ ($v = 0$) と $s$ ($v = \frac{\sqrt{3}}{2}$) の間の平面範囲とサイクルの交点になければなりません。$r$ は含まれ、$s$ は除外されます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 $$2k\pi \le x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x \le \pi + 2k\pi.$$ 272 不等式$\operatorname{sen} x \ge 0$を解きます。解答を見る$S = \{x \in \mathbb{R} \mid 2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi\}$

October 24, 2026 読んだ

接線不等式

接線の場合、境界線は軸に平行な直線ではなくなり、中心を通る直線 $OT$ になります。これにより、サイクルが 2 つの正反対の点に分割され、解は常に $O$ に関して対称な円弧のペアになります — $\pi$ の周期を持つ接線の反映です。歴史タンジェントという名前は、測定に使用する軸に由来しており、線分 $\overline{AT}$ は $A$ のサイクルの接線上にあります。この単語はラテン語でタンゲンスと呼ばれ、デンマークの数学者トーマス・フィンケによって幾何学ロタンディ（1583）という本の中でセカンスとともに紹介されました。以前、アラブ人は日時計に関連した研究で、太陽に照らされた垂直棒の「影」としてこの大きさをすでに計算していました（第II章を参照）。トーマス・フィンケとは誰だったのかトーマスフィンケ (1561 – 1656) は、当時デンマーク王国のフレンスブルクで生まれ、接線と正割に名前を与え、また、正接と正割に名前をもたらした本である幾何学幾何学 (「円の幾何学」) を出版したのはまだ 22 歳でした。接線の法則（第 X 章）。その後、イタリアとスイスで医学を学び、1591 年からはコペンハーゲン大学の教授となり、最初は数学、次に修辞学、最後に医学を学び、60 年以上教鞭を執りました。彼は95年に亡くなりましたが、これは当時の長寿記録でした。出典: Fincke (MacTutor) · 三角関数 — 歴史 (MacTutor)。日常生活での応用アクセシビリティ。ブラジルの基準では、傾斜角の 8,33% までの傾斜が制限されています: $\operatorname{tg}\alpha \le 0{,}0833$、つまり $\alpha \le 4{,}76^\circ$。屋根。セラミックタイルでは、水を排水するために、モデルに応じて約 30% の最小傾斜が必要です: $\operatorname{tg}\alpha \ge 0{,}30$、つまり $\alpha \ge 16{,}7^\circ$。道路「急勾配」標識は、勾配の接線が一定値を超える箇所があり、大型トラックにとって危険であることを警告します。アクセシビリティノルムは正接不等式 $\operatorname{tg}\alpha \le 0{,}0833$ です。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 24, 2026 読んだ

コサイン不等式

コサインの場合、補助線は垂直になっており、$\cos x > m$ の解はその右側、$\cos x < m$ の解は左側にあります。歴史本書で使用する区間表記は、除外される極値を示すために「回転」括弧を付けたものです ($\left]a, b\right[$)。これはフランスの伝統です。それは 20 世紀にグループニコラ・ブルバキによって広められました。このグループは一連の書籍で数学の基礎を書き直したフランスの数学者の総称です。英語圏では$(a, b)$という括弧付きの表記が一般的です。ニコラ・ブルバキとは誰だったのかニコラ・ブルバキは存在しませんでした。 1934 では、フランスの若い数学者のグループ (アンドレヴェイユ、アンリカルタン、クロードシュヴァレー、ジャンデュドネが含まれる) が、徹底的に厳密に数学を基礎から再構築する論文を書くことにしました。彼らは、エスコーラ師範学校の生徒たちのいたずらと、19世紀のフランスの将軍シャルル・ブルバキから取った、でっち上げられた名前で署名した。このジョークは真剣に受け止められ、ブルバキには伝記、国籍（架空の国「ポルダヴィア」の国籍）、娘からの結婚式の招待状、さらにはアメリカ数学協会への会員申請書まで渡されたが、拒否された。メンバーは時間の経過とともに変わり、原則として 50 歳で脱退しました。区間表記に加えて、私たちは空集合の記号 $\varnothing$ とインジェクター、サージェクター、およびバイジェクターという単語をこのグループに負っています。出典: ブルバキ (MacTutor) · 集合論と論理のシンボルの初期使用法 (Jeff Miller)。日常生活での応用カメラとゲーム点とカメラ軸の間の角度 $\theta$ が $\cos\theta > \cos\beta$ を満たすとき、点は絞り $2\beta$ のカメラの視野内にあります。ゲームでは、まさにこのテストを使用して、あるキャラクターが別のキャラクターを「認識」しているかどうかを判断します。指向性アンテナ。指向性 Wi-Fi アンテナは、その方向に対する偏差 $\theta$ が、たとえば $\cos\theta > 0{,}9$、つまり $\theta < 25{,}8^\circ$ の場合に良好な信号を提供します。照明壁は、光が $\cos\theta > \frac{1}{2}$、つまり垂線から $60^\circ$ 未満に到達すると、ランプによってよく照らされます。 $\cos\theta > \cos\beta$ のときにオブジェクトが画像に表示されます。カメラとゲームは常にこのテストを実行します。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 24, 2026 読んだ

正弦不等式

$f$ と $g$ を変数 $x$ の 2 つの三角関数としましょう。不等式 $f(x) < g(x)$ を解くことは、$f(r) < g(r)$ が真の文となる数値 $r$ の集合 $S$、つまり解の集合または真理値集合 - を取得することです。歴史信号 $<$ と $>$ は、天文学者であり航海士でもあった英国の数学者トーマスハリオットの死から 10 年後に出版された本の分析手法の 1631 に掲載されました。標識 $\le$ と $\ge$ (標識の下にダッシュが付いている) は、数学者で水路学者であるフランスのピエールブーゲーによって 1734 に導入されました。それ以前は、不等式は「より大きい」、「より小さい」というように完全に記述されていました。トーマス・ハリオットとは誰だったのかトーマスハリオット (c. 1560 – 1621) は、エリザベス 1 世の宮廷冒険家であるウォルターローリー卿の航海教師として生活を始めました。1585 で、彼は現在のノースカロライナ州ロアノーク島へのローリーの遠征に乗り出しました。彼はアルゴンキン語を学び、その土地とその住民についての説明を書きました。これが生涯で出版した唯一の本です。イギリスに戻り、ノーサンバーランド伯爵の保護のもと、彼は代数、光学、天文学に専念しました。1609 7 月、ガリレオの数か月前に、彼は望遠鏡を月に向け、見たものを描きました。しかし、ハリオットはほとんど何も出版せず、何千ページもの原稿が何世紀にもわたって忘れ去られたままでした。彼はおそらくタバコが原因で、彼がアメリカから持ち込んだ習慣である鼻ガンで亡くなった。 1557ロバート・レコーデは、記号 $=$ を発明しました。「2 つの平行な直線、これ以上等しいものはないからです」。 1631ハリオットの信号$<$と$>$が印刷されています。 1734ピエール・ブーゲーより$\le$と$\ge$が登場。出典: F. Cajori、数学表記の歴史、vol.私 (1928)、§§ 484 – 485 · ハリオット (MacTutor)。

October 24, 2026 読んだ

読書: ユークリッドと演繹幾何学

補足資料補足資料ユークリッドと演繹幾何学紀元前 338 年、ギリシャはマケドニアの支配下に入りました。アレキサンダー大王はギリシャ文化を東方に持ち込み、数十の都市を設立しました。そのうちの 1 つ、エジプトのアレクサンドリアは、数学の歴史において特別な役割を果たすことになります。アレクサンダーの後にエジプトを統治したプトレマイオスは、国家が管理する研究教育センターである博物館をそこに設立しました。彼の図書館には700千巻近いパピルスがあった。クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン博物館の最初で最も著名な数学者の一人はユークリッド (紀元前 300 年頃) でしたが、彼の生涯についてはほとんど何も知られていません。プトレマイオスが幾何学を学ぶためのより簡単な方法はないか尋ねたとき、彼は次のように答えたと言われています。「幾何学に本当の方法はない。」ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン彼の名声は、13 冊の本の原論にあります。これは、私たちに届くギリシャ数学の最古の完全なテキストです。 1482 で最初の印刷版が発行されて以来、1,000 を超える版が発行されています。 5 つの一般的な概念、5 つの公準、およびいくつかの定義から、ユークリッドは 467 定理を推定しました。 2000 年にわたり、原論は優れた数学のモデルでした。時間が経つにつれて、論理的な欠陥が発見されましたが（たとえば、明言されていない連続性仮説の使用など）、それらは作品の偉大さと影響力をほとんど損ないません。

October 3, 2026 読んだ

4 章の演習 — 三角形

演習と解決策演習 80 — true (V) または false (F) として分類します。二等辺三角形はすべて等辺です。正誤誤り。二等辺三角形の底辺は他の辺とは異なる場合があります。正三角形はすべて二等辺です。正誤正しい。 (少なくとも) 2 つの合同な辺があります。不等辺三角形は二等辺になります。正誤誤り。不等辺角には合同な 2 つの辺がありません。すべての二等辺三角形は鋭角三角形です。正誤誤り。二等辺長方形と鈍角があります。すべての直角三角形は不等辺三角形です。正誤誤り。二等辺長方形 (45°、45°、90°) は反例です。直角三角形と二等辺三角形があります。正誤正しい。一致する脚。二等辺三角形の鈍角があります。正誤正しい。 120°、30°、30°などの鈍角の頂角。すべての鋭角三角形は二等辺または等辺のいずれかです。正誤誤り。 50°、60°、70°などの不等辺角角があります。 ↻ 最初からやり直す

