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Inequações de seno, cosseno e tangente

Escolher arcos, não apenas pontos Uma equação como $\sin x=m$ marca pontos de encontro com uma reta horizontal. A inequação $\sin x>m$ escolhe os arcos acima dessa reta; $\sin x

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Arco seno, arco cosseno e arco tangente

Por que é preciso restringir? Uma inversa precisa recuperar uma única entrada a partir da saída. Seno, cosseno e tangente repetem valores. Para definir inversas, escolhemos intervalos em que cada função seja injetora e atinja toda sua imagem desejada. Função restrita Domínio escolhido Imagem Seno $[-\pi/2,\pi/2]$ $[-1,1]$ Cosseno $[0,\pi]$ $[-1,1]$ Tangente $(-\pi/2,\pi/2)$ $\mathbb R$ Nesses intervalos, seno e tangente são estritamente crescentes, e cosseno é estritamente decrescente. Cada saída aparece uma única vez; portanto, as inversas ficam bem definidas.

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Intervalos e equações trigonométricas clássicas

Filtrar uma família Para resolver $\sin x=1/2$ em $[0,4\pi)$, primeiro obtenha as famílias $x=\pi/6+2k\pi$ e $x=5\pi/6+2k\pi$. Depois imponha os limites do intervalo. As soluções são: $$\frac\pi6,\quad\frac{5\pi}6,\quad\frac{13\pi}6,\quad\frac{17\pi}6.$$O sinal de inclusão das extremidades importa. Depois de elevar ao quadrado ou multiplicar por uma expressão variável, substitua as respostas na equação inicial. Uma combinação de seno e cosseno Para resolver $a\sin x+b\cos x=c$, com $(a,b)\ne(0,0)$, defina $R=\sqrt{a^2+b^2}$ e escolha $\varphi$ com: $$\cos\varphi=\frac aR,\qquad\sin\varphi=\frac bR.$$Isso é possível porque os quadrados desses dois números somam 1. Pela fórmula da adição:

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Equações fundamentais de seno, cosseno e tangente

A equação procura entradas Uma equação trigonométrica pede os valores da variável que tornam uma igualdade verdadeira. Antes de transformar a expressão, determine seu domínio. Divisões por funções que podem ser zero podem eliminar soluções. Para $\sin x=m$ ou $\cos x=m$, é necessário $-1\le m\le1$. Para a tangente, qualquer $m$ real é possível, mas as entradas onde $\cos x=0$ permanecem proibidas. Demonstração das famílias do seno Uma reta horizontal corta o ciclo em no máximo dois pontos. Se um deles corresponde a $\alpha$, o outro corresponde a $\pi-\alpha$. Como voltas completas repetem o ponto:

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Transformar somas em produtos e produtos em somas

Somar duas fórmulas conhecidas Escreva as fórmulas de $\sin(a+b)$ e $\sin(a-b)$. Somando-as, os termos com $\cos a\sin b$ se cancelam: $$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b.$$Faça agora $u=a+b$ e $v=a-b$. Então $a=(u+v)/2$ e $b=(u-v)/2$. Isso produz a primeira identidade abaixo; os outros casos vêm da soma ou subtração das fórmulas de seno e cosseno: $$\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$ $$\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2},$$ $$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$ $$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}.$$Essas identidades valem para todos os reais $u,v$. No último caso, o sinal negativo é essencial.

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Fórmulas de divisão e tangente do arco metade

Isolar os quadrados Partimos das identidades $\cos2u=1-2\sin^2u$ e $\cos2u=2\cos^2u-1$. Fazendo $u=x/2$ e isolando: $$\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2},\qquad \cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}{2}.$$Consequentemente: $$\sin\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\qquad \cos\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$Os sinais não são uma escolha livre: são determinados pelo quadrante da imagem de $x/2$. Se $0

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Seno, cosseno e tangente do arco duplo e triplo

Uma fórmula de adição aplicada a si mesma Substitua $b=a$ nas fórmulas de adição: $$\sin2a=2\sin a\cos a,$$ $$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a.$$A identidade fundamental permite duas outras formas para o cosseno: $$\cos2a=1-2\sin^2a=2\cos^2a-1.$$A escolha depende do dado disponível. Se conhecemos apenas o seno, a primeira expressão alternativa evita calcular o cosseno e escolher seu sinal. Se as tangentes existem: $$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}.$$A forma com $\tan a$ exige $\cos a\ne0$ e $1-\tan^2a\ne0$; não cobre todos os casos em que $\tan2a$ existe.

