コサインの場合、 補助線は垂直になっており、$\cos x > m$ の解はその右側、$\cos x < m$ の解は左側にあります。

歴史

本書で使用する区間表記は、除外される極値を示すために「回転」括弧を付けたものです ($\left]a, b\right[$)。これはフランスの伝統です。それは 20 世紀にグループニコラ・ ブルバキ によって広められました。このグループは一連の書籍で数学の基礎を書き直したフランスの数学者の総称です。英語圏では$(a, b)$という括弧付きの表記が一般的です。

出典: ブルバキ (MacTutor) · 集合論と論理のシンボルの初期使用法 (Jeff Miller)。

日常生活での応用

  • カメラとゲーム 点とカメラ軸の間の角度 $\theta$ が $\cos\theta > \cos\beta$ を満たすとき、点は絞り $2\beta$ のカメラの視野内にあります。ゲームでは、まさにこのテストを使用して、あるキャラクターが別のキャラクターを「認識」しているかどうかを判断します。
  • 指向性アンテナ。 指向性 Wi-Fi アンテナは、その方向に対する偏差 $\theta$ が、たとえば $\cos\theta > 0{,}9$、つまり $\theta < 25{,}8^\circ$ の場合に良好な信号を提供します。
  • 照明 壁は、光が $\cos\theta > \frac{1}{2}$、つまり垂線から $60^\circ$ 未満に到達すると、ランプによってよく照らされます。
$\cos\theta > \cos\beta$ のときにオブジェクトが画像に表示されます。カメラとゲームは常にこのテストを実行します。

理論

cos x > mの分解能

まとめロードマップ

  1. $\overline{OP_2} = m$ となるように余弦軸上の点 $P_2$ をマークし、$P_2$ を通して軸に垂直な直線 $r$ を引きます。
  2. $\cos x > m$ が $r$ の右側の半平面とのサイクルの交点にあるような実体 $x$ の画像です。
  3. $A$から適切な範囲を記述してください。

例cos x > √3/2

線 $u = \frac{\sqrt{3}}{2}$ は、$\frac{\pi}{6}$ と $\frac{11\pi}{6}$ の画像のサイクルをカットします。右側の円弧には $A$ が含まれています。

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$$2k\pi \le x < \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{11\pi}{6} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi.$$

cos x < m の分解能

まとめロードマップ

  1. $P_2$を$\overline{OP_2} = m$でマークし、コサイン軸に垂直な線$r$を描きます。
  2. $\cos x < m$ が $r$ の左側の半平面とのサイクルの交点にあるような実体 $x$ の画像です。
  3. 適切な間隔を説明します。

例cos x < −1/2

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$$\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi.$$

円弧は$A$を通らないので間隔は十分です。

製品の不平等と商の不平等

不等式が式の積や商に関係する場合、関数を補助変数 (たとえば $\cos x = y$) に交換し、 各因子の符号を符号表で調べ、最後にのみサイクルに戻ります。

例cos 2x / cos x ≥ 0

$y = \cos x$の場合：$\dfrac{2y^2 - 1}{y} \ge 0$。分子は $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ で符号が変わり、分母は $0$ で符号が変わります。信号チャートは、商が $\ge 0$ から $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le y < 0$ または $y \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ であることを示しています。 $\cos x$ のこれらの各条件は、上記のサイクルで解決されます。完全な解決策は演習 304 にあります。

このセクションの演習は、章リスト.