出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。 ファイルは ITA の過去問ページにある。

ITA 2025 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は記述式の公式解答を公表していない （第2次試験の公式正答はポルトガル語の選択式問題だけ）。以下の解答は筆者によるもので、各答えは 別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。

答え一覧

問題 内容 答え
1 $x^2 - x + 1$ で割った余り $a = -1$、$b = 3$
2 楕円：$y/x$ の最大値 $r = \sqrt{3}$
3 三角関数の連立方程式 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$
4 傍接円 $15\sqrt{3}$
5 $3^{100}$ の最高位の数字 5
6 確率：$n$ 回目に4回目の表 $n = 6$ と $n = 7$
7 重根をもつ多項式と直角三角形 $a = \pm\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$、$b = \mp\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$
8 行列式の和 1013
9 $A^{-1} = A^T$ を満たす整数行列 3840
10 対角線に垂直な面への立方体の射影 $4\sqrt{3}$

問題 1：x² − x + 1 で割った余り

問題文

多項式 $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りが $2x + 1$ になるような 実数 $a$、$b$ を求めよ。

解答

1. 割る式の根。 $\omega$ を $x^2 - x + 1$ の根とする。$(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$ なので $\omega^3 = -1$、$\omega^6 = 1$。また $\omega^2 = \omega - 1$。

2. $p(\omega)$ の値。 $p(x) = (x^2 - x + 1)Q(x) + 2x + 1$ なら $p(\omega) = 2\omega + 1$。指数を6で割った 余りに直すと

  • $\omega^{57} = \omega^{54}\cdot\omega^3 = -1$；
  • $\omega^{14} = \omega^{12}\cdot\omega^2 = \omega - 1$；
  • $\omega^7 = \omega$。
$$p(\omega) = -1 + a(\omega - 1) + b\omega + 1 = (a + b)\,\omega - a$$

3. 比べる。 $(a + b)\omega - a = 2\omega + 1$。$\omega$ は実数でなく $a$、$b$ は実数なので、係数が 一致しなければならない：$a + b = 2$、$-a = 1$。よって $a = -1$、$b = 3$。（もう一方の根 $\bar{\omega}$ も同じ式を与える。）

コンピュータで確認： $x^{57} - x^{14} + 3x^7 + 1$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りは $2x + 1$ ✔

答え： $a = -1$、$b = 3$。

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問題 2：y/x の最大値が 1 になる r

問題文

$E$ を、焦点軸が直交座標系の $O_x$ 軸上にある楕円とする。$E$ の中心は点 $(r, 0)$（$r > 0$）、 離心率は $\frac{\sqrt{2}}{2}$、長半径は $\sqrt{2}$ である。点 $(x, y) \in E$ について、$\dfrac{y}{x}$ の最大値が 1 になるような $r$ の値を求めよ。

解答

1. 楕円。 $a = \sqrt{2}$、$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ より $c = 1$、$b^2 = a^2 - c^2 = 1$：

$$\frac{(x - r)^2}{2} + y^2 = 1$$

2. 意味。 $\frac{y}{x}$ は原点と点 $(x, y)$ を結ぶ直線の傾きである。最大値は楕円に接する直線 $y = kx$ でとる（原点が楕円の外、すなわち $r > \sqrt{2}$ のときに限り存在する）。

3. 接する条件。 $y = kx$ を代入すると

$$\left(\frac{1}{2} + k^2\right)x^2 - rx + \frac{r^2}{2} - 1 = 0$$

判別式が0：$r^2 = 4\left(\frac{1}{2} + k^2\right)\left(\frac{r^2}{2} - 1\right) = (1 + 2k^2)(r^2 - 2)$、すなわち

$$k^2 = \frac{1}{r^2 - 2}$$

4. 最大値が 1。 $k = 1 \Rightarrow r^2 - 2 = 1 \Rightarrow r = \sqrt{3}$（確かに $\sqrt{3} > \sqrt{2}$）。

数値で確認： $r = \sqrt{3}$ で楕円を1周すると、$y/x$ の最大値は $0.99999\ldots$ ✔

答え： $r = \sqrt{3}$。

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問題 3：2つの方程式から sin(α + β)

