História Da Matemática

Os dois pontos de Napier: a definição do logaritmo

Napier não tinha a notação de expoentes que usamos hoje. Para definir os logaritmos, usou uma imagem de movimento, muito antes de Newton e Leibniz criarem o cálculo. A definição Imagine dois pontos que partem juntos. O primeiro, $P$, anda por um segmento $AB$ de comprimento $10^7$, e a sua velocidade em cada instante é igual à distância que ainda falta até $B$: começa rápido e vai freando, sem nunca chegar. O segundo, $Q$, anda por uma reta sem fim, sempre com a velocidade inicial de $P$.

October 17, 2026 Iniciar leitura

O que é um grupo: as seis simetrias do triângulo

Recorte um triângulo equilátero de papel, numere os cantos 1, 2 e 3 e coloque-o sobre o seu contorno desenhado na mesa. De quantas maneiras dá para tirar o triângulo e recolocá-lo de modo que ele cubra exatamente o mesmo contorno? São seis. Pode-se não fazer nada; girar $120°$ ou $240°$; ou virar o triângulo do avesso em torno de um dos três eixos, cada um passando por um canto e pelo meio do lado oposto.

October 16, 2026 Iniciar leitura

A série binomial e as séries do diabo

As séries divergentes são uma invenção do diabo, e é uma vergonha basear nelas qualquer demonstração. — Niels Henrik Abel, carta a Holmboe (janeiro de 1826) Em 1665, o jovem Newton descobriu que a fórmula do binômio valia também para expoentes que não são inteiros: $$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{6}x^3+\cdots$$Para $m$ inteiro positivo, a soma para depois de $m+1$ termos. Para $m=\frac12$ ou $m=-1$, ela nunca para: é uma série, uma soma com infinitos termos. Newton, Euler e todos os matemáticos do século XVIII usaram essa série com enorme sucesso. Quase ninguém perguntou quando ela funciona.

October 16, 2026 Iniciar leitura

O equilíbrio de Nash: ninguém melhora sozinho

Um ponto de equilíbrio é uma n-upla tal que a estratégia mista de cada jogador maximiza o seu ganho se as estratégias dos outros forem mantidas fixas. — John Nash, Proceedings of the National Academy of Sciences (1950) Em 1944, John von Neumann e o economista Oskar Morgenstern publicaram Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico, um livro enorme que transformava em matemática as decisões estratégicas: jogos de cartas, guerras, mercados. O grande resultado de von Neumann valia para jogos de soma zero entre dois jogadores, em que o que um ganha o outro perde, como o xadrez ou o pôquer. Mas a maior parte da vida não é assim: num acordo comercial, numa negociação ou no trânsito, os dois lados podem ganhar juntos, ou perder juntos.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Os anéis de Saturno não podem ser sólidos

Os únicos sistemas de anéis que podem existir são, portanto, os compostos por um número indefinido de partículas desconectadas, girando em torno do planeta com velocidades diferentes, de acordo com as suas distâncias. — James Clerk Maxwell, Sobre a estabilidade do movimento dos anéis de Saturno (1859) Galileu viu Saturno pelo telescópio em 1610 e achou que o planeta tinha “orelhas”. Em 1655, Huygens percebeu que eram um anel fino e plano, que não toca o planeta. Duzentos anos depois, ninguém sabia do que o anel era feito. Seria um disco sólido, como um disco de vinil? Um líquido? Uma nuvem de pedras?

October 14, 2026 Iniciar leitura

A Mecânica analítica: um livro sem figuras

Abra os Principia de Newton, de 1687, e você verá figuras em quase toda página: triângulos, elipses, setas, tangentes. Abra a Mecânica analítica de Lagrange, publicada cem anos depois, em 1788, e não verá nenhuma. O próprio autor avisa isso no prefácio, com orgulho, e completa: Os que amam a análise verão com prazer a mecânica tornar-se um novo ramo dela, e me serão gratos por ter assim estendido o seu domínio. — Joseph-Louis Lagrange, prefácio da Mecânica analítica (1788)

