Três quocientes, três domínios

As funções recíprocas ampliam a família circular:

$$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\qquad \sec x=\frac1{\cos x},\qquad\csc x=\frac1{\sin x}.$$
Função Pontos excluídos Imagem Período fundamental
$\cot x$ $x=k\pi$ $\mathbb R$ $\pi$
$\sec x$ $x=\pi/2+k\pi$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $2\pi$
$\csc x$ $x=k\pi$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $2\pi$

Em toda a tabela, $k\in\mathbb Z$. A cotangente não é definida por $1/\tan x$ em todo o seu domínio: em $x=\pi/2$, a cotangente vale 0, enquanto a tangente não existe. A identidade $\cot x=1/\tan x$ exige que ambas as expressões existam.

Demonstrações pelas definições

Como $|\cos x|\le1$ e ele não é zero no domínio da secante, $|1/\cos x|\ge1$. Isso prova a restrição da imagem da secante. O mesmo argumento vale para a cossecante. Os valores permitidos são todos atingidos porque seno e cosseno percorrem $[-1,1]$.

Usando as paridades de seno e cosseno:

$$\cot(-x)=-\cot x,\quad\sec(-x)=\sec x,\quad\csc(-x)=-\csc x.$$

Cotangente e cossecante são ímpares; secante é par. Uma meia-volta preserva o quociente da cotangente, mas troca o sinal das duas recíprocas. Assim, seus períodos fundamentais são os apresentados na tabela.

Como esboçar os gráficos

A cotangente decresce de valores positivos sem limite para negativos sem limite em cada ramo $(k\pi,(k+1)\pi)$; zera em $\pi/2+k\pi$.

Para a secante, use o gráfico do cosseno: onde ele vale 1 ou $-1$, a recíproca tem o mesmo valor. Onde o cosseno se aproxima de zero, a secante cresce em módulo. Seus ramos ficam fora da faixa $-1

A cossecante é construída do mesmo modo a partir do seno. Suas assíntotas verticais são os zeros do seno; as da secante são os zeros do cosseno.

Um cálculo completo

Em $x=\pi/6$, $\sin x=1/2$ e $\cos x=\sqrt3/2$. Então:

$$\cot x=\sqrt3,\quad\sec x=\frac{2\sqrt3}{3},\quad\csc x=2.$$

No dia a dia

  • Telhados. O caibro de um telhado com inclinação $\alpha$ e meia largura $d$ mede $d\sec\alpha$.
  • Rampas. O comprimento de uma rampa que sobe $h$ com inclinação $\alpha$ é $h\operatorname{cossec}\alpha$.
  • Sombras. Uma vara de altura $h$ faz uma sombra $h\operatorname{cotg}\alpha$ quando o Sol está a uma altura $\alpha$.
Comprimento de rampa: altura vezes cossecante da inclinação.

Exercícios com resolução

1. Calcule $\cot(\pi/2)$, $\sec\pi$ e $\csc(3\pi/2)$.

Conferir resolução 1

Os valores são, respectivamente, $0$, $-1$ e $-1$.

2. A equação $\sec x=1/2$ tem solução real?

Conferir resolução 2

Não: no domínio da secante, seu módulo é pelo menos 1.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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