スカラー部分 $a$ とベクトル部分 $v$ をもつどんな四元数 $q = a + v$ も、実数係数の二次方程式を満たす。$v^2 = -\lvert v \rvert^2$ なので（ベクトルを参照）、

$$q^2 = a^2 + 2av + v^2 = a^2 - \lvert v \rvert^2 + 2av,$$

したがって

$$q^2 - 2a\,q + \lvert q \rvert^2 = 0, \qquad \lvert q \rvert^2 = a^2 + \lvert v \rvert^2.$$

複素数 $z$ が $z^2 - 2\operatorname{Re}(z)\,z + \lvert z \rvert^2 = 0$ の根であるのと同じように、四元数は二次の実多項式の根なのである。1853 年の『四元数講義』で、ハミルトンはさらに進み、四元数のある種の線形関数もそれ自身の多項式方程式を満たすことを示し、それを使ってその逆を計算した。

行列では

五年後の 1858 年、アーサー・ケイリーは行列の代数を創始した『行列の理論についての論文』を発表し、そこでこの結果を一般的に述べた。どんな正方行列 $A$ も、自分の固有多項式 $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ をゼロにする。ケイリーは $2 \times 2$ の場合を確かめ、$3 \times 3$ の場合も検証したと書いたが、一般の場合を証明する手間はとらなかった。最初の完全な証明は 1878 年のフェルディナント・ゲオルク・フロベニウスによる。定理はケイリーとハミルトンの名をもつ。

$2 \times 2$ 行列では、

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad p(\lambda) = \lambda^2 - (a + d)\,\lambda + (ad - bc),$$

であり、定理は

$$A^2 - (a + d)\,A + (ad - bc)\,I = 0$$

と述べる。まん中の係数はトレース、最後の係数は行列式である。

一つの例

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ では、トレースは $5$、行列式は $-2$ である。実際、

$$A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}, \qquad A^2 - 5A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I$$

であり、$A^2 - 5A - 2I = 0$ となる。この等式から逆行列がただで得られる。$A(A - 5I) = 2I$ だから、

$$A^{-1} = \frac{A - 5I}{2} = \frac12\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}.$$
練習：逆行列を確かめる

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ に、上で得た逆行列を掛けよ。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 3 & 1 - 1 \\ -6 + 6 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。逆行列は正しく、連立方程式を一つも解く必要がなかった。

練習：あまり掛けずにべき乗

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ について、定理を使って $A^3$ を $A$ と $I$ の組み合わせで表し、計算せよ。

トレースは $4$、行列式は $3$ なので、$A^2 = 4A - 3I$ である。よって $A^3 = 4A^2 - 3A = 4(4A - 3I) - 3A = 13A - 12I = \begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$。確かめると、$A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$、$A^2 A = \begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$ である。

出典： William Rowan Hamilton, Lectures on Quaternions（1853）· Arthur Cayley, “A Memoir on the Theory of Matrices”, Philosophical Transactions（1858）· Ferdinand Georg Frobenius, “Über lineare Substitutionen und bilineare Formen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik（1878）· Thomas Hawkins, The Mathematics of Frobenius in Context（2013）。

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