October 13, 2026 Iniciar leitura

A regra de l'Hôpital: as aulas vendidas a um marquês

Reconheço dever muito às luzes dos senhores Bernoulli, sobretudo às do mais jovem, hoje professor em Groningen. Servi-me sem cerimônia das suas descobertas e das do senhor Leibniz. — Marquês de l'Hôpital, prefácio da Análise dos infinitamente pequenos (1696) Em 1691, o marquês Guillaume de l’Hôpital tinha 30 anos, um título, um castelo, e uma paixão: entender o cálculo de Leibniz, que mal tinha sido publicado e que quase ninguém na França conseguia ler. Quando o jovem suíço Johann Bernoulli, que sabia o cálculo melhor do que quase todo mundo, apareceu em Paris, o marquês o contratou como professor particular.

October 13, 2026 Iniciar leitura

O teorema de Sophie Germain e o último teorema de Fermat

Por volta de 1637, Pierre de Fermat anotou na margem de um livro que a equação $$x^n+y^n=z^n$$não tem soluções em números inteiros positivos quando $n$ é maior que 2, e que tinha uma demonstração maravilhosa que não cabia na margem. É o último teorema de Fermat. Ninguém nunca encontrou a demonstração dele, e o problema só foi resolvido por Andrew Wiles em 1994. Até 1800, a situação era modesta. Fermat tinha provado o caso $n=4$, Euler o caso $n=3$. Bastava estudar os expoentes $n=p$ primos, mas cada primo exigia um truque próprio, e ninguém conseguia passar do 3. Sophie Germain foi a primeira pessoa a provar algo para infinitos expoentes de uma só vez.

October 12, 2026 Iniciar leitura

A primeira proposição: o triângulo equilátero

Sobre uma reta limitada dada, construir um triângulo equilátero. — Euclides, Elementos, Proposição I.1 Depois das definições, dos postulados e das noções comuns, os Elementos começam com um problema pequeno e bonito. Você tem um segmento $AB$. Quer construir, só com régua e compasso, um triângulo cujos três lados sejam iguais a $AB$. É a primeira das 465 proposições do livro, e mostra em poucas linhas como todas as outras vão funcionar.

October 12, 2026 Iniciar leitura

O movimento browniano: contar os átomos

Se for realmente possível observar o movimento aqui discutido, a termodinâmica clássica não poderá mais ser considerada exatamente válida para espaços distinguíveis ao microscópio, e uma determinação exata das verdadeiras dimensões atômicas se torna possível. — Albert Einstein, Annalen der Physik (maio de 1905) Em 1905, muitos físicos e químicos ainda duvidavam que os átomos existissem. A química funcionava muito bem com a hipótese, mas ninguém tinha visto um átomo, e cientistas importantes, como o físico austríaco Ernst Mach e o químico alemão Wilhelm Ostwald, achavam que eles eram só uma maneira cômoda de fazer contas. Einstein encontrou um jeito de vê-los, ou quase: pelo efeito que eles têm sobre coisas grandes o bastante para aparecer no microscópio.

October 11, 2026 Iniciar leitura

A série harmônica e o pedido de ajuda

Assim como a série infinita é contida pela soma finita, e no ilimitado se discerne o limite, também a alma da imensidão mora no ínfimo, e no limite mais estreito não há limites. — Jakob Bernoulli, Tractatus de seriebus infinitis (1689) Entre 1689 e 1704, Jakob Bernoulli publicou em Basileia cinco dissertações sobre séries infinitas, somas com infinitas parcelas. Era um assunto novo e perigoso. Algumas dessas somas dão um número, como

October 11, 2026 Iniciar leitura

Combinações: contar sem listar

Na Mega-Sena, você escolhe 6 números entre 60. Quantos jogos diferentes existem? Listar todos levaria uma vida: são mais de cinquenta milhões. Mas dá para contar sem listar, e Pascal mostrou como. Escolher sem ordem Comece com um caso pequeno: de quantas maneiras se pode escolher 2 pessoas num grupo de 5 para uma comissão? Se a ordem importasse, haveria $5$ opções para a primeira pessoa e $4$ para a segunda: $5\cdot4=20$. Mas numa comissão “Ana e Bruno” é o mesmo que “Bruno e Ana”, e cada par foi contado duas vezes. São $20/2=10$ comissões.

October 8, 2026 Iniciar leitura