Euler's Eyes
2026-10-24
第 VIII 章の演習 — 不等式
各不等式にサイクルを描きます。補助線をマークし、適切な円弧を強調表示してから、$A$ から始まる間隔を書き込みます。厳密な不等式を満たさない点はオープンとなります。
正弦不等式
不等式$0 \le \operatorname{sen} x < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$を解きます。
解像度を参照してください
$x$ の画像は、直線 $r$ ($v = 0$) と $s$ ($v = \frac{\sqrt{3}}{2}$) の間の平面範囲とサイクルの交点になければなりません。$r$ は含まれ、$s$ は除外されます。
不等式$\operatorname{sen} x \ge 0$を解きます。
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$S = \{x \in \mathbb{R} \mid 2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi\}$
不等式$\operatorname{sen} x \le -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$を解きます。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi\right\}$
不等式$-\dfrac{1}{2} \le \operatorname{sen} x < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$を解きます。
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$2k\pi \le x < \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ または $\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi < x \le \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$ または $\dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi \le x < 2\pi + 2k\pi$
不等式$|\operatorname{sen} x| \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}$を解きます。
解像度を参照してください
$|\operatorname{sen} x| \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \iff \operatorname{sen} x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$ または $\operatorname{sen} x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$。 $x$ のイメージは、$r$ の下の半平面 ($v = -\frac{\sqrt{3}}{2}$) または $s$ の上の半平面 ($v = \frac{\sqrt{3}}{2}$) とのサイクルの交点にある必要があります。
$\frac{\pi}{3} + k\pi \le x \le \frac{2\pi}{3} + k\pi$ にまとめられています。
不等式$|\operatorname{sen} x| \le \dfrac{1}{2}$を解きます。
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$2k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$ または $\dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi \le x < 2\pi + 2k\pi$
不等式$|\operatorname{sen} x| > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$を解きます。
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$\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$ または $\dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{7\pi}{4} + 2k\pi$
不等式$2\operatorname{sen}^2 x < \operatorname{sen} x$を解きます。
解像度を参照してください
$2\operatorname{sen}^2 x < \operatorname{sen} x \iff 2\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen} x < 0 \iff \operatorname{sen} x\,(2\operatorname{sen} x - 1) < 0 \iff 0 < \operatorname{sen} x < \frac{1}{2}$.
三角関数のサイクルを調べると、次のようになります。
$$2k\pi < x < \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \pi + 2k\pi.$$不等式$4\operatorname{sen}^2 x \ge 1$を解きます。
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$\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ または $\dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi$
$\operatorname{sen} 2x > 0$となるように$x \in [0, 2\pi]$を決定します。
解像度を参照してください
$2x = y$を作ると、不等式$\operatorname{sen} y > 0$ができます。サイクル $2k\pi < y < \pi + 2k\pi$ を調べます。 $x = \frac{y}{2}$として、結果は
$$k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi.$$ただし $x \in [0, 2\pi]$;この場合、$k = 0$ または $k = 1$ を持つ解のみが対象となります。
- $k = 0$: $0 < x < \frac{\pi}{2}$;
- $k = 1$: $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.
