Euler's Eyes
2026-10-24
正弦不等式
$f$ と $g$ を変数 $x$ の 2 つの三角関数としましょう。不等式 $f(x) < g(x)$ を解くことは、$f(r) < g(r)$ が真の文となる数値 $r$ の集合 $S$、 つまり解の集合 または真理値集合 - を取得することです。
歴史
信号 $<$ と $>$ は、天文学者であり航海士でもあった英国の数学者トーマス ハリオットの死から 10 年後に出版された本の分析手法の 1631 に掲載されました。標識 $\le$ と $\ge$ (標識の下にダッシュが付いている) は、数学者で水路学者であるフランスのピエール ブーゲーによって 1734 に導入されました。それ以前は、不等式は「より大きい」、「より小さい」というように完全に記述されていました。
- 1557ロバート・ レコーデは、記号 $=$ を発明しました。「2 つの平行な直線、これ以上等しいものはないからです」。
- 1631ハリオットの信号$<$と$>$が印刷されています。
- 1734ピエール・ ブーゲーより$\le$と$\ge$が登場。
出典: F. Cajori、数学表記の歴史、vol.私 (1928)、§§ 484 – 485 · ハリオット (MacTutor)。
日常生活での応用
- 観覧車。 第 VII 章の観覧車では、キャビンは $\operatorname{sen}\theta > \frac{1}{2}$ の間、29 m 上にあります。つまり、周回の $\frac{1}{3}$ の間、10 分ごとに 3 分 20 秒です。
- 太陽エネルギー。 水平パネルは、太陽が十分な高さにある場合にのみ有用なエネルギーを生成します。最大強度の少なくとも半分を必要とする場合は、$\operatorname{sen} h > \frac{1}{2}$、つまり $30^\circ$ より上の太陽が必要です。
- 干潮時の横断 砂州を徒歩で横断できる時間は、$a + b\operatorname{sen}(ct + d) < m$ タイプの不等式の解です。
理論
根本的な不平等
ほとんどすべての三角関数の不等式は、次の 6 つのタイプのいずれかに帰着できます。ここで、$m$ は指定された実数です。
$$\operatorname{sen} x > m \qquad \cos x > m \qquad \operatorname{tg} x > m$$$$\operatorname{sen} x < m \qquad \cos x < m \qquad \operatorname{tg} x < m$$そのため、 それらは根本的な不平等と呼ばれており、他の不平等を解決するには、それらを解決する方法を知る必要があります。 ($\ge$ と $\le$ の場合、推論は同じです。変更されるのは間隔の両端だけであり、それが含まれるようになります。)
sin x > m の分解能
まとめロードマップ
- 正弦軸上の点 $P_1$ を $\overline{OP_1} = m$ のようにマークします。
- $P_1$ を通り、軸に垂直な線 $r$ を描きます。 $\operatorname{sen} x > m$ のような実体 $x$ の画像は、$r$ の上の半面とサイクルの交点にあります。
- $x$ が属する区間を**$A$ から開始**し、反時計回りに 1 回転するまでの周期を記述します。
例sin x > −√2/2
$\frac{5\pi}{4}$と$\frac{7\pi}{4}$の画像では、$r$($v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$)の線でサイクルが切れています。 $A$ から横切るその上の円弧は、2 つの間隔を示します。
注意なぜ A から始めるのでしょうか?
$\frac{7\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ と書くのは間違いです。$\frac{7\pi}{4} > \frac{5\pi}{4}$ と同様に、その「範囲」には $x$ はありません。 $A$ から始まり、$A$ を通過する円弧は 2 つの正当な間隔に分割されます。 (もう 1 つの方法は、否定的な決定を使用することです: $-\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$。)
sin x < m の分解能
まとめロードマップ
- $\overline{OP_1} = m$ のように正弦軸上の点 $P_1$ をマークし、それを通る軸に垂直な直線 $r$ を描きます。
- $\operatorname{sen} x < m$ が $r$ の下の半面との交点にあるような実体 $x$ の画像です。
- $A$から開始して反時計回りに 1 回転するまでの適切な間隔を記述します。
例sin x < 1/2
行 $v = \frac{1}{2}$ は、$\frac{\pi}{6}$ と $\frac{5\pi}{6}$ のイメージのサイクルをカットします。
性質エッジケース
- $m \ge 1$ の場合: $\operatorname{sen} x > m$ には解がなく、$\operatorname{sen} x < m$ はすべての $x$ に対して有効です ($m = 1$ の場合は $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ を除く)。
- $m < -1$ の場合: $\operatorname{sen} x > m$ はすべての $x$ に対して有効であり、$\operatorname{sen} x < m$ には解決策がありません。
さらに詳しく: $\operatorname{sen} x < x < \operatorname{tg} x$ と基本的な制限
最も重要な三角不等式の 1 つは、サイクルではなく面積を比較することによって解決されます。 $0 < x < \frac{\pi}{2}$について、中心周期$O$において、$A = (1, 0)$、$P$を$x$の画像、$T$を直線$OP$上の接軸上の点とします。
すべてを $\operatorname{sen} x > 0$ で割って反転すると、$\cos x < \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} < 1$ になります。 $x$が$0$に近づくと、$\cos x$が$1$に近づき、 両者の比率が絞られることになります。
$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1.$$($x < 0$ についても、$\frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x} = \frac{\operatorname{sen} x}{x}$ であるため同じことが当てはまります。) 実際には:ラジアンで測定される小さな円弧の場合、$\operatorname{sen} x \approx x$ — これはまさにアリヤバータが半径 3438 を使用するときに利用したものです。
例2つの制限
$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2\cdot\frac{\operatorname{sen} 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{3x} = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}.$$参照: サインの導関数
点$x$における正弦の変化率は、$h \to 0$のときの$\dfrac{\operatorname{sen}(x + h) - \operatorname{sen} x}{h}$の限界となります。和の正弦公式(第VI章)により、
$$\frac{\operatorname{sen}(x + h) - \operatorname{sen} x}{h} = \cos x \cdot \frac{\operatorname{sen} h}{h} - \operatorname{sen} x \cdot \frac{1 - \cos h}{h}.$$最初の商は $1$ になる傾向があります。 2 番目は $\dfrac{1 - \cos h}{h} = \dfrac{2\operatorname{sen}^2\frac{h}{2}}{h} = \operatorname{sen}\frac{h}{2}\cdot\dfrac{\operatorname{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \to 0 \cdot 1$ であるため、$0$ になる傾向があります。したがって、 サインの導関数はコサインとなります。同様にコサインは$-\operatorname{sen} x$となります。
2 回導出すると、正弦は符号が変更されて戻ります: $(\operatorname{sen} x)'' = -\operatorname{sen} x$。これが、サインとコサインが加速度が変位に比例するばねを逆符号で表す理由です — [オイラーとばね]を参照してください(/jp/posts/historia/euler/mola-e-equacoes-diferenciais/).
このセクションの演習は、章リスト.