História Da Matemática

O binômio generalizado: além das potências inteiras

Na escola aprendemos a expandir $(1+x)^2=1+2x+x^2$ e $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$. Os coeficientes saem do triângulo aritmético, que Pascal estudou e que já era conhecido muito antes dele. Para expoentes inteiros positivos, a conta sempre termina. No inverno de 1664–1665, ainda estudante, Newton fez uma pergunta que ninguém tinha feito com tanta ousadia: e se o expoente fosse $\frac12$? Ou $-1$? O que seria $(1+x)^{1/2}$, isto é, $\sqrt{1+x}$, escrito como soma de potências de $x$?

October 6, 2026 Iniciar leitura

A soma de 1 a 100

A história mais famosa de Gauss é de quando ele tinha uns 9 anos. Para manter a turma ocupada, o professor Büttner mandou os alunos somarem todos os números de 1 a 100. Em poucos segundos, Gauss colocou a lousa na mesa com a resposta certa: 5050. (A história foi contada pelo primeiro biógrafo de Gauss, e os números exatos da conta podem ter sido outros, mas a ideia é a mesma.)

October 1, 2026 Iniciar leitura

Coordenadas: a geometria vira álgebra

A grande ideia de A Geometria é dar a cada ponto do plano um par de números. Escolhemos duas retas perpendiculares (os eixos) e um ponto é localizado pelas distâncias $x$ e $y$ até elas. Hoje chamamos isso de plano cartesiano, em homenagem a ele (Cartesius era o nome de Descartes em latim). Com coordenadas, uma figura vira uma equação. Veja três exemplos. Uma página de A Geometria (1637). Já aparecem as letras a, b para valores conhecidos e as potências escritas no alto.René Descartes · domínio público A distância entre dois pontos. Os pontos $P = (x_1, y_1)$ e $Q = (x_2, y_2)$ formam, com o ponto $(x_2, y_1)$, um triângulo retângulo de catetos $x_2 - x_1$ e $y_2 - y_1$. Pelo teorema de Pitágoras:

September 30, 2026 Iniciar leitura

A linguagem que Euler nos deixou

Parte da influência de Euler está em coisas que parecem ter existido sempre. Ele criou ou popularizou: $f(x)$ para indicar uma função de $x$; a letra $e$ para a base dos logaritmos naturais, $e \approx 2{,}71828$; a letra $\pi$ para a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro (o símbolo já existia, mas foi Euler quem o espalhou); $i$ para a unidade imaginária, com $i^2 = -1$; $\Sigma$ para indicar uma soma. O sinal de igual e a letra π Os símbolos têm data de nascimento. O sinal $=$ foi inventado pelo galês Robert Recorde em 1557, no livro The Whetstone of Witte, para não ter de escrever “é igual a” o tempo todo. Ele escolheu dois traços paralelos do mesmo comprimento porque, explicou, nenhuma coisa pode ser mais igual. A letra $\pi$, inicial da palavra grega periphéreia, a circunferência, foi usada pela primeira vez com o sentido de hoje por outro galês, William Jones, em 1706. Euler passou a usá-la nos anos 1730, e os seus livros a tornaram padrão.

September 29, 2026 Iniciar leitura

O teorema do rearranjo

Desde a escola aprendemos que “a ordem das parcelas não altera a soma”. Para somas finitas, é verdade. Para somas infinitas, não, e o exemplo mais claro aparece no mesmo trabalho de habilitação de 1854 em que Riemann definiu a integral. Uma série que soma ln 2 A série harmônica alternada $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots$$converge, e a sua soma é $\ln 2 \approx 0{,}6931$. Mas há algo frágil nela. Se separarmos os termos positivos dos negativos, cada grupo sozinho é infinito:

October 31, 2026 Iniciar leitura

A hipótese da nebulosa

A Exposição do sistema do mundo, de 1796, era um livro para leitores sem formação matemática. Laplace contava ali, em prosa, tudo o que a mecânica celeste tinha descoberto. No fim, numa nota que ele mesmo apresentava “com a desconfiança que deve inspirar tudo o que não é resultado da observação ou do cálculo”, arriscou uma explicação para a origem do Sistema Solar. Folha de rosto da segunda edição da Exposição do sistema do mundo, de 1798 (ano VII do calendário republicano).Pierre-Simon Laplace · Wikimedia Commons · domínio público Uma coincidência grande demais Laplace partiu de fatos que todos conheciam. Os planetas então conhecidos giram em torno do Sol no mesmo sentido, em órbitas quase no mesmo plano e quase circulares. Eles também giram em torno de si mesmos no mesmo sentido, e o mesmo vale para os satélites em volta dos planetas. Somando planetas, satélites e rotações, Laplace contou 43 movimentos, todos no mesmo sentido.