$x \in [0, 2\pi]$ を仮定して不等式 $\operatorname{sen} 2x > \dfrac{1}{2}$ を解きます。
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$\dfrac{\pi}{12} < x < \dfrac{5\pi}{12}$ または $\dfrac{13\pi}{12} < x < \dfrac{17\pi}{12}$
$x \in [0, 2\pi]$ を仮定して不等式 $\operatorname{sen} 3x \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を解きます。
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$0 \le x \le \dfrac{\pi}{9}$ または $\dfrac{2\pi}{9} \le x \le \dfrac{7\pi}{9}$ または $\dfrac{8\pi}{9} \le x \le \dfrac{13\pi}{9}$ または $\dfrac{14\pi}{9} \le x \le 2\pi$
$x \in [0, 2\pi]$ を仮定して不等式 $\dfrac{1}{4} \le \operatorname{sen} x \cdot \cos x < \dfrac{1}{2}$ を解きます。
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$\dfrac{\pi}{12} \le x \le \dfrac{5\pi}{12}$ と $x \ne \dfrac{\pi}{4}$、または $\dfrac{13\pi}{12} \le x \le \dfrac{17\pi}{12}$ と $x \ne \dfrac{5\pi}{4}$
$x \in [0, \pi]$ を仮定して不等式 $3^{2\operatorname{sen} x - 1} \ge 1$ を解きます。
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$\dfrac{\pi}{6} \le x \le \dfrac{5\pi}{6}$
(MAPOFEI-72) a) $x$ のどの値に対して $\log_2(2\operatorname{sen} x - 1)$ が存在しますか? b) 方程式 $\log_2(2\operatorname{sen} x - 1) = \log_4(3\operatorname{sen}^2 x - 4\operatorname{sen} x + 2)$ を解きます。
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a) $\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ · b) $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$
コサイン不等式
$x \in [0, 2\pi]$ について不等式 $-\dfrac{3}{2} \le \cos x \le 0$ を解きます。
解像度を参照してください
$x$ の画像は、直線 $s$ ($u = -\frac{3}{2}$) と $r$ ($u = 0$) の間の平面範囲とサイクルの交点になければなりません。ライン $s$ はサイクルに触れていないため、条件 $\cos x \ge -\frac{3}{2}$ は常に有効で、$\cos x \le 0$ は残ります。
$$\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}.$$不等式$\cos x \ge -\dfrac{1}{2}$を解きます。
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$2k\pi \le x \le \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ または $\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi \le x \le 2\pi + 2k\pi$
不等式$\cos x < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$を解きます。
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$\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{7\pi}{4} + 2k\pi$
不等式$-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \le \cos x \le \dfrac{1}{2}$を解きます。
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$\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ または $\dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi$
不等式$|\cos x| < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$を解きます。
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$\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ または $\dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi$
不等式$|\cos x| > \dfrac{5}{3}$を解きます。
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$S = \varnothing$ (コサインは絶対値で1を超えることはありません)
不等式$\cos 2x + \cos x \le -1$を解きます。
解像度を参照してください
三角関数のサイクルを調べると、次のようになります。
$$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \frac{3\pi}{2} + 2k\pi.$$不等式$4\cos^2 x < 3$を解きます。
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$\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ または $\dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi$
不等式$\cos 2x \ge \cos x$を解きます。
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$\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi$ または $x = 2k\pi$
不等式$\operatorname{sen} x + \cos x \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$を解きます。
解像度を参照してください
合計を積に変換すると、次のようになります。
$$\operatorname{sen} x + \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \iff 2\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \iff \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge \frac{1}{2}.$$$x - \frac{\pi}{4} = y$ を実行すると、$\cos y \ge \frac{1}{2}$ が得られます。サイクル $2k\pi \le y \le \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ または $\frac{5\pi}{3} + 2k\pi \le y < 2\pi + 2k\pi$ を調べます。 $x = y + \frac{\pi}{4}$ のように:
$$\frac{\pi}{4} + 2k\pi \le x \le \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{23\pi}{12} + 2k\pi \le x < \frac{9\pi}{4} + 2k\pi,$$つまり、よりコンパクトな形式では $-\frac{\pi}{12} + 2k\pi \le x \le \frac{7\pi}{12} + 2k\pi$ になります。
不等式$\operatorname{sen} x + \cos x < 1$を解きます。
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$\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi$
$\cos 3x \le \dfrac{1}{2}$となるように$x \in [0, 2\pi]$を決定します。
解像度を参照してください
$3x = y$ を実行すると、$\cos y \le \frac{1}{2}$ が得られます。サイクル $\frac{\pi}{3} + 2k\pi \le y \le \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$ を調べます。 $x = \frac{y}{3}$ のように:
$$\frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \le x \le \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}.$$$x \in [0, 2\pi]$ の場合、$k = 0$、$1$、または $2$ のみが対象となります。
- $k = 0$: $\frac{\pi}{9} \le x \le \frac{5\pi}{9}$;
- $k = 1$: $\frac{7\pi}{9} \le x \le \frac{11\pi}{9}$;
- $k = 2$: $\frac{13\pi}{9} \le x \le \frac{17\pi}{9}$.
