História Da Matemática

A mecânica quântica num espaço de Hilbert

Em 1925 e 1926 nasceram, quase ao mesmo tempo, duas versões da mecânica quântica. A de Werner Heisenberg usava matrizes infinitas; a de Erwin Schrödinger, uma equação de ondas. As duas davam os mesmos resultados nos experimentos, mas pareciam falar de coisas diferentes, e os físicos usavam truques que os matemáticos achavam inaceitáveis, como a “função” delta de Dirac. Em Göttingen, trabalhando com Hilbert, von Neumann mostrou que as duas eram a mesma teoria escrita em coordenadas diferentes, e reescreveu tudo numa linguagem só. O livro Fundamentos matemáticos da mecânica quântica, de 1932, é até hoje a referência para quem quer a teoria com todo o rigor.

October 26, 2026 Iniciar leitura

Números computáveis: quase todo número é impossível de calcular

O título do artigo de 1936 não fala de máquinas. Fala de números: “Sobre os números computáveis”. Turing os definiu assim: um número real é computável quando existe uma máquina que escreve, um depois do outro, todos os seus algarismos, sem nunca errar nenhum. Quem é computável Quase todos os números que aparecem na escola são computáveis. Frações: $\frac17=0{,}142857142857\ldots$ A máquina faz a divisão longa e repete o ciclo para sempre. Raízes: $\sqrt2=1{,}41421356\ldots$ Para achar o próximo algarismo, a máquina testa de 0 a 9 qual é o maior que, acrescentado, ainda dá um número cujo quadrado não passa de 2. $\pi$ e $e$: há séries que os aproximam tanto quanto se queira, como $e=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$, e com elas uma máquina produz qualquer algarismo, mais cedo ou mais tarde. Parece que todo número “de verdade” é computável. E aqui vem a surpresa: quase nenhum é.

October 18, 2026 Iniciar leitura

Briggs e os logaritmos de base 10

Estes números foram inventados primeiro pelo ilustríssimo John Napier, barão de Merchiston; foram depois alterados, segundo a opinião do próprio, por Henry Briggs. — Página de rosto da Arithmetica logarithmica de Henry Briggs (1624) Henry Briggs era professor de geometria no Gresham College, em Londres, e um dos maiores calculadores da Inglaterra. Em março de 1615 escreveu a um amigo que Napier o tinha deixado ocupado “com a cabeça e com as mãos” com os seus novos logaritmos, e que esperava conhecê-lo naquele verão. Conheceu. Na conversa em Merchiston, os dois concordaram que as tábuas ficariam muito mais práticas com duas mudanças: o logaritmo de 1 seria 0, e o de 10 seria 1.

October 17, 2026 Iniciar leitura

Quando uma equação se resolve por radicais

Com a ideia de grupo de uma equação, Galois respondeu à pergunta que tinha ficado aberta depois de Abel: quais equações se resolvem por radicais? A resposta não depende de nenhum truque. Depende só da forma do grupo. Cada raiz corta o grupo Resolver uma equação por radicais é ir acrescentando raízes, uma de cada vez, aos números que já se conhecem. No começo, conhecemos só os números racionais, e o grupo da equação é inteiro. Cada vez que acrescentamos uma raiz, como $\sqrt3$ ou $\sqrt[3]{5}$, aparecem novas relações verdadeiras, e menos permutações as respeitam. O grupo encolhe. Quando o grupo vira só a identidade, todas as raízes da equação estão escritas com os números conhecidos: a equação está resolvida.

October 16, 2026 Iniciar leitura

Inverter a integral: as funções elípticas

Comece por uma função conhecida, vista de um jeito estranho. A integral $$\arcsin x=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$dá o comprimento de um arco de círculo de raio 1, medido a partir do ponto mais baixo, em função da altura $x$. É uma função complicada. Mas a sua inversa, que dá a altura em função do arco, é o seno, a função mais simples da trigonometria. E o seno tem uma propriedade que a integral esconde: é periódico. Como um quarto de volta mede

October 16, 2026 Iniciar leitura

Estratégias mistas: o pênalti e o par ou ímpar

Todo jogo finito tem um ponto de equilíbrio. — John Nash, Non-Cooperative Games, tese de doutorado (1950) Alguns jogos não têm equilíbrio nenhum se cada jogador escolher uma jogada fixa. O mais simples é o par ou ímpar. Ana escolhe “par”, Bruno escolhe “ímpar”, e cada um mostra um ou dois dedos. Se a soma for par, Ana ganha um ponto; se for ímpar, ganha Bruno. Reduzindo cada escolha a “um” ou “dois” dedos, os ganhos são:

October 15, 2026 Iniciar leitura

As velocidades das moléculas: a distribuição de Maxwell

Ocupei-me ultimamente de algumas questões sobre o movimento e as colisões de esferas perfeitamente elásticas, como exercício de mecânica. — James Clerk Maxwell, carta a George Stokes (30 de maio de 1859) Num litro de ar há cerca de $2{,}5\times10^{22}$ moléculas, todas se movendo e se chocando bilhões de vezes por segundo. Seguir cada uma é impossível. Em 1859, Maxwell teve uma ideia que mudou a física: não perguntar o que faz cada molécula, mas que fração delas tem cada velocidade. Era a primeira vez que se usavam probabilidades numa lei da física. Ele apresentou o resultado num congresso em Aberdeen, em 1859, e o publicou em 1860.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os pontos de Lagrange: onde a gravidade se equilibra

Em 25 de dezembro de 2021, um foguete partiu da Guiana Francesa levando o telescópio espacial James Webb. Ele não foi colocado em órbita da Terra, como o Hubble. Viajou um mês até um ponto vazio do espaço, a 1,5 milhão de quilômetros daqui, sempre do lado oposto ao Sol, e ficou lá. O endereço desse ponto sai de um trabalho premiado de Lagrange, de 1772. Chama-se L2. Três corpos Newton resolveu por completo o movimento de dois corpos que se atraem, como o Sol e um planeta: cada um descreve uma elipse. Com três corpos, por exemplo o Sol, a Terra e a Lua, tudo se complica. Cada corpo puxa os outros dois, e o movimento pode ficar caótico. Os matemáticos do século XVIII sabiam que não ia ser fácil, e a Academia de Paris pôs o problema várias vezes como tema de prêmio.

October 13, 2026 Iniciar leitura

A braquistócrona: o desafio de 1696

Dados dois pontos A e B num plano vertical, encontrar a curva AMB pela qual um corpo móvel M, descendo pelo próprio peso, vai de A a B no menor tempo possível. — Johann Bernoulli, Acta Eruditorum (junho de 1696) Em junho de 1696, nas Acta Eruditorum, Johann Bernoulli desafiou “os matemáticos mais perspicazes do mundo inteiro”. A pergunta parece de parque de diversões: qual é o formato do escorregador mais rápido entre dois pontos? O nome do problema vem do grego: brachistos, o mais curto, e chronos, tempo. Braquistócrona, a curva do menor tempo.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Os primos de Sophie Germain e a criptografia

Um número primo $p$ é um primo de Sophie Germain quando $2p+1$ também é primo. O $5$ é, porque $11$ é primo. O $7$ não é, porque $15=3\cdot5$. A lista começa assim: $$2,\ 3,\ 5,\ 11,\ 23,\ 29,\ 41,\ 53,\ 83,\ 89,\ 113,\ 131,\ldots$$O primo $2p+1$ que acompanha cada um é chamado de primo seguro: $5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, \ldots$ Sophie Germain precisou deles para o seu teorema sobre Fermat. Dois séculos depois, eles protegem as conexões da internet.

October 12, 2026 Iniciar leitura

O teorema de Pitágoras à moda de Euclides

Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que subtende o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto. — Euclides, Elementos, Proposição I.47 Muito antes dos gregos, os agrimensores do Egito, que remarcavam os campos depois de cada cheia do Nilo, eram chamados de esticadores de corda. Conta-se que usavam uma corda com 12 nós igualmente espaçados: esticada num triângulo de lados 3, 4 e 5, ela dava um ângulo reto. Os babilônios conheciam muito mais: uma tabuleta de barro de cerca de 1800 a.C., a Plimpton 322, traz uma lista de triângulos retângulos com lados inteiros, alguns enormes, como 3 367, 3 456 e 4 825.

October 12, 2026 Iniciar leitura

A relatividade especial: um relógio feito de luz

Se eu perseguir um raio de luz com a velocidade c, a velocidade da luz no vácuo, deveria ver esse raio como um campo eletromagnético em repouso, oscilando no espaço. Mas parece que tal coisa não existe. — Albert Einstein, Notas autobiográficas (1949) Aos 16 anos, no colégio de Aarau, Einstein se fez uma pergunta: o que eu veria se corresse ao lado de um raio de luz, na mesma velocidade? Segundo a física de Newton, a luz pareceria parada, como um carro ao lado do nosso na estrada. Mas as equações de Maxwell não admitem luz parada: para elas, a luz sempre anda a $c\approx300\,000$ km/s. Alguém estava errado. Einstein levou dez anos para descobrir quem.

October 11, 2026 Iniciar leitura