A história mais famosa sobre Arquimedes não aparece em nenhum livro dele. Foi contada dois séculos depois pelo arquiteto romano Vitrúvio, no livro IX do seu tratado Sobre a arquitetura.

A coroa de Hierão

O rei Hierão tinha encomendado uma coroa votiva para oferecer aos deuses e entregado ao ourives uma quantidade exata de ouro. A coroa ficou pronta e pesava o mesmo que o ouro entregue. Mas correu o boato de que o ourives tinha ficado com parte do ouro e posto no lugar a mesma massa de prata. Hierão pediu a Arquimedes que descobrisse a verdade sem danificar a coroa.

Segundo Vitrúvio, Arquimedes pensava no problema quando entrou numa banheira cheia e viu a água transbordar à medida que o seu corpo afundava. Entendeu na hora o que fazer e saiu correndo para casa, nu, gritando em grego heúreka, heúreka: “encontrei, encontrei”.

O método de Vitrúvio

A ideia, na versão de Vitrúvio, é comparar volumes. A prata é menos densa que o ouro: a mesma massa de prata ocupa quase o dobro do espaço. Se a coroa tiver prata misturada, ela terá volume maior que o de um bloco de ouro puro de mesma massa. Para medir o volume de um objeto irregular, basta mergulhá-lo num vaso cheio até a borda e medir a água que transborda.

Arquimedes teria mergulhado um bloco de ouro puro com a massa da coroa, depois um de prata, depois a própria coroa. A coroa derramou mais água que o ouro puro: o ourives tinha mesmo trapaceado.

Por que quase não funciona

Em 1586, o jovem Galileu Galilei escreveu um pequeno texto, A balancinha, apontando o problema: a diferença de volume é minúscula, e medir a água derramada com precisão suficiente seria quase impossível com os recipientes da época. Faça as contas no exercício abaixo. Galileu propôs que Arquimedes teria usado um método muito mais sensível, baseado num resultado que ele de fato demonstrou.

O princípio de Arquimedes

No tratado Sobre os corpos flutuantes, Arquimedes demonstra que um corpo mergulhado num líquido sofre um empuxo para cima igual ao peso do líquido deslocado. Um corpo mais denso que o líquido afunda, mas parece mais leve; um corpo menos denso flutua, com uma parte submersa tal que o líquido deslocado pesa tanto quanto o corpo inteiro.

O método sugerido por Galileu usa uma balança. Pendure a coroa num prato e um bloco de ouro puro de mesma massa no outro. No ar, a balança fica em equilíbrio. Agora mergulhe os dois na água. Se a coroa tiver volume maior, ela desloca mais água, recebe um empuxo maior e sobe: a balança se inclina para o lado do ouro puro. A diferença de empuxo atua diretamente sobre a balança, e uma balança comum é muito mais sensível que um nível de água.

Em termos modernos: um corpo de massa $m$ e volume $V$ mergulhado em água (densidade $\rho_a = 1$ g/cm³) tem peso aparente

$$m - \rho_a V.$$
Exercício: o volume da coroa

A coroa tem 1000 g. O ouro tem densidade 19,3 g/cm³ e a prata 10,5 g/cm³. Qual é o volume de uma coroa de ouro puro? E de uma coroa com 700 g de ouro e 300 g de prata? Se o vaso tiver boca circular de 20 cm de diâmetro, quanto subirá a mais a água?

Ouro puro: $\frac{1000}{19{,}3} \approx 51{,}8$ cm³. Coroa misturada: $\frac{700}{19{,}3} + \frac{300}{10{,}5} \approx 36{,}3 + 28{,}6 = 64{,}8$ cm³. A diferença é de cerca de 13 cm³. A boca do vaso tem área $\pi \cdot 10^2 \approx 314$ cm², então a água subiria $\frac{13}{314} \approx 0{,}04$ cm a mais: menos de meio milímetro. É por isso que Galileu duvidou da versão de Vitrúvio.

Exercício: a balança na água

Com os mesmos números, qual é o peso aparente, na água, da coroa de ouro puro e da coroa misturada? Qual é a diferença?

Peso aparente = massa − volume (em gramas, com $\rho_a = 1$). Ouro puro: $1000 - 51{,}8 = 948{,}2$ g. Coroa misturada: $1000 - 64{,}8 = 935{,}2$ g. A diferença é de 13 g, que uma balança de pratos acusa com facilidade. Com o princípio de Arquimedes, a fraude aparece claramente.

Fontes: Vitrúvio, De architectura, IX, prefácio, 9–12 · Arquimedes, Sobre os corpos flutuantes, livro I, proposições 5–7 · Galileu Galilei, La bilancetta (1586) · Chris Rorres, Archimedes (site do Courant Institute, Universidade de Nova York) · Thomas L. Heath, The Works of Archimedes (1897).

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