$x \in [0, 2\pi]$ を仮定して不等式 $\cos 2x \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を解きます。
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$\dfrac{\pi}{12} \le x \le \dfrac{11\pi}{12}$ または $\dfrac{13\pi}{12} \le x \le \dfrac{23\pi}{12}$
$x \in [0, 2\pi]$ を仮定して不等式 $\cos 4x > -\dfrac{1}{2}$ を解きます。
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$0 \le x < \dfrac{\pi}{6}$ または $\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{2\pi}{3}$ または $\dfrac{5\pi}{6} < x < \dfrac{7\pi}{6}$ または $\dfrac{4\pi}{3} < x < \dfrac{5\pi}{3}$ または $\dfrac{11\pi}{6} < x \le 2\pi$
$\dfrac{\cos x}{\cos 2x} \le 1$となるように$x \in [0, 2\pi]$を決定します。
解像度を参照してください
I) $\cos x = y$ を実行し、$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を思い出します。
$$\frac{y}{2y^2 - 1} \le 1 \iff \frac{y}{2y^2 - 1} - 1 \le 0 \iff \frac{y - 2y^2 + 1}{2y^2 - 1} \le 0 \iff \frac{2y^2 - y - 1}{2y^2 - 1} \ge 0.$$II) 分子 $2y^2 - y - 1 = (2y + 1)(y - 1)$ は $-\frac{1}{2}$ と $1$ で相殺されます。 $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ の分母。看板:
| $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2} < y < -\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2} < y < \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2} < y < 1$ | $y > 1$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $2y^2 - y - 1$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $2y^2 - 1$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ |
| 商 | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ |
商は$\ge 0$から$y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$または$-\frac{1}{2} \le y < \frac{\sqrt{2}}{2}$または$y \ge 1$です。
III) $0 \le x \le 2\pi$ のサイクルを調べる:
- $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \iff \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$;
- $-\frac{1}{2} \le \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} \iff \frac{\pi}{4} < x \le \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{4\pi}{3} \le x < \frac{7\pi}{4}$;
- $\cos x \ge 1 \iff x = 0$ または $x = 2\pi$。
したがって$S = \left\{x \;\middle|\; x = 0 \text{ ou } \frac{\pi}{4} < x \le \frac{2\pi}{3} \text{ ou } \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} \text{ ou } \frac{4\pi}{3} \le x < \frac{7\pi}{4} \text{ ou } x = 2\pi\right\}$です。
$x \in [0, \pi]$ を仮定して不等式 $\dfrac{2\cos^2 x + \cos x - 1}{\cos x - 1} > 0$ を解きます。
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$\dfrac{\pi}{3} < x < \pi$
$x \in [0, \pi]$ を仮定して不等式 $\dfrac{\cos 2x + \operatorname{sen} x + 1}{\cos 2x} \ge 2$ を解きます。
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$0 \le x < \dfrac{\pi}{4}$ または $\dfrac{3\pi}{4} < x \le \pi$
$x \in [0, \pi]$ を仮定して不等式 $2^{\cos 2x} \le \sqrt{2}$ を解きます。
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$\dfrac{\pi}{6} \le x \le \dfrac{5\pi}{6}$
$f(x) = \sqrt{\dfrac{\cos 2x}{\cos x}}$ で与えられる実関数 $f$ の定義域を求めます。
解像度を参照してください
I) $\dfrac{\cos 2x}{\cos x} \ge 0$ が必要です。
II) $\cos x = y$: $\dfrac{\cos 2x}{\cos x} \ge 0 \iff \dfrac{2y^2 - 1}{y} \ge 0$ を実行しています。
III) 信号テーブル:
| $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2} < y < 0$ | $0 < y < \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $y > \frac{\sqrt{2}}{2}$ | |
|---|---|---|---|---|
| $2y^2 - 1$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $y$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ |
| 商 | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ |
商は$\ge 0$から$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le y < 0$または$y \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$です。
IV) サイクルを調べる:
- $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos x < 0 \iff \frac{\pi}{2} + 2k\pi < x \le \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ または $\frac{5\pi}{4} + 2k\pi \le x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$;
- $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \iff 2k\pi \le x \le \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ または $\frac{7\pi}{4} + 2k\pi \le x \le 2\pi + 2k\pi$。
マスタリーとは、これらの範囲を満たしたものです。
(MACK-70) 実数の集合において、$y = \sqrt{\dfrac{4\operatorname{sen}^2 x - 1}{\cos x}}$、$0 \le x \le 2\pi$の定義域を決定します。
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$\dfrac{\pi}{6} \le x < \dfrac{\pi}{2}$ または $\dfrac{5\pi}{6} \le x \le \dfrac{7\pi}{6}$ または $\dfrac{3\pi}{2} < x \le \dfrac{11\pi}{6}$
$x$、$x \in [0, 2\pi]$、関数$f(x) = \sqrt{\dfrac{\operatorname{sen} 2x - 2}{\cos 2x + 3\cos x - 1}}$はどの値に対して定義されていますか?
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$\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{5\pi}{3}$
(MACK-71) $0 \le \alpha \le \pi$ として、方程式 $(2\cos^2\alpha)x^2 - (4\cos\alpha)x + (4\cos^2\alpha - 1) = 0$ が与えられます。 a) $\alpha$ のどの値に対して方程式は実数解を持ちますか? b) $\alpha$ のどの値に対して、方程式は負の実数根を許容しますか?
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a) $\cos\alpha = 0$ の場合、方程式は $-1 = 0$ になります。解はありません。 $\cos\alpha \ne 0$の場合、判別式は
$$\Delta = 16\cos^2\alpha - 8\cos^2\alpha(4\cos^2\alpha - 1) = 8\cos^2\alpha\,(3 - 4\cos^2\alpha) \ge 0 \iff \cos^2\alpha \le \frac{3}{4}.$$次に、$-\frac{\sqrt{3}}{2} \le \cos\alpha \le \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos\alpha \ne 0$: $\frac{\pi}{6} \le \alpha \le \frac{5\pi}{6}$、$\alpha \ne \frac{\pi}{2}$。
b) 両方の根が負の場合: 和 $\frac{2}{\cos\alpha} < 0$ と積 $\frac{4\cos^2\alpha - 1}{2\cos^2\alpha} > 0$、つまり $\cos\alpha < -\frac{1}{2}$。 (a)の条件では$-\frac{\sqrt{3}}{2} \le \cos\alpha < -\frac{1}{2}$、つまり$\frac{2\pi}{3} < \alpha \le \frac{5\pi}{6}$となります。
解答を見る
a) $\dfrac{\pi}{6} \le \alpha \le \dfrac{5\pi}{6}$、$\alpha \ne \dfrac{\pi}{2}$ · b) $\dfrac{2\pi}{3} < \alpha \le \dfrac{5\pi}{6}$ (2 つの負のルート)。項目 a の印刷されたテンプレートは $\alpha = \frac{\pi}{2}$ を除外しません。しかし、方程式は $-1 = 0$ に帰着し、解はありません。
$x$、$x \in [0, 2\pi]$のどの値に対して、不等号$\log_{\cos x}(1 + 2\cos x) + \log_{\cos x}(1 + \cos x) > 1$が生じますか?
解像度を参照してください
塩基は$0 < \cos x < 1$を満たす必要があります。対数を加算すると、不等式は $\log_{\cos x}\big[(1 + 2\cos x)(1 + \cos x)\big] > 1 = \log_{\cos x}\cos x$ になります。底が0と1の間にあるので、 対数は減少しており、不等式は次のようになります。
$$(1 + 2\cos x)(1 + \cos x) < \cos x \iff 2\cos^2 x + 2\cos x + 1 < 0,$$これは決して起こりません (三項式の判別式は $4 - 8 < 0$ です)。ロゴ$S = \varnothing$。
印刷されたテンプレートには $\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{3}$ が表示されます。しかし、たとえば $\cos x = \frac{1}{4}$ の場合、最初のメンバーは $\log_{1/4}\frac{15}{8} < 0$ の価値があり、不等式は偽となります。
$x$、$x \in [0, 2\pi]$、不等式 $\sqrt{1 - \cos x} < \operatorname{sen} x$ を検証する値はどれですか?