October 30, 2026 Iniciar leitura

A lei da alavanca

Alavancas eram usadas desde muito antes de Arquimedes, para levantar pedras, puxar água de poços e pesar mercadorias. O que Arquimedes fez de novo foi transformar a alavanca num teorema. No tratado Sobre o equilíbrio dos planos, ele parte de alguns axiomas simples, como “pesos iguais a distâncias iguais se equilibram”, e deduz, à maneira dos Elementos de Euclides, a lei geral. A lei Grandezas, comensuráveis ou incomensuráveis, ficam em equilíbrio a distâncias inversamente proporcionais aos seus pesos. — Arquimedes, Sobre o equilíbrio dos planos, livro I, proposições 6 e 7

October 29, 2026 Iniciar leitura

As Instituzioni analitiche

Em meados do século XVIII, quem quisesse aprender cálculo tinha um problema. A invenção de Newton e Leibniz tinha só setenta anos, e os seus resultados estavam espalhados em artigos de revistas científicas, em cartas e em livros escritos em latim, francês e inglês, com notações diferentes. O único manual famoso, a Análise dos infinitamente pequenos do marquês de L’Hôpital, de 1696, tratava apenas do cálculo diferencial. Não havia um livro que levasse o estudante, passo a passo, da álgebra até as equações diferenciais.

October 28, 2026 Iniciar leitura

Determinantes e permutações

Em 30 de novembro de 1812, o jovem engenheiro de Cherbourg leu no Instituto de França uma memória de título comprido: sobre as funções que só podem tomar dois valores iguais e de sinais contrários quando se trocam entre si as variáveis. Por trás do título estava a primeira teoria geral dos determinantes. Funções que trocam de sinal Tome três variáveis $a_1, a_2, a_3$ e o produto das diferenças $$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$Se trocarmos $a_1$ com $a_2$, cada fator ou continua igual ou troca de sinal, e no total $\Delta$ vira $-\Delta$. Qualquer troca de duas variáveis faz o mesmo. Uma permutação das variáveis, que é uma sequência de trocas, multiplica $\Delta$ por $+1$ ou por $-1$: é par ou ímpar.

October 27, 2026 Iniciar leitura

Os números complexos como pares

No começo do século XIX os números complexos já eram usados havia trezentos anos, desde Cardano e Bombelli, e Euler tinha feito maravilhas com eles. Wessel, Argand e Gauss os tinham desenhado como pontos do plano. Mas continuava o desconforto: o que é, afinal, $\sqrt{-1}$? Um número que, ao quadrado, dá negativo parecia uma ficção útil, não um objeto da matemática. Hamilton resolveu a questão sem desenhar nada. No ensaio Teoria das funções conjugadas, ou pares algébricos, apresentado à Royal Irish Academy em 1833 e 1835 e publicado em 1837, ele propôs que um número complexo é um par ordenado de números reais, e nada mais.

October 27, 2026 Iniciar leitura

O teorema minimax: como jogar sem ser adivinhado

No par ou ímpar, não existe jogada boa. Se você sempre põe um dedo, o adversário aprende e passa a ganhar sempre. A única defesa é não ser previsível: jogar ao acaso, metade das vezes um, metade das vezes dois. Assim, faça o adversário o que fizer, você ganha metade das partidas. Em 1928, num artigo chamado Sobre a teoria dos jogos de salão, von Neumann mostrou que essa ideia vale para todo jogo de soma zero entre duas pessoas, em que o que um ganha o outro perde. E que ela leva sempre a um número exato, o valor do jogo.

October 26, 2026 Iniciar leitura

O problema da parada: a pergunta que nenhuma máquina responde

Em 1928, o alemão David Hilbert propôs um desafio que chamou de Entscheidungsproblem, o “problema da decisão”: encontrar um procedimento mecânico que, recebendo qualquer afirmação matemática escrita na linguagem da lógica, respondesse em tempo finito se ela é verdadeira ou falsa. Se existisse, a matemática viraria uma linha de montagem: bastaria escrever a pergunta e girar a manivela. Hilbert acreditava que a resposta era sim. Oito anos depois, Turing e o americano Alonzo Church mostraram, cada um por um caminho, que é não.

October 18, 2026 Iniciar leitura