ITA 2022 – 第1次試験：数学の解説

出典： ITA ――第1次試験の問題 と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。

ITA 2022 の第1次試験は選択式70問で、物理15問、ポルトガル語15問、英語10問、 数学15問、化学15問であった。本稿ではそのうち数学の問題を、試験と同じ 41番から55番の番号で扱う。

試験の記法。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i$ は虚数単位（$i^2 = -1$）； $M_n(\mathbb{R})$ は実数成分の $n \times n$ 行列全体；$\overline{AB}$ は $A$、$B$ を端点とする 線分で、$m(\overline{AB})$ はその長さ；$A\hat{O}B$ は半直線 $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ がつくる、頂点 $O$ の角。

正答一覧

問題 41：底が 120 と 14400 の対数の和

問題文

のとき、次のことがいえる。

• A) $x = 2$。
• B) $x = 3$。
• C) $x = 4$。
• D) $x = 5$。
• E) $x = 6$。

解答

1. 底をそろえる。 $14400 = 120^2$ に注目する。底の変換公式より

よって $2\log_{14400} 125 = 3\log_{120} 5$。

2. 項をまとめる。 係数を指数に移すと

3. 立方数に気づく。 $2^9 \cdot 3^3 \cdot 5^3 = (2^3 \cdot 3 \cdot 5)^3 = 120^3$。したがって

答え： B（$x = 3$）。

復習は対数の性質を参照。

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問題 42：A と C から等距離の点

問題文

頂点 $A$、$B$、$C$ をもち、$B$ で直角となる三角形を考える。$r$ を $A$ と $C$ を通る直線とし、 $O$ を $A$ と $C$ から等距離にあり、$r$ に関して $B$ と同じ側にある点とする。 $m(\overline{AO}) = 85$、$m(\overline{AB}) = 10$、$m(\overline{BC}) = 24$ のとき、$O$ から $r$ までの距離は

• A) 64。
• B) 66。
• C) 74。
• D) 76。
• E) 84。

解答

1. 斜辺。 $B$ で直角の三角形なので

2. $O$ の位置。 $A$ と $C$ から等距離の点の集まりは $\overline{AC}$ の垂直二等分線であり、 $\overline{AC}$ の中点 $M$ で $r$ と垂直に交わる。したがって $O$ から $r$ までの距離は $m(\overline{OM})$ で、三角形 $AMO$ は $M$ で直角、$m(\overline{AM}) = 13$ である。

3. もう一度三平方の定理。

「$B$ と同じ側」という条件は対称な2点のうち一方を選ぶだけで、距離は変わらない。

答え： E（84）。

復習は三平方の定理を参照。

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問題 43：2つの連立方程式が同値になるのはいつか

問題文

$m \in \mathbb{R}$ とする。次の連立一次方程式を考える。

正しいものを選べ。

• A) $S_1$ と $S_2$ が同値になる $m \in \mathbb{R}$ は存在しない。
• B) $S_1$ と $S_2$ が同値になる $m > 0$ がちょうど1つ存在する。
• C) $S_1$ と $S_2$ が同値になる $m < 0$ がちょうど1つ存在する。
• D) $S_1$ と $S_2$ が同値になる $m$ の値がちょうど2つ存在する。
• E) $S_1$ と $S_2$ が同値になる $m$ の値は無数に存在する。

解答

2つの連立方程式が同値とは、解の集合が等しいことである。それぞれを $m$ を用いて解く。

1. $S_1$ を解く。 第1式より $y = 4x - 2$。第3式に代入すると

第2式に代入すると $-16x + m^2(4x - 2) + 2 = -10$、すなわち

• $m = \pm 2$ なら $0 \cdot x = -4$ となり、$S_1$ は解をもたない。
• $m \ne \pm 2$ なら解はただ1つ：$x = \dfrac{m^2 - 6}{2(m^2 - 4)}$、$y = 4x - 2$、$z = 2$。