問題文

$\alpha, \beta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ が

$$\sin(\alpha) - \sin(\beta) = \frac{1}{4} \quad\text{かつ}\quad \sin(\alpha) - 2\sin(\beta) + \cos(\beta) = \frac{3}{4}$$

を満たす。$\sin(\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

解答

1. $\beta$ だけの式にする。 第2式から第1式を引くと

$$\cos\beta - \sin\beta = \frac{1}{2}$$

2. $\beta$ を求める。 2乗すると $1 - 2\sin\beta\cos\beta = \frac{1}{4}$、よって $\sin\beta\cos\beta = \frac{3}{8} > 0$。与えられた区間では $\cos\beta \le 0$ なので、積が正になるには $\sin\beta < 0$ でもある。$s = \sin\beta$、$\cos\beta = s + \frac{1}{2}$ とおくと

$$s\left(s + \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{8} \quad\Rightarrow\quad 8s^2 + 4s - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad s = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{4}$$

$s < 0$ より $\sin\beta = \frac{-1 - \sqrt{7}}{4}$、$\cos\beta = \frac{1 - \sqrt{7}}{4}$（どちらも負 ✔）。

3. $\alpha$ を求める。 $\sin\alpha = \sin\beta + \frac{1}{4} = -\frac{\sqrt{7}}{4}$。与えられた区間では $\cos\alpha \le 0$：$\cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = -\frac{3}{4}$。

4. 和の正弦。

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\frac{1 - \sqrt{7}}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right)\frac{-1 - \sqrt{7}}{4}$$$$= \frac{-\sqrt{7} + 7 + 3 + 3\sqrt{7}}{16} = \frac{10 + 2\sqrt{7}}{16} = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$$

数値で確認： $\alpha \approx 3.864$、$\beta \approx 4.288$（どちらも $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \approx [1.571,\ 4.712]$ にある）は2つの方程式を満たし、 $\sin(\alpha + \beta) \approx 0.9557 = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$ ✔

答え： $\sin(\alpha + \beta) = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{8}$。

復習は加法定理を参照。

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問題 4：辺 BC に接する傍接円

問題文

三角形 $ABC$ の辺を $m(\overline{AB}) = 6$、$m(\overline{AC}) = 10$、$m(\overline{BC}) = 14$ とする。三角形 $ABC$ の外側にあって、線分 $\overline{BC}$ と直線 $AB$、$AC$ に同時に接する円の半径を求めよ。

解答

これは $A$ に対する傍接円である。その半径は $r_a = \dfrac{S}{p - a}$（$S$ は面積、$p$ は半周、 $a = m(\overline{BC})$）。

1. $A$ の角。 余弦定理より

$$\cos\hat{A} = \frac{6^2 + 10^2 - 14^2}{2\cdot 6\cdot 10} = \frac{-60}{120} = -\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \hat{A} = 120^\circ$$

2. 面積。 $S = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot\sin120^\circ = 15\sqrt{3}$。

3. 半径。 $p = \frac{6 + 10 + 14}{2} = 15$、$p - a = 1$：

$$r_a = \frac{15\sqrt{3}}{1} = 15\sqrt{3}$$

別の公式で確認： 傍接円の中心は $\hat{A}$ の二等分線上にあり、 $r_a = p\cdot\tan\frac{\hat{A}}{2} = 15\tan60^\circ = 15\sqrt{3}$ ✔ （ヘロンの公式でも面積は $\sqrt{15\cdot 1\cdot 9\cdot 5} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}$。）

答え： $15\sqrt{3}$。

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問題 5：3¹⁰⁰ の最高位の数字

問題文

近似値 $\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$、$\log_{10} 7 = 0.8450$ を用いて、$3^{100}$ の （左から）最初の数字を求めよ。

解答

1. 指標と仮数。

$$\log_{10} 3^{100} = 100\cdot 0.4771 = 47.71$$

よって $3^{100} = 10^{47}\cdot 10^{0.71}$ で、最初の数字は $10^{0.71}$ の整数部分である。

2. 既知の対数と比べる。

$$\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2 = 0.6990, \qquad \log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.7781$$

$0.6990 < 0.71 < 0.7781$ なので $5 < 10^{0.71} < 6$。

確認： $3^{100} = 515377520732011331036461129765621272702107522001$ で、確かに 5 で始まる（指標47の とおり48桁である）✔

答え： 最初の数字は 5。

復習は対数表の入門を参照。

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問題 6：4回目の表がいちばん出やすいのはいつか

問題文

偏りのない硬貨を $n$ 回投げる。ちょうど $n$ 回目に4回目の表が出る確率を最大にする $n$ を求めよ。

解答

1. 確率。 4回目の表が $n$ 回目に出るのは、$n$ 回目が表で、それまでの $n - 1$ 回にちょうど 3回表が出るときである：

$$P(n) = \binom{n - 1}{3}\frac{1}{2^n}, \qquad n \ge 4$$

2. 隣どうしを比べる。

$$\frac{P(n + 1)}{P(n)} = \frac{\binom{n}{3}}{2\binom{n - 1}{3}} = \frac{n}{2(n - 3)}$$

この比は $n < 6$ で $> 1$、$n = 6$ で $= 1$、$n > 6$ で $< 1$。よって $P$ は $n = 6$ まで増え、 $P(6) = P(7)$ で並び、その後減る。

3. 値。

$$P(6) = \frac{\binom{5}{3}}{64} = \frac{10}{64}, \qquad P(7) = \frac{\binom{6}{3}}{128} = \frac{20}{128} = \frac{10}{64}$$

たとえば $P(5) = \frac{4}{32} = \frac{8}{64}$、$P(8) = \frac{35}{256} \approx \frac{8.75}{64}$ で、どちらも小さい。

答え： $n = 6$ と $n = 7$（最大の確率は $\frac{5}{32}$）。

復習は確率入門を参照。

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問題 7：重根と直角三角形

問題文

多項式 $p(x) = x^3 + ax^2 + b$ を考える。次の条件のもとで実数 $a$、$b$ を求めよ。

  • I. $p(x)$ は実数の2重根をもつ；
  • II. 点 $(x_1, 0)$、$(x_2, 0)$、$(0, b)$ は直角三角形の頂点である。ただし $x_1$、$x_2$ は $p(x)$ の異なる根。

解答

1. 2重根。 2重根 $r$ は $p$ と $p'(x) = 3x^2 + 2ax = x(3x + 2a)$ をともに0にする。

  • $r = 0$ なら $b = 0$ で、点 $(0, b) = (0, 0)$ は $(x_1, 0)$、$(x_2, 0)$ とともに $x$ 軸上にあり、三角形にならない。不適。
  • よって $r = -\frac{2a}{3}$（$a \ne 0$）で、$p(r) = 0$ から $-\frac{8a^3}{27} + \frac{4a^3}{9} + b = 0$、すなわち $b = -\frac{4a^3}{27}$。

2. 異なる根。 根の和は $-a$：$2r + s = -a$ より、3つ目の根は $s = \frac{a}{3}$。異なる根は $x_1 = -\frac{2a}{3}$ と $x_2 = \frac{a}{3}$ で、符号が逆である。

3. 直角。 2つの頂点は $x$ 軸上、3つ目の $(0, b)$ は $y$ 軸上にある。直角は $(x_1, 0)$ にも $(x_2, 0)$ にもありえない（$(0, b)$ への辺が垂直になる必要があり、$x_1 = 0$ か $x_2 = 0$ が必要）。 よって直角は $(0, b)$ にあり、計量関係（高さの2乗 = 2つの射影の積）より

$$b^2 = |x_1|\cdot|x_2| = \frac{2|a|}{3}\cdot\frac{|a|}{3} = \frac{2a^2}{9}$$

4. 解く。 $b = -\frac{4a^3}{27}$ より $\frac{16a^6}{729} = \frac{2a^2}{9}$、よって $a^4 = \frac{81}{8}$ で

$$a^2 = \frac{9}{2\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}, \qquad a = \pm\frac{3}{2}\sqrt[4]{2}$$

また $b = -\frac{4a^3}{27} = -\frac{4a}{27}\cdot\frac{9\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{3}a = \mp\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt[4]{2} = \mp\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$。

$a = \frac{3}{2}\sqrt[4]{2} \approx 1.784$、$b \approx -0.841$ で確認： $x^3 + ax^2 + b$ の根は $\approx -1.189$（2重）と $\approx 0.595$ で、$b^2 \approx 0.7071 = 1.189\cdot 0.595$ ✔

答え： $a = \dfrac{3\sqrt[4]{2}}{2}$、$b = -\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$、または $a = -\dfrac{3\sqrt[4]{2}}{2}$、$b = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$。

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問題 8：max{i, j} の行列式の和

問題文

$A_k = (a_{ij})$ を $k$ 次の正方行列とし、$\{1, 2, \dots, k\}$ のすべての $i, j$ について $a_{ij} = \max\{i, j\}$ とする。$\displaystyle\sum_{k=1}^{2025}\det(A_k)$ を求めよ。

解答

1. 行列。 たとえば

$$A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 3 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}$$

2. 行基本変形。 各行 $L_i$（$i < k$）を $L_i - L_{i+1}$ に置き換える（元の行を使う。行列式は 変わらない）。$(i, j)$ 成分は $\max\{i, j\} - \max\{i + 1, j\}$ になる：

  • $j \le i$ なら $i - (i + 1) = -1$；
  • $j \ge i + 1$ なら $j - j = 0$（$j = i+1$ では $(i+1) - (i+1) = 0$）。

第 $i$ 行は $-1$ が $i$ 個並んだ $(-1, \dots, -1, 0, \dots, 0)$ になり、最後の行は $(k, k, \dots, k)$ のまま。 行列は下三角行列で、対角成分は $-1, -1, \dots, -1, k$：

$$\det A_k = (-1)^{k-1}\,k$$

（確認：$\det A_1 = 1$、$\det A_2 = 2 - 4 = -2$。）

3. 足す。

$$\sum_{k=1}^{2025}(-1)^{k-1}k = \underbrace{(1 - 2) + (3 - 4) + \dots + (2023 - 2024)}_{1012\text{ 組、各 } -1} + 2025 = -1012 + 2025 = 1013$$

コンピュータで確認： $A_1$ から $A_6$ の行列式は $1, -2, 3, -4, 5, -6$ ✔

答え： 1013。

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問題 9：逆行列が転置行列に等しい整数行列

問題文

整数成分をもつ正則な $5 \times 5$ 行列で、$A^{-1} = A^T$ を満たすものはいくつあるか。

解答

1. 条件の意味。 $A^{-1} = A^T$ は $A^T A = I$ と同値である。$A^T A$ の $(i, j)$ 成分は第 $i$ 列と 第 $j$ 列の内積なので、各列は長さ1で、互いに垂直である。

2. 長さ1の整数の列。 各列の成分の2乗の和は1で、成分は整数なので、ちょうど1つの成分が $\pm 1$ で残りは0である。

3. 垂直性。 2つの列の $\pm 1$ が同じ行にあると内積は $\pm 1 \ne 0$。よって $\pm 1$ は異なる行に あり、$A$ は符号つき置換行列である。

4. 数える。 各列の $\pm 1$ の行の選び方が $5! = 120$ 通り、符号の選び方が $2^5 = 32$ 通り。 そのような行列はすべて $A^T A = I$ を満たす。

$$120\cdot 32 = 3840$$

答え： 3840個。

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問題 10：対角線方向から見た立方体の影

問題文

1辺2の立方体を、その対角線の1本に垂直な平面に正射影したときの面積を求めよ。

解答

1. 影の形。 対角線の方向から立方体を見ると3つの面が見え、対角線上にない6つの頂点が輪郭を つくる。射影は正六角形である。

2. 見える面から。 見える3つの面の射影は重ならずに影全体を覆う。各面の面積は4で、その法線と 対角線のなす角 $\theta$ は $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす（対角線の向きは $(1,1,1)$、法線はたとえば $(0,0,1)$）。平面図形の射影の面積は元の面積に $\cos\theta$ を掛けたものなので

$$S = 3\cdot 4\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$

3. 六角形で確認。 立方体の各辺と対角線のなす角の余弦は $\frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、各辺は長さ $2\sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ に射影され、これが六角形の1辺になる：

$$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{24}{9} = 4\sqrt{3}\ ✔$$

答え： $4\sqrt{3}$。

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