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Fórmulas de adição e subtração de arcos

Girar um vetor Considere os vetores unitários horizontal e vertical. Depois de um giro de $a$, eles passam a apontar, respectivamente, para $(\cos a,\sin a)$ e $(-\sin a,\cos a)$. O segundo é perpendicular ao primeiro, no sentido positivo. O ponto correspondente a $b$ é a soma de $\cos b$ vezes o vetor horizontal com $\sin b$ vezes o vertical. A rotação conserva essa decomposição. Depois de girar $a$: $$\begin{aligned} (\cos(a+b),\sin(a+b)) &=\cos b(\cos a,\sin a)\\ &\quad+\sin b(-\sin a,\cos a). \end{aligned}$$Demonstrar e reunir as fórmulas Comparando as coordenadas, obtemos as fórmulas da soma. Substituir $b$ por $-b$ e usar a paridade dá as da diferença:

October 20, 2026 Iniciar leitura
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Complementos, identidades de redução e paridade

Reduzir ainda mais a tabela Em um triângulo retângulo, os ângulos agudos são complementares. O cateto oposto a um é o adjacente ao outro. Assim: $$\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x,\qquad \cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin x.$$Para $\pi/4\le x\le\pi/2$, o complemento $\pi/2-x$ pertence a $[0,\pi/4]$. Desse modo, valores na segunda metade do primeiro quadrante podem ser calculados a partir dos da primeira metade, trocando seno por cosseno. Também: $$\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\cot x,$$ $$\sec\left(\frac\pi2-x\right)=\csc x,$$nos respectivos domínios. A interpretação geométrica pela troca dos catetos demonstra as relações para ângulos agudos; a leitura das coordenadas do ciclo estende as identidades aos demais valores permitidos.

October 20, 2026 Iniciar leitura
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Redução do segundo, terceiro e quarto quadrantes

Um ponto e seus reflexos Escolha $0<\alpha<\pi/2$, cuja imagem é $(\cos\alpha,\sin\alpha)$. Uma reflexão no eixo vertical troca o sinal da primeira coordenada; uma reflexão no eixo horizontal troca o da segunda; a simetria em relação à origem troca ambos. Essas três operações geram os pontos de $\pi-\alpha$, $\pi+\alpha$ e $2\pi-\alpha$. Logo: Ângulo Seno Cosseno Tangente $\pi-\alpha$ $\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $-\tan\alpha$ $\pi+\alpha$ $-\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $\tan\alpha$ $2\pi-\alpha$ $-\sin\alpha$ $\cos\alpha$ $-\tan\alpha$ Demonstração para o segundo quadrante O reflexo de $P=(u,v)$ no eixo vertical é $P'=(-u,v)$. A altura permanece a mesma, mas a posição horizontal fica negativa. Como $P'$ corresponde ao ângulo $\pi-\alpha$:

October 20, 2026 Iniciar leitura
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Identidades e três caminhos de demonstração

Uma igualdade entre funções Uma identidade trigonométrica é uma igualdade válida para todas as entradas de um domínio declarado. É preciso conferir tanto os valores quanto os pontos em que as expressões existem. Por exemplo, $\sec^2x-\tan^2x=1$ vale quando $\cos x\ne0$. O lado direito também existe nos pontos excluídos, mas isso não amplia o domínio da expressão à esquerda. Primeiro caminho: transformar um dos membros Para demonstrar $\sin x\tan x+\cos x=\sec x$, com $\cos x\ne0$, começamos pela esquerda:

October 20, 2026 Iniciar leitura
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Relações fundamentais demonstradas

Pitágoras no círculo O ponto $P=(\cos x,\sin x)$ está a uma unidade da origem. As projeções nos eixos formam um triângulo retângulo com catetos $|\cos x|$ e $|\sin x|$. Aplicando Pitágoras, obtemos: $$\sin^2x+\cos^2x=1.$$Nos eixos, a igualdade se verifica diretamente: uma coordenada é zero e a outra tem módulo 1. Portanto, a identidade vale para todo real $x$. Reunir as relações As definições e a identidade anterior fornecem: $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x},$$

October 20, 2026 Iniciar leitura