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$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$
(MACK-72) 各系を個別に解きます。 a) $\operatorname{sen} x > \dfrac{1}{2}$ および $\cos x \ge \dfrac{1}{2}$。 b) $\cos(\operatorname{sen} x) > 0$ および $\operatorname{sen}(\cos x) < 0$。
解答を見る
a) $\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi < x \le \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · b) $\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$
接線不等式
不等式$|\operatorname{tg} x| \le 1$を解きます。
解像度を参照してください
$|\operatorname{tg} x| \le 1 \iff -1 \le \operatorname{tg} x \le 1$。 $x$ の画像は、直線 $r = OT_1$ (接軸上に縦軸 1 をもつ $T_1$) と $s = OT_2$ (縦軸 $-1$ をもつ $T_2$) によって形成される角度 $r\hat{O}s$ の周期の交点になければなりません。
$-\frac{\pi}{4} + k\pi \le x \le \frac{\pi}{4} + k\pi$ にまとめられています。
不等式$\operatorname{tg} x > \sqrt{3}$を解きます。
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$\dfrac{\pi}{3} + k\pi < x < \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
不等式$\operatorname{tg} x \le 0$を解きます。
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$\dfrac{\pi}{2} + k\pi < x \le \pi + k\pi$
不等式$-\sqrt{3} < \operatorname{tg} x \le \dfrac{\sqrt{3}}{3}$を解きます。
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$2k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi < x \le \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$ または $\dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi$ (つまり $-\frac{\pi}{3} + k\pi < x \le \frac{\pi}{6} + k\pi$)
不等式$|\operatorname{tg} x| \ge \sqrt{3}$を解きます。
解答を見る
$\dfrac{\pi}{3} + k\pi \le x < \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ または $\dfrac{\pi}{2} + k\pi < x \le \dfrac{2\pi}{3} + k\pi$
$1 \le \operatorname{tg} 2x < \sqrt{3}$となるように$x \in [0, 2\pi]$を決定します。
解像度を参照してください
$2x = y$ を実行すると、$1 \le \operatorname{tg} y < \sqrt{3}$ が得られます。サイクル $\frac{\pi}{4} + k\pi \le y < \frac{\pi}{3} + k\pi$ を調べます。 $x = \frac{y}{2}$ のように:
$$\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \le x < \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}.$$$x \in [0, 2\pi]$ $k = 0, 1, 2, 3$ の場合は次のようになります。
- $k = 0$: $\frac{\pi}{8} \le x < \frac{\pi}{6}$;
- $k = 1$: $\frac{5\pi}{8} \le x < \frac{2\pi}{3}$;
- $k = 2$: $\frac{9\pi}{8} \le x < \frac{7\pi}{6}$;
- $k = 3$: $\frac{13\pi}{8} \le x < \frac{5\pi}{3}$.
$x \in [0, 2\pi]$ を仮定して不等式 $\operatorname{tg} 2x \ge -\sqrt{3}$ を解きます。
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$0 \le x < \dfrac{\pi}{4}$ または $\dfrac{\pi}{3} \le x < \dfrac{3\pi}{4}$ または $\dfrac{5\pi}{6} \le x < \dfrac{5\pi}{4}$ または $\dfrac{4\pi}{3} \le x < \dfrac{7\pi}{4}$ または $\dfrac{11\pi}{6} \le x \le 2\pi$
$x \in [0, 2\pi]$ を仮定して不等式 $\operatorname{tg}^2 2x \le \operatorname{tg} 2x$ を解きます。
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$0 \le x \le \dfrac{\pi}{8}$ または $\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{5\pi}{8}$ または $\pi \le x \le \dfrac{9\pi}{8}$ または $\dfrac{3\pi}{2} \le x \le \dfrac{13\pi}{8}$ または $x = 2\pi$
$x \in [0, 2\pi]$ を仮定して不等式 $\operatorname{tg}^2 2x < 3$ を解きます。
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$0 \le x < \dfrac{\pi}{6}$ または $\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{2\pi}{3}$ または $\dfrac{5\pi}{6} < x < \dfrac{7\pi}{6}$ または $\dfrac{4\pi}{3} < x < \dfrac{5\pi}{3}$ または $\dfrac{11\pi}{6} < x \le 2\pi$
(MAPOFEI-75) $0 \le x \le 2\pi$ について不等式 $\operatorname{sen} x > \cos x$ を解きます。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}\right\}$