Há quem pense, rei Gélon, que o número dos grãos de areia é infinito. Eu me proponho a mostrar-te que alguns dos números que nomeei superam não só o número da areia que encheria a Terra, mas também o da que encheria o universo.

— Arquimedes, O contador de areia, carta ao rei Gélon

O contador de areia é uma carta a Gélon, filho do rei Hierão, e o único livro de Arquimedes escrito para um leitor que não era matemático. O problema é provar que existe um número maior que a quantidade de grãos de areia necessária para encher o universo inteiro.

Números sem nome

A dificuldade não era calcular, era nomear. O sistema grego de numeração usava letras do alfabeto e ia, na prática, até a miríade, 10 000. Uma “miríade de miríades”, $10^8$, já era um número enorme. Arquimedes propôs continuar:

  • os números até $10^8$ formam a primeira ordem;
  • tomando $10^8$ como nova unidade, os números até $10^8 \cdot 10^8 = 10^{16}$ formam a segunda ordem;
  • e assim por diante, até a ordem número $10^8$, que termina em $\left(10^8\right)^{10^8} = 10^{800\,000\,000}$.

Todas essas ordens formam o primeiro período. Arquimedes continuou com períodos, até chegar a $10^{8 \cdot 10^{16}}$. É, na essência, a ideia de usar potências da base como degraus, a mesma que está por trás da notação científica.

O tamanho do universo

Para encher o universo, era preciso saber o seu tamanho. Arquimedes tomou o maior universo que os astrônomos da época propunham: o de Aristarco de Samos, que punha o Sol no centro e a Terra girando em torno dele. Nesse modelo, as estrelas tinham de estar tão longe que não se percebia nenhum deslocamento aparente delas ao longo do ano.

Arquimedes então estimou, sempre exagerando para o lado seguro: quantos grãos de areia cabem numa semente de papoula, quantas sementes cabem na largura de um dedo, quantos dedos cabem num estádio (cerca de 180 m), quantos estádios no diâmetro do universo. Multiplicando tudo, chegou a que o universo de Aristarco caberia em menos de

$$10^{63} \text{ grãos de areia}.$$

É um número da oitava ordem do primeiro período, muito longe dos limites do sistema que ele tinha inventado.

Por que um rei ia querer saber isso

O livro é uma lição sobre o próprio infinito. Muitas pessoas confundiam “muito grande” com “infinito”. Arquimedes mostra que mesmo uma quantidade que parece inimaginável tem um número, e que a matemática pode nomeá-lo e superá-lo. Ao mesmo tempo, o livro reúne o que se sabia da astronomia: tamanhos do Sol, da Lua e da Terra, e até uma medida do diâmetro aparente do Sol feita pelo próprio Arquimedes.

Exercício: miríades

Escreva em potências de 10 uma miríade, uma miríade de miríades e o último número da segunda ordem.

Miríade: $10^4$. Miríade de miríades: $10^4 \cdot 10^4 = 10^8$, o fim da primeira ordem. A segunda ordem usa $10^8$ como unidade e vai até $10^8 \cdot 10^8 = 10^{16}$.

Exercício: um número moderno

Estima-se que o universo observável contenha cerca de $10^{80}$ átomos. Em que ordem do sistema de Arquimedes cairia esse número?

A ordem $k$ vai de $10^{8(k-1)}$ até $10^{8k}$. Para $10^{80}$, precisamos de $8(k-1) < 80 \le 8k$, ou seja, $k = 10$: $10^{80}$ é exatamente o último número da décima ordem do primeiro período. O sistema de Arquimedes, criado para contar areia, ainda sobra para contar os átomos do universo.

Fontes: Arquimedes, O contador de areia · Thomas L. Heath, The Works of Archimedes (1897) e Aristarchus of Samos (1913) · Reviel Netz, A New History of Greek Mathematics (2022) · Owen Gingerich, “Did Copernicus Owe a Debt to Aristarchus?”, Journal for the History of Astronomy 16 (1985).

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