História Da Matemática

Máximos e mínimos: o retângulo de maior área

Você tem 24 metros de cerca e quer cercar um terreno retangular com a maior área possível. Que medidas escolher? Um retângulo comprido e fino desperdiça cerca; um quadrado parece melhor. Mas como provar? Fermat inventou um método para responder perguntas assim por volta de 1636, mais de trinta anos antes de Newton e quase cinquenta antes de Leibniz publicar o cálculo. O problema de Fermat O primeiro exemplo de Fermat era exatamente esse: dividir um segmento de comprimento $b$ em duas partes, $x$ e $b-x$, de modo que o produto $x(b-x)$ seja o maior possível. É o nosso terreno: com 24 m de cerca, a soma de dois lados vizinhos é $12$, e a área é

October 7, 2026 Iniciar leitura

A regra do produto: duas mudanças na mesma conta

Se você sabe como $u$ muda e como $v$ muda, como muda o produto $uv$? O palpite natural é multiplicar as mudanças: $d(uv)=du\cdot dv$. Parece tão simétrico, tão elegante… Leibniz teve o mesmo palpite. Leibniz testa e erra No mesmo manuscrito de 11 de novembro de 1675 em que começou a usar a letra $d$, Leibniz se perguntou se $d(xy)$ seria igual a $dx\,dy$, e se $d\!\left(\frac xy\right)$ seria igual a $\dfrac{dx}{dy}$. Em vez de confiar na elegância, testou com um exemplo e descobriu que não. Dias depois, encontrou a regra certa.

October 6, 2026 Iniciar leitura

fluxions: como medir uma mudança instantânea

Um carro sai de São Paulo e chega a Campinas, a 90 km, em uma hora. A velocidade média foi 90 km/h. Mas o velocímetro, a cada instante, mostrava outro número. O que exatamente ele mede? Velocidade é distância dividida por tempo, mas num instante não se percorre distância nenhuma e não passa tempo nenhum. Dividir zero por zero não dá resposta. Essa era a pergunta que Newton queria responder em 1665. A resposta dele foi o método das fluxions.

October 6, 2026 Iniciar leitura

O polígono de 17 lados

Desde os gregos se sabia construir com régua e compasso os polígonos regulares de 3, 4, 5 e 15 lados, e todos os que saem deles dobrando o número de lados (6, 8, 10, 12…). Por 2000 anos, ninguém achou outro. Gauss mostrou que construir o polígono de $n$ lados é o mesmo que calcular $\cos\frac{2\pi}{n}$ usando só números inteiros, as quatro operações e raízes quadradas. E régua e compasso sabem tirar raiz quadrada: é exatamente a construção que vimos no capítulo de Descartes. Para 17 lados, ele chegou a

October 1, 2026 Iniciar leitura

Raiz quadrada com régua e compasso

A Geometria começa mostrando que as operações da aritmética podem ser feitas com segmentos. A mais bonita é a raiz quadrada. Para achar $\sqrt{a}$: Desenhe numa reta um segmento $AB$ de comprimento 1 e, em seguida, um segmento $BC$ de comprimento $a$. Trace uma semicircunferência com diâmetro $AC$. Levante por $B$ uma perpendicular até encontrar a semicircunferência no ponto $D$. Então $BD = \sqrt{a}$. Mude o valor de a: a altura BD é sempre √a. Para a = 4, 9 ou 2,25 a raiz é exata. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

September 30, 2026 Iniciar leitura

O problema de Basileia

Em 1650, Pietro Mengoli perguntou quanto vale a soma dos inversos dos quadrados: $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$ Os Bernoulli tentaram e não conseguiram. A soma cresce devagar: com 10 termos dá $1{,}5498$, com 100 termos dá $1{,}6350$, com 1000 termos dá $1{,}6439$. Ninguém reconhecia o número para onde ela caminhava. Veja na figura: cada barra é a soma até $N$ termos.

September 29, 2026 Iniciar leitura

As superfícies de Riemann

A tese de doutorado de Riemann, de 1851, tem um título modesto: Fundamentos de uma teoria geral das funções de uma variável complexa. Dentro dela estão duas ideias que mudaram a matemática: as condições que uma função complexa precisa cumprir para ter derivada e uma maneira geométrica de lidar com funções que têm vários valores. Funções que se podem derivar Uma função complexa $f(z)$, com $z = x + iy$, pode ser escrita como $f = u + iv$, em que $u$ e $v$ são funções reais de $x$ e $y$. Para que $f$ tenha derivada no sentido complexo, isto é, para que o limite $\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$ seja o mesmo qualquer que seja a direção em que $h$ vai a zero, as partes $u$ e $v$ precisam satisfazer as equações de Cauchy–Riemann:

October 31, 2026 Iniciar leitura

Limites e continuidade

No século XVIII o cálculo era uma máquina formidável e um pouco misteriosa. Euler somava séries divergentes e tirava delas resultados certos; Lagrange tentava basear tudo nas séries de potências; os livros falavam de quantidades “infinitamente pequenas” que eram zero quando convinha e diferentes de zero quando não convinha. Funcionava, mas ninguém conseguia explicar exatamente por quê. O Curso de análise Em 1821 Cauchy publicou o Curso de análise da Escola Real Politécnica, com as lições que dava aos futuros engenheiros. No prefácio anunciava a intenção de dar à análise “todo o rigor que se exige na geometria”. Tudo começa com uma definição:

October 30, 2026 Iniciar leitura

As estrelas escuras

Um astro luminoso com a mesma densidade da Terra e um diâmetro 250 vezes maior que o do Sol não deixaria, por causa da sua atração, nenhum dos seus raios chegar até nós. É possível, portanto, que os maiores corpos luminosos do universo sejam, por isso mesmo, invisíveis. — Pierre-Simon Laplace, Exposição do sistema do mundo (1796) Estas frases estão na primeira edição da Exposição do sistema do mundo. Laplace as escreveu na época em que se acreditava, como Newton, que a luz era feita de partículas. Se a luz é um enxame de corpúsculos, a gravidade deve puxá-los como puxa uma pedra. E então, se um astro for compacto o bastante, a luz que ele emite cairá de volta, como uma pedra jogada para cima.

October 30, 2026 Iniciar leitura

A medida do círculo e o número π

Que todo círculo tem a mesma razão entre a circunferência e o diâmetro já se sabia antes de Arquimedes. O valor dessa razão, que hoje chamamos de $\pi$, é que era incerto: os babilônios usavam às vezes $3\frac{1}{8}$, os egípcios algo próximo de $3{,}16$. No pequeno tratado A medida do círculo, Arquimedes fez duas coisas: relacionou a área do círculo com a circunferência e mostrou como calcular $\pi$ com a precisão que se quiser.

October 29, 2026 Iniciar leitura

Máximos, mínimos e pontos de inflexão

O segundo livro das Instituzioni analitiche é dedicado ao cálculo diferencial, e uma das suas aplicações principais é a que todo estudante aprende: encontrar máximos e mínimos. Agnesi ensina o método com dezenas de exemplos, de curvas e de problemas geométricos, sempre na mesma sequência: escrever a quantidade, diferenciar, igualar a diferencial a zero e conferir. O ponto mais alto Num ponto de máximo ou de mínimo, a curva fica por um instante horizontal: a reta tangente tem inclinação zero. Como a inclinação da tangente é a derivada, os candidatos a máximo e mínimo são os pontos em que $y' = 0$.

October 29, 2026 Iniciar leitura

A mecânica de Hamilton

Em 1788 Lagrange tinha transformado a mecânica de Newton num conjunto de equações que valiam em quaisquer coordenadas. Hamilton admirava esse livro, que chamou de “uma espécie de poema científico”. Em 1834 e 1835, nos dois ensaios Sobre um método geral em dinâmica, levou a ideia adiante, trazendo para a mecânica o que tinha aprendido com os raios de luz. Posição e momento Lagrange descrevia um sistema pelas posições $q$ e pelas velocidades $\dot q$. Hamilton trocou a velocidade pelo momento $p$ (para uma partícula simples, massa vezes velocidade, $p = m\dot q$) e pôs no centro de tudo uma única função, a hamiltoniana $H(q, p)$, que na maioria dos casos é a energia total: cinética mais potencial,

October 27, 2026 Iniciar leitura