October 3, 2026 読んだ

三角形の不等式

どの三角形でも、各辺は他の 2 つの辺の合計より小さくなります。古代人はすでに「ロバでもそれを知っている」と冗談を言いました。発見者三角不等式はユークリッドの原論の命題I.20です（紀元前300頃）。最大辺と最大角の関係は命題I.18とI.19にあります。セグメントが 2 点間の最短経路であるという考えは、ずっと前から直感的でした。ユークリデスのメリットは、過去の結果に基づいてそれを実証したことです。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史プロクロス (西暦 5 世紀) は、エピクロス人は三角不等式を証明したユークリッドを嘲笑したと述べています。ロバですら、干し草に向かうまっすぐな道のほうが、周囲を回るよりも短いことを知っている、と彼らは言いました。プロクロス氏は、事実を認識することと、それがなぜ真実であるかを知ることは同じではないと答えた。このデモンストレーションは、結果が平面の特性に依存するため、地球の表面などの他の幾何学形状では有効ではなくなる可能性があることを示しています。 20 世紀には、三角不等式は数学における「距離」を定義する 3 つの規則の 1 つになりました。それは三角形どころか、分析、統計、コンピューティングにも現れます。日常生活での応用草の中の近道。広場や庭園を通って形成される小道は、実際には対角線が両側よりも短いことを人々が知っていることを示しています。 3 本の棒は三角形を形成しますか? 最大の棒が他の 2 本の合計より小さい場合に限ります。 2 cm、3 cm、6 cm のロッドが閉じません。配送ルート。物流アルゴリズムは三角不等式を使用して、決して短くなり得ない逸脱を排除します。屋根。ハサミの場合、最も大きな角度の反対側が最も長いビームです。まさに命題 I.18 と I.19 が示しているとおりです。出典: 要素、命題 I.20 · 要素、命題 I.18 · Proclus (MacTutor)。理論と作図定理 · 最大の角度は最大の辺の反対側にあります三角形の 2 つの辺が合同ではない場合、それらの向かい側の角度も合同ではなく、最大の角度は最大の辺の反対側になります: $BC > AC \Rightarrow \hat{A} > \hat{B}$。逆数: 最大の角度は最大の辺と対向します: $\hat{A} > \hat{B} \Rightarrow a > b$。

October 3, 2026 読んだ

三角形の合同

2 つの三角形がお互いの「コピー」になるのはどのような場合ですか? 6 つの要素をチェックする必要はなく、適切に選択された 3 つだけで十分です。発見者著者名のある最も古い基準は、アッラー (片側と隣接する 2 つの角)。プロクロスロードス島のエウデモスを引用して、次のように述べています。ミレトスのタレス（紀元前 6 世紀）海上の船の距離を計算するために使用されました。事例のデモンストレーション LAL (提案 I.4)、 LLL (I.8) およびアッラー (I.26) はあります要素のユークリッド (紀元前300年頃)。 1899年に、デヴィッド・ヒルベルト LAL の場合を公理として受け入れる必要があることを示しました。ロードス島のエウデモスの作とされるアテナイの学堂の人物。不確かな身元確認。ラファエル・サンツィオ; Jic と FranksValli による複製の切り抜き · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカジョルダーノ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインデヴィッド・ヒルベルト。身元不明の写真家 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史 LAL の場合を証明するために、Euclid は 1 つの三角形を「移動」し、別の三角形の上に置きます、いわゆる重ね合わせ法です。古代以来、解説者たちは、この運動を承認する公準は存在しないと指摘してきた。多くの人がその証拠を受け入れました。ルネサンス期の数学者ジャック・ペルティエ (1557) など他の人はこれを批判した。

October 3, 2026 読んだ

コンセプト、要素、分類

三角形は最も単純で最も便利な多角形です。他の多角形はすべて三角形に分割できます。発見者三角形は、エジプトとメソポタミア以来、装飾品、建築物、面積計算に登場します。リンドのパピルス (紀元前 1650 年頃) には、すでに三角形の土地の面積に関する問題が提示されています。現在まで使用されている分類はユークリッド (紀元前 300 頃) に基づいています。原論の定義 I.20 と I.21 では、彼は三角形を辺 — 等辺、二等辺、不等辺によって、そして角度 — 長方形、鈍角、鋭角によって分割しています。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史名前はギリシャ語で説明的です。二等辺は「等しい脚」を意味し、斜角は「足が不自由」または「不均等」を意味します。正三角形には名誉ある地位があります。それは、2 つの円と定規で作られた原論 (命題 I.1) の最初の構築です。 1570 でヘンリービリングスリーによって翻訳された、Elements の最初の英語版のタイトルページ。この版は、作品のその後の流通を例示しています。ヘンリー・ビリングスリーによる編集。 Charles Thomas-Stanford · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインで複製。原論は 1,000 年以上にわたって手書きでコピーされ、アラビア語、ラテン語、英語に翻訳され、ヴェネツィアで最初に 1482 で印刷されました。これは聖書に次いで、歴史上最も多くの版が発行された本の一つです。日常生活での応用トラステ屋根、金属橋、クレーンなどに三角形が使われるのは、側面を固定しても変形しないためです。自転車伝統的なフレームは 2 つの三角形で形成されており、軽量かつ高剛性です。標識「道を譲ってください」標識は逆さまの正三角形で、車両の安全三角マークは等辺です。 3D グラフィックスゲームやアニメ映画のキャラクターやシナリオは、何千もの三角形のメッシュです。出典: 要素、定義 I.20 · 要素、命題 I.1 · Euclid (MacTutor)。

October 3, 2026 読んだ