Arquimedes

A vida de Arquimedes

Linha do tempo c. 287 a.C.Nasce em Siracusa, filho do astrônomo Fídias. c. 270 a.C.Hierão II torna-se senhor de Siracusa; mais tarde se proclama rei. c. 250 a.C.Por esta época, escreve a Cónon de Samos e a Dositeu, em Alexandria, enviando os seus resultados. c. 240 a.C.Escreve a Eratóstenes, em Alexandria, a carta que conhecemos como O Método. 215 a.C.Morre Hierão. Siracusa se alia a Cartago contra Roma. 214 a.C.O general romano Marcelo começa o cerco de Siracusa. As máquinas de Arquimedes defendem a cidade. 212 a.C.Siracusa cai. Arquimedes é morto por um soldado romano. 75 a.C.Cícero, magistrado romano na Sicília, reencontra o seu túmulo. Uma cidade grega na Sicília Arquimedes nasceu por volta de 287 a.C. em Siracusa, na costa leste da Sicília. A data vem de um autor bizantino do século XII, João Tzetzes, que diz que ele morreu aos 75 anos. Siracusa era então uma das maiores cidades do mundo grego, com dois portos e uma ilha fortificada, Ortígia, no coração da cidade antiga.

October 29, 2026 Iniciar leitura

Eureka: a coroa do rei e o princípio de Arquimedes

A história mais famosa sobre Arquimedes não aparece em nenhum livro dele. Foi contada dois séculos depois pelo arquiteto romano Vitrúvio, no livro IX do seu tratado Sobre a arquitetura. A coroa de Hierão O rei Hierão tinha encomendado uma coroa votiva para oferecer aos deuses e entregado ao ourives uma quantidade exata de ouro. A coroa ficou pronta e pesava o mesmo que o ouro entregue. Mas correu o boato de que o ourives tinha ficado com parte do ouro e posto no lugar a mesma massa de prata. Hierão pediu a Arquimedes que descobrisse a verdade sem danificar a coroa.

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A lei da alavanca

Alavancas eram usadas desde muito antes de Arquimedes, para levantar pedras, puxar água de poços e pesar mercadorias. O que Arquimedes fez de novo foi transformar a alavanca num teorema. No tratado Sobre o equilíbrio dos planos, ele parte de alguns axiomas simples, como “pesos iguais a distâncias iguais se equilibram”, e deduz, à maneira dos Elementos de Euclides, a lei geral. A lei Grandezas, comensuráveis ou incomensuráveis, ficam em equilíbrio a distâncias inversamente proporcionais aos seus pesos. — Arquimedes, Sobre o equilíbrio dos planos, livro I, proposições 6 e 7

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A medida do círculo e o número π

Que todo círculo tem a mesma razão entre a circunferência e o diâmetro já se sabia antes de Arquimedes. O valor dessa razão, que hoje chamamos de $\pi$, é que era incerto: os babilônios usavam às vezes $3\frac{1}{8}$, os egípcios algo próximo de $3{,}16$. No pequeno tratado A medida do círculo, Arquimedes fez duas coisas: relacionou a área do círculo com a circunferência e mostrou como calcular $\pi$ com a precisão que se quiser.

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A quadratura da parábola

“Quadrar” uma figura, para os gregos, era encontrar um quadrado, ou outra figura retilínea, com a mesma área. Quadrar o círculo era o problema impossível por excelência. Arquimedes conseguiu quadrar uma figura curva: o segmento de parábola, a região entre uma parábola e uma corda. Todo segmento limitado por uma reta e por uma seção de cone retângulo é quatro terços do triângulo que tem a mesma base e a mesma altura que o segmento. — Arquimedes, Quadratura da parábola, carta a Dositeu

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A esfera e o cilindro

Os geômetras gregos sabiam calcular o volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones. A esfera resistia. No tratado em dois livros Sobre a esfera e o cilindro, Arquimedes resolveu o problema e encontrou relações de uma simplicidade surpreendente. Os teoremas Chame de círculo máximo o círculo que passa pelo centro da esfera, como o equador. Arquimedes demonstrou que: a superfície da esfera é quatro vezes a área do círculo máximo: $S = 4\pi r^2$; o volume da esfera é quatro vezes o de um cone cuja base é o círculo máximo e cuja altura é o raio: $V = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$. E daí tirou a consequência que mais o encantava. Considere o cilindro que envolve a esfera exatamente, com raio $r$ e altura $2r$. O seu volume é $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$, e a superfície total, contando as duas tampas, é $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$. Então

October 29, 2026 Iniciar leitura

O Método e o palimpsesto

Os livros de Arquimedes apresentam demonstrações perfeitas, mas não dizem como ele chegou aos resultados. Durante séculos, os matemáticos suspeitaram que ele tinha um método secreto. Tinham razão, e o método foi encontrado no lugar mais improvável. A carta a Eratóstenes Algumas coisas ficaram claras para mim primeiro por um método mecânico, e depois tiveram de ser demonstradas pela geometria, porque a investigação por esse método não fornece uma demonstração. Mas é mais fácil encontrar a demonstração depois de adquirir, pelo método, algum conhecimento das questões do que sem conhecimento nenhum. — Arquimedes, O Método, carta a Eratóstenes

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A espiral de Arquimedes

No tratado Sobre as espirais, também dedicado a Dositeu, Arquimedes estuda uma curva nova, definida por um movimento. Se uma reta, num plano, gira com velocidade constante em torno de uma das suas extremidades, que fica fixa, e volta à posição de partida, e se, ao mesmo tempo, um ponto se move ao longo da reta com velocidade constante, a partir da extremidade fixa, o ponto descreverá uma espiral no plano. — Arquimedes, Sobre as espirais, definição

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O contador de areia

Há quem pense, rei Gélon, que o número dos grãos de areia é infinito. Eu me proponho a mostrar-te que alguns dos números que nomeei superam não só o número da areia que encheria a Terra, mas também o da que encheria o universo. — Arquimedes, O contador de areia, carta ao rei Gélon O contador de areia é uma carta a Gélon, filho do rei Hierão, e o único livro de Arquimedes escrito para um leitor que não era matemático. O problema é provar que existe um número maior que a quantidade de grãos de areia necessária para encher o universo inteiro.

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O parafuso, a garra e os espelhos

Plutarco escreve que Arquimedes considerava a engenharia uma atividade menor, e que não deixou nenhum livro sobre as suas máquinas. Mesmo assim, foram elas que o tornaram famoso entre os contemporâneos. As fontes antigas descrevem várias, com graus muito diferentes de confiabilidade. O parafuso de Arquimedes Um cilindro inclinado, com uma hélice por dentro ou um tubo enrolado em espiral por fora, tem a ponta de baixo mergulhada na água. Ao girar o cilindro, cada porção de água fica presa numa dobra da hélice e sobe, volta a volta, até sair pela ponta de cima. O historiador Diodoro da Sicília, no século I a.C., atribui a invenção a Arquimedes, durante uma estada no Egito, onde a máquina era usada para irrigar os campos às margens do Nilo e para esvaziar a água das minas.

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O legado de Arquimedes

Quem entende Arquimedes e Apolônio admirará menos as descobertas dos maiores homens de hoje. — Gottfried Wilhelm Leibniz Os manuscritos O que sobrou de Arquimedes chegou até nós por um fio. Quase toda a obra dependeu de três manuscritos gregos bizantinos. Dois deles, que os estudiosos chamam de códices A e B, se perderam depois de serem copiados ou traduzidos no Renascimento; o terceiro é o palimpsesto, que ficou escondido sob um livro de rezas. Em 1269, o dominicano Guilherme de Moerbeke traduziu os textos gregos para o latim, e por meio dessa tradução Arquimedes passou a ser lido nas universidades europeias. A primeira edição impressa do texto grego saiu em Basileia em 1544.

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Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos os arquivos ou as miniaturas fornecidas pelo Commons, reduzidas a no máximo 800 pixels de largura, sem outra edição. Arquimedes pensativo, pintura de Domenico Fetti (c. 1620): página de origem · domínio público. Ortígia, Siracusa, foto de Andrea Schaffer: página de origem · CC BY 2.0. Arquimedes e o soldado romano, mosaico em estilo antigo do século XVIII: página de origem · domínio público. Arquimedes movendo a Terra com uma alavanca, gravura da Mechanics Magazine (Londres, 1824): página de origem · domínio público. Manuscrito latino de Sobre a esfera e o cilindro (c. 1270): página de origem · domínio público. Cícero descobre o túmulo de Arquimedes, pintura de Pierre-Henri de Valenciennes (1787): página de origem · domínio público. Uma folha do palimpsesto de Arquimedes, The Walters Art Museum: página de origem · CC BY 3.0. O parafuso de Arquimedes, ilustração do Chambers’s Twentieth Century Dictionary (1908): página de origem · domínio público. A medalha Fields, foto de Stefan Zachow para a União Matemática Internacional: página de origem · domínio público. Figuras feitas para o blog A capa e as quatro figuras interativas (a alavanca, os polígonos que cercam π, os triângulos da quadratura da parábola e a espiral) são ilustrações originais, com textos em cada idioma do site.

October 30, 2026 Iniciar leitura