2. $S_2$ を解く。 第2式より $y = z - \frac{14}{5}$。第3式に代入すると

さらに第1式から $10x = m^2 + m - 1 - z = 3$、よって $x = \frac{3}{10}$。したがって $S_2$ は つねにただ1つの解をもつ（係数行列式は $-700$ で、決して0にならない）。

3. 解を一致させる。 $S_2$ はつねに解がただ1つなので、$S_1$ もそうでなければならず （よって $m \ne \pm 2$）、解が一致する必要がある。

• $z$：$m^2 + m - 4 = 2 \Rightarrow m^2 + m - 6 = 0 \Rightarrow m = 2$ または $m = -3$。$m = 2$ は除く。
• $m = -3$ のときの $x$：$\dfrac{9 - 6}{2(9 - 4)} = \dfrac{3}{10}$ ✔
• $y$：$S_1$ では $4 \cdot \frac{3}{10} - 2 = -\frac{4}{5}$、$S_2$ では $2 - \frac{14}{5} = -\frac{4}{5}$ ✔

条件を満たすのは $m = -3$ だけで、どちらの解も $\left(\frac{3}{10}, -\frac{4}{5}, 2\right)$ である。

答え： C（$m < 0$ がちょうど1つ、すなわち $m = -3$）。

ひっかけに注意： $z$ の方程式からは $2$ と $-3$ の2つの値が出るので、D を選びがちである。 しかし $m = 2$ のとき $S_1$ は解をもたないが、$S_2$ は解をもつ。

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問題 44：和・差・積・商が実数

問題文

$z_1, z_2 \in \mathbb{C}$、$z_2 \ne 0$ とする。次の命題を考える。

• I. $z_1 + z_2 \in \mathbb{R}$ かつ $z_1 - z_2 \in \mathbb{R}$ ならば、$z_1 \in \mathbb{R}$ かつ $z_2 \in \mathbb{R}$。
• II. $z_1 \cdot z_2 \in \mathbb{R}$ かつ $z_1/z_2 \in \mathbb{R}$ ならば、$z_1 \in \mathbb{R}$ かつ $z_2 \in \mathbb{R}$。
• III. $z_1 + z_2 \in \mathbb{R}$ かつ $z_1 \cdot z_2 \in \mathbb{R}$ ならば、$z_1 \in \mathbb{R}$ かつ $z_2 \in \mathbb{R}$。

つねに正しいものは：

• A) I のみ。
• B) I と II。
• C) I と III のみ。
• D) II のみ。
• E) III のみ。

解答

I. 正しい。 $s = z_1 + z_2$ と $d = z_1 - z_2$ が実数なら

II. 誤り。 反例：$z_1 = z_2 = i$。このとき $z_1 z_2 = -1$、$z_1/z_2 = 1$ は実数だが、 $i \notin \mathbb{R}$。

III. 誤り。 反例：$z_1 = i$、$z_2 = -i$。このとき $z_1 + z_2 = 0$、$z_1 z_2 = 1$ は実数である。 （一般に $z_1$、$z_2$ は実数 $s$、$p$ に対する $t^2 - st + p = 0$ の2解であり、それらは共役な 複素数になりうる。）

答え： A（I のみ）。

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問題 45：根を頂点とする四角形

問題文

多項式 $p(z) = z^4 - 6z^3 + 14z^2 - 6z + 13$ を考え、$p(i) = 0$ に注意する。複素平面上で $p(z)$ の根を頂点とする四角形を考える。この四角形の面積は

• A) 4。
• B) 6。
• C) 8。
• D) 9。
• E) 10。

解答

1. もう1つの根はただで手に入る。 係数が実数なので、共役な $-i$ も根である。したがって $(z - i)(z + i) = z^2 + 1$ は $p(z)$ を割り切る：

（展開して確かめる：$z^4 - 6z^3 + 13z^2 + z^2 - 6z + 13$。）

2. 残りの根。 $z^2 - 6z + 13 = 0 \Rightarrow z = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} = 3 \pm 2i$。

3. 図形。 頂点は $(0, 1)$、$(0, -1)$、$(3, 2)$、$(3, -2)$。縦の平行な2辺の長さが $2$（$x = 0$）と $4$（$x = 3$）、高さ $3$ の台形である：

答え： D（9）。

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問題 46：行列に関する3つの命題

問題文

$n \ge 2$、$A, B \in M_n(\mathbb{R})$ とする。次の命題を考える。

• I. $AB \ne BA$ ならば、$A$ か $B$ のどちらかは正則でない。
• II. $AB = 0$ ならば $BA = 0$。
• III. $A^T = -A^2$ かつ $A$ が正則ならば、$\det(A) = -1$。

正しいものは：

• A) I のみ。
• B) II のみ。
• C) III のみ。
• D) I と III のみ。
• E) どれも正しくない。

解答

I. 誤り。 正則な2つの行列でも可換とは限らない。たとえば

で、どちらも行列式は 1 である。

II. 誤り。

III. 誤り。 $A^T = -A^2$ の両辺の行列式をとる（$\det(A^T) = \det A$、 $\det(-M) = (-1)^n \det M$ に注意）：

（$\det A \ne 0$ で割った。）$n$ が偶数なら $\det A = 1$ である。しかもそのような行列は実在する。 $-60^\circ$ の回転行列

は $A^T = R(60^\circ)$、$-A^2 = -R(-120^\circ) = R(60^\circ)$ を満たし、$\det A = 1$ である。

答え： E（どれも正しくない）。

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問題 47：等差数列をなす正接

問題文

$x, r \in \mathbb{R}$ とし、

とする。$\tan(x - r)$、$\tan(x)$、$\tan(x + r)$（この順）について、次のことがいえる。

• A) 決して等差数列にならない。
• B) 等差数列になりうるのは $r = 0$ のときだけである。
• C) 等差数列になりうるのは $r = 0$ または $r = \sqrt{3}/3$ のときだけである。
• D) 無数に多くの異なる $r$ に対して等差数列になりうる。
• E) 問題の条件を満たすすべての $x$、$r$ に対して等差数列になる。

解答

3つの数が等差数列をなすのは、中央の数が両端の平均のときである： $\tan(x - r) + \tan(x + r) = 2\tan x$。

1. 正接を足す。 $\tan a + \tan b = \dfrac{\sin(a + b)}{\cos a \cos b}$ を使うと

$\sin 2x = 2\sin x\cos x$ なので、これは次と同値である。

2. 2つの場合。 $\cos(x - r)\cos(x + r) = \cos^2 x - \sin^2 r$ より、角かっこの中は $\sin^2 r$。 よって条件は

• $\sin x = 0$、すなわち $x = 0$（区間内で可能な唯一の値）なら、$0 \le r < \frac{\pi}{2}$ のどんな $r$ でもよい：$\tan(-r)$、$0$、$\tan r$ は等差数列である。
• $x \ne 0$ なら $r = 0$（定数列）でなければならない。

したがって等差数列を生む $r$ は無数にある（いずれも $x = 0$）。ただし、いつもではない。たとえば $x = \frac{\pi}{6}$、$r = \frac{\pi}{6}$ では $0, \frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}$ となり、等差数列ではない。

答え： D。

復習は加法定理を参照。

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問題 48：双曲線の中心はどこか

問題文

$b \in \mathbb{R}$ を、方程式

が双曲線を表すようにとる。この双曲線の中心 $C$ について、次のことがいえる。

• A) $C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2/9 + y^2/12 < 1\}$。
• B) $C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2/4 + y^2/2 > 1\}$。
• C) $C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2/9 - y^2/2 < 1\}$。
• D) $C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 3x^2 - 2y^2 > 1\}$。
• E) 上のどれでもない。

解答

1. 平方完成。 $x^2 - 6bx = (x - 3b)^2 - 9b^2$、$y^2 - 2by = (y - b)^2 - b^2$。代入すると

定数項の和は $-9b^2 + b^2 - b^4 + b^4 + 8b^2 - 1 = -1$。よって

2. 双曲線になる条件。 $(y - b)^2$ の係数が正でなければならない：$1 - b^2 > 0$、 すなわち $-1 < b < 1$。中心は $C = (3b, b)$。

3. 選択肢を調べる。 $x = 3b$、$y = b$、$0 \le b^2 < 1$ として：

• A) $b^2 + \frac{b^2}{12} = \frac{13}{12}b^2 < 1$ は $b^2 \ge \frac{12}{13}$ で成り立たない（たとえば $b = 0.99$）。
• B) $\frac{9b^2}{4} + \frac{b^2}{2} = \frac{11}{4}b^2 > 1$ は $b = 0$ で成り立たない。
• C) $\frac{9b^2}{9} - \frac{b^2}{2} = \frac{b^2}{2} < \frac{1}{2} < 1$ ✔ つねに成り立つ。
• D) $27b^2 - 2b^2 = 25b^2 > 1$ は $b = 0$ で成り立たない。

答え： C。

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問題 49：立方体の中の六角錐

問題文

$P$ を正角錐とし、その頂点 $V$ は1辺 $l$ の立方体の頂点の1つ、底面は立方体の12本の辺のうち $V$ も $V$ の対頂点も含まない6本の辺の中点がつくる六角形とする。$P$ に外接する球の半径は

• A) $l\sqrt{2}/12$。
• B) $l\sqrt{3}/12$。
• C) $5l\sqrt{2}/12$。
• D) $5l\sqrt{3}/12$。
• E) $l\sqrt{3}/6$。

解答

1. 座標。 立方体を $[0, l]^3$ におき、$V = (0, 0, 0)$ とする。対頂点は $(l, l, l)$。 どちらにも接しない6本の辺の中点は $\left(l, \frac{l}{2}, 0\right)$、$\left(0, l, \frac{l}{2}\right)$ などで、 すべて $x + y + z = \frac{3l}{2}$ を満たす。この六角形は、中心 $O = \left(\frac{l}{2}, \frac{l}{2}, \frac{l}{2}\right)$ を通り対角線に垂直な平面による立方体の切り口である。

2. 角錐の寸法。

• 六角形の1辺：隣り合う辺の中点間の距離で、$\frac{l\sqrt{2}}{2}$。正六角形の外接円の半径は1辺に等しい：$\rho = \frac{l\sqrt{2}}{2}$。
• 高さ：$h = m(\overline{VO}) = \frac{l\sqrt{3}}{2}$（立方体の対角線の半分）。

3. 外接球。 外接球の中心は軸 $VO$ 上にあり、$V$ からの距離が $R$ である。六角形の頂点からの距離も $R$ なので

$R \approx 0.72\,l < h \approx 0.87\,l$ であり、中心は予想どおり $V$ と底面の間にある。

答え： D（$5l\sqrt{3}/12$）。

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問題 50：直線、平面、等距離の点

問題文

次の命題を考える。

• I. $\alpha$ と $\beta$ が異なる平行な平面で、$r$ が $r \cap \alpha \ne \varnothing$ を満たす直線ならば、$r \cap \beta \ne \varnothing$。
• II. $r$ が直線で $P$ と $Q$ が異なる2点ならば、$r$ を含み $P$ と $Q$ から等距離な平面は無数に存在する。
• III. 空間内の4点が与えられたとき、それらから等距離な点がただ1つ存在する。

正しいものは：

• A) どれも正しくない。
• B) I のみ。
• C) II のみ。
• D) III のみ。
• E) I、II、III。

解答

I. 誤り。 $r$ が $\alpha$ に含まれるとき、$r \cap \alpha \ne \varnothing$ だが、$r$ は $\beta$ と 平行で交わらない。

II. 誤り。 平面が $P$ と $Q$ から等距離になるのは、直線 $PQ$ と平行であるか、 $\overline{PQ}$ の中点 $M$ を通るときである。$r$ を含む平面のうち、一般に $M$ を通るものは 高々1つ、$PQ$ と平行なものも高々1つである。たとえば $r$ を $Oz$ 軸、$P = (1, 0, 0)$、 $Q = (0, 2, 0)$ とすると、$Oz$ 軸を含み $M = \left(\frac12, 1, 0\right)$ を通る平面は $y = 2x$ だけ、 $PQ$ に平行なものは $y = -2x$ だけである。2つしかなく、無数ではない。

III. 誤り。 同一平面上にあって同一円周上にない4点には、等距離な点がない（たとえば長方形で ない平行四辺形の4頂点）。また同一円周上にあれば無数にある（その円の軸上のすべての点）。

答え： A（どれも正しくない）。

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問題 51：k + 1 で2進数の桁が増えるとき

問題文

$N \in \mathbb{N}$ が

の形であるとき、その2進表記を $(abcdefg)_2$ とする。ただし $a, b, c, d, e, f, g \in \{0, 1\}$ で、 左から見て最初の 1 までの 0 は省略する。$k$ を $1 \le k \le 100$ の整数とする。$k$ と $k + 1$ の 2進表記の桁数が異なる確率はいくらか。

• A) 2%。
• B) 4%。
• C) 6%。
• D) 8%。
• E) 10%。

解答

1. 桁数が変わるとき。 2進で $n$ 桁の数は $2^{n-1}$ 以上 $2^n - 1$ 以下である。1 を足して 桁が増えるのは $k = 2^n - 1$ のとき（たとえば $111_2 + 1 = 1000_2$）、つまり $k + 1$ が 2 のべき乗のときだけである。

2. 数える。 $2 \le k + 1 \le 101$ より $k + 1 \in \{2, 4, 8, 16, 32, 64\}$ の6通り （$k = 1, 3, 7, 15, 31, 63$）。

答え： C（6%）。

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問題 52：立方体の頂点を通る2本の直線

問題文

立方体 $C$ の異なる2頂点を通る直線全体の集合を $A$ とする。$A$ から異なる2本の直線を 無作為に選ぶとき、それらが $C$ の頂点で交わる確率は：

• A) $4/9$。
• B) $1/2$。
• C) $2/3$。
• D) $1/14$。
• E) $3/7$。

解答

1. 直線の本数。 立方体には一直線上に並ぶ3頂点がないので、頂点の各組が異なる直線を 定める：$\binom{8}{2} = 28$ 本。

2. 全体の場合の数。 異なる直線の組：$\binom{28}{2} = 378$。

3. 条件を満たす場合。 各頂点を通る直線は7本（他の各頂点へ1本ずつ）で、その頂点で交わる 組が $\binom{7}{2} = 21$ ある。異なる2直線の共有点は高々1つなので、重複して数える組はない： $8 \cdot 21 = 168$。

答え： A（$4/9$）。

復習は確率入門を参照。

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問題 53：三角形の中の余弦の不等式

問題文

$\alpha$、$\beta$、$\theta$ を三角形の内角とする。$\cos(\beta + \theta) \le \cos(\alpha + 2\beta)$ ならば、次のことがいえる。

• A) この三角形は二等辺三角形ではない。
• B) この三角形は直角三角形ではない。
• C) この三角形は鋭角三角形ではない。
• D) この三角形は鈍角三角形ではない。
• E) 上のどれも保証できない。

解答

1. $\alpha + \beta + \theta = \pi$ を使って書き換える。

• $\beta + \theta = \pi - \alpha$ なので $\cos(\beta + \theta) = -\cos\alpha$。
• $\alpha + 2\beta = \pi - (\theta - \beta)$ なので $\cos(\alpha + 2\beta) = -\cos(\theta - \beta)$。

条件は次のようになる。

2. 角を比べる。 $\alpha$ と $|\theta - \beta|$ はともに $[0, \pi)$ にあり、そこで余弦は減少関数 なので、$\alpha \le |\theta - \beta|$。

3. 結論。 $\theta \ge \beta$ としてよい（逆の場合も同様）。すると $\alpha + \beta \le \theta$ で、 $\alpha + \beta = \pi - \theta$ だから

三角形は直角か鈍角をもつ、すなわち鋭角三角形ではない。ほかの選択肢は成り立たない場合がある。 $\theta = 90^\circ$、$\alpha = \beta = 45^\circ$ は条件を（等号で）満たし、直角二等辺三角形になる。 $\theta = 120^\circ$、$\alpha = \beta = 30^\circ$ は鈍角三角形である。

答え： C。

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問題 54：余弦のべきの方程式

問題文

方程式

の区間 $[0, 2\pi[$ における異なる実数解の個数は

• A) 2。
• B) 3。
• C) 4。
• D) 5。
• E) 6。

解答

1. 1つの変数にまとめる。 $c = \cos^2 x \in [0, 1]$ とおく。$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2c - 1$ より

2. 因数分解。 $c = -1$ は根（$-1 + 4 - 1 - 2 = 0$）なので

3. 使える根は1つだけ。 $\sqrt{17} \approx 4.12$ より、$c = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0.56$ は $[0, 1]$ にあり、ほかの2つ（$-1$ と $\approx -3.56$）は負である。

4. $x$ を数える。 $\cos^2 x = 0.56$ から $\cos x = \pm 0.75$（近似値）。$-1$ と $1$ の間に 真にある余弦の値1つにつき、$[0, 2\pi[$ の角が2つ対応する。合計 $2 \cdot 2 = 4$ 個の解。

答え： C（4）。

復習は区間と古典的な三角方程式を参照。

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問題 55：B が鋭角の内接三角形

問題文

頂点 $A$、$B$、$C$ の三角形 $T$ で、$m(\overline{AB}) = 2\sqrt{5}$、$m(\overline{BC}) = 6$ とする。 $A\hat{B}C$ が鋭角で、$T$ が半径 $R = 5$ の円に内接するとき、次のことがいえる。

• A) $m(\overline{AC}) = \sqrt{5}/5$。
• B) $m(\overline{AC}) = 2\sqrt{5}/5$。
• C) $m(\overline{AC}) = 4\sqrt{5}/5$。
• D) $m(\overline{AC}) = 8\sqrt{5}/5$。
• E) $m(\overline{AC}) = 14\sqrt{5}/5$。

解答

内角を $\hat{A}$、$\hat{B}$、$\hat{C}$ と書く。

1. 正弦定理。 $\dfrac{a}{\sin\hat{A}} = 2R = 10$（$a = m(\overline{BC})$ など）より

2. 余弦の符号は？ $m(\overline{AB}) < m(\overline{BC})$ なので $\hat{C} < \hat{A}$ であり、$\hat{C}$ は 鋭角：$\cos\hat{C} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。一方 $\hat{A}$ は鋭角（$\cos\hat{A} = \frac{4}{5}$）でも 鈍角（$\cos\hat{A} = -\frac{4}{5}$）でもありうる。

3. $\hat{B}$ が鋭角であることを使う。 $\hat{B} = \pi - (\hat{A} + \hat{C})$ より $\cos\hat{B} = \sin\hat{A}\sin\hat{C} - \cos\hat{A}\cos\hat{C}$。

• $\cos\hat{A} = \frac{4}{5}$ なら $\cos\hat{B} = \frac{3\sqrt{5}}{25} - \frac{8\sqrt{5}}{25} = -\frac{\sqrt{5}}{5} < 0$ で、$\hat{B}$ は鈍角になってしまう：不適。
• $\cos\hat{A} = -\frac{4}{5}$ なら $\cos\hat{B} = \frac{3\sqrt{5}}{25} + \frac{8\sqrt{5}}{25} = \frac{11\sqrt{5}}{25} > 0$ ✔

4. 辺 $AC$。 $\sin\hat{B} = \sin(\hat{A} + \hat{C}) = \frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{25}$ なので

余弦定理で確認： $b^2 = 20 + 36 - 2\cdot 2\sqrt{5}\cdot 6 \cdot \frac{11\sqrt{5}}{25} = 56 - \frac{1320}{25} = \frac{16}{5}$、$\sqrt{16/5} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$ ✔

答え： C（$4\sqrt{5}/5$）。

ひっかけに注意： $\hat{A}$ を鋭角とすると $m(\overline{AC}) = 4\sqrt{5}$ となり、選択肢にすら ないが、そのとき $\hat{B}$ は鈍角になっている。

復習は三角形の解法とあいまいな場合を参照。

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