Euler's Eyes
2026-10-29
A lei da alavanca
Alavancas eram usadas desde muito antes de Arquimedes, para levantar pedras, puxar água de poços e pesar mercadorias. O que Arquimedes fez de novo foi transformar a alavanca num teorema. No tratado Sobre o equilíbrio dos planos, ele parte de alguns axiomas simples, como “pesos iguais a distâncias iguais se equilibram”, e deduz, à maneira dos Elementos de Euclides, a lei geral.
A lei
Grandezas, comensuráveis ou incomensuráveis, ficam em equilíbrio a distâncias inversamente proporcionais aos seus pesos.
— Arquimedes, Sobre o equilíbrio dos planos, livro I, proposições 6 e 7
Se um peso $P_1$ está à distância $d_1$ do apoio e um peso $P_2$ à distância $d_2$ do outro lado, a alavanca fica em equilíbrio quando
$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_2}{d_1} \quad\Longleftrightarrow\quad P_1\,d_1 = P_2\,d_2.$$Um peso pequeno longe do apoio equilibra um peso grande perto dele. O produto $P \cdot d$, que hoje chamamos de momento ou torque, é o que precisa ser igual dos dois lados.
A ideia da demonstração
O caso mais fácil mostra o espírito do argumento. Suponha que à esquerda haja um peso de 2 unidades à distância 1 do apoio, e à direita um peso de 1 unidade à distância 2. Troque o peso de 2 por duas unidades separadas, uma exatamente sobre o apoio e outra à distância 2 à esquerda. O centro de gravidade das duas continua à distância 1, então, por um dos axiomas, o equilíbrio não muda. Mas agora temos três pesos iguais, nas posições $-2$, $0$ e $+2$: uma fileira simétrica em relação ao apoio, que evidentemente fica em equilíbrio. Arquimedes generaliza esse raciocínio para quaisquer pesos comensuráveis, dividindo-os em unidades iguais, e depois, com um argumento por absurdo, para os incomensuráveis.
Os centros de gravidade
O mesmo tratado ensina a encontrar o centro de gravidade de figuras planas: o ponto onde a figura se equilibraria apoiada numa ponta de agulha. Arquimedes mostra, por exemplo, que o centro de gravidade de um triângulo é o ponto de encontro das medianas, a dois terços de cada vértice. Essa ideia, de tratar uma figura inteira como se o seu peso estivesse concentrado num ponto, é a chave do Método com que ele descobriu as suas maiores fórmulas.
Exercício: o carrinho de mão
Um carrinho de mão carrega 60 kg de areia, cujo centro de gravidade fica a 40 cm da roda. As mãos seguram os cabos a 120 cm da roda. Que peso as mãos precisam sustentar?
A roda é o apoio. Os dois momentos devem ser iguais: $60 \times 40 = F \times 120$, então $F = 20$ kg. O carrinho é uma alavanca em que a carga fica entre o apoio e a força, e as mãos sustentam só um terço do peso.
Exercício: mover a Terra
A massa da Terra é cerca de $6 \times 10^{24}$ kg. Se Arquimedes, empurrando com a força correspondente a 60 kg, quisesse equilibrá-la com uma alavanca cujo braço curto tem 1 m, qual deveria ser o comprimento do braço longo? E quanto ele teria de mover a ponta para erguer a Terra 1 cm?
Pela lei, $6 \times 10^{24} \times 1 = 60 \times d$, então $d = 10^{23}$ m, cerca de 10 milhões de anos-luz, mais que a distância até a galáxia de Andrômeda. Como os deslocamentos estão na mesma proporção que os braços, para erguer a Terra 1 cm a ponta teria de descer $10^{23} \times 0{,}01 = 10^{21}$ m. A lei é verdadeira; o ponto de apoio é que falta.
Fontes: Arquimedes, Sobre o equilíbrio dos planos, livro I · Papo de Alexandria, Coleção matemática, livro VIII · Plutarco, Vida de Marcelo, 14 · E. J. Dijksterhuis, Archimedes (1956), cap. IX · Thomas L. Heath, The Works of Archimedes (1897).
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