Comparar as coordenadas

No primeiro quadrante, a reta do raio que passa por $P=(\cos x,\sin x)$ tem inclinação igual a altura dividida pelo deslocamento horizontal. Estendemos essa razão a todos os ângulos em que o denominador não é zero:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Logo:

$$\operatorname{Dom}(\tan)=\mathbb R\setminus \left\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb Z\right\}.$$

A imagem é $\mathbb R$. A tangente é positiva nos quadrantes I e III e negativa nos quadrantes II e IV. Seus zeros são $x=k\pi$.

Demonstração do período

Após meia-volta, as duas coordenadas mudam de sinal:

$$\tan(x+\pi)=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x.$$

Assim, $\pi$ é um período. Para que um período positivo $T$ repita o valor de $\tan0=0$, ele precisