Três quocientes, três domínios As funções recíprocas ampliam a família circular: $$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\qquad \sec x=\frac1{\cos x},\qquad\csc x=\frac1{\sin x}.$$ Função Pontos excluídos Imagem Período fundamental $\cot x$ $x=k\pi$ $\mathbb R$ $\pi$ $\sec x$ $x=\pi/2+k\pi$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $2\pi$ $\csc x$ $x=k\pi$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $2\pi$ Em toda a tabela, $k\in\mathbb Z$. A cotangente não é definida por $1/\tan x$ em todo o seu domínio: em $x=\pi/2$, a cotangente vale 0, enquanto a tangente não existe. A identidade $\cot x=1/\tan x$ exige que ambas as expressões existam.
Comparar as coordenadas No primeiro quadrante, a reta do raio que passa por $P=(\cos x,\sin x)$ tem inclinação igual a altura dividida pelo deslocamento horizontal. Estendemos essa razão a todos os ângulos em que o denominador não é zero: $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$Logo: $$\operatorname{Dom}(\tan)=\mathbb R\setminus \left\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb Z\right\}.$$A imagem é $\mathbb R$. A tangente é positiva nos quadrantes I e III e negativa nos quadrantes II e IV. Seus zeros são $x=k\pi$.
A largura com sinal Para $P=(u,v)$ no ciclo, definimos $\cos x=u$. O cosseno é positivo no semicírculo direito e negativo no esquerdo. Seu domínio é $\mathbb R$ e sua imagem é $[-1,1]$. Os pontos dos eixos fornecem: $x$ $0$ $\pi/2$ $\pi$ $3\pi/2$ $2\pi$ $\cos x$ $1$ $0$ $-1$ $0$ $1$ Os zeros são $x=\pi/2+k\pi$. Os máximos ocorrem em $x=2k\pi$ e os mínimos em $x=\pi+2k\pi$, com $k\in\mathbb Z$. Demonstração da paridade e do período Os pontos de $x$ e $-x$ são reflexos no eixo horizontal. Sua coordenada horizontal é igual:
A altura do ponto Se a imagem do real $x$ no ciclo é $P=(u,v)$, definimos $\sin x=v$. O seno é a coordenada vertical, com sinal, e não a distância sem sinal até o eixo horizontal. Qualquer real possui imagem no ciclo. A altura varia de $-1$ a 1, incluindo os extremos. Portanto: $$\operatorname{Dom}(\sin)=\mathbb R,\qquad\operatorname{Im}(\sin)=[-1,1].$$Em cada volta, o seno é positivo no semicírculo superior e negativo no inferior. Seus zeros são $x=k\pi$, para $k\in\mathbb Z$.
Do movimento para uma função Uma função associa a cada entrada do domínio uma única saída. Ao fazer um ponto percorrer o ciclo trigonométrico, podemos observar sua altura, sua posição horizontal ou outras grandezas construídas geometricamente. Cada escolha produz uma função circular. A entrada será, em geral, um número real que representa o giro em radianos. Mesmo que duas entradas diferentes levem ao mesmo ponto, cada uma tem uma única imagem pela função. Uma função pode repetir saídas.
Comparar um arco com seu raio Se um arco tem comprimento $s$ em uma circunferência de raio $R>0$, sua medida em radianos é: $$\theta=\frac{s}{R}.$$Um radiano é o ângulo central que recorta um arco tão comprido quanto o raio. Como o comprimento de uma circunferência é $2\pi R$, uma volta mede $2\pi$ radianos. Segue que: $$360°=2\pi\text{ rad},\qquad180°=\pi\text{ rad}.$$As conversões são $\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{graus}}\pi/180$ e $\theta_{\mathrm{graus}}=\theta_{\mathrm{rad}}180/\pi$. Por exemplo, $75°=5\pi/12$ rad. Demonstrar a fórmula do comprimento Um arco de $\alpha$ graus ocupa a fração $\alpha/360$ da volta. Seu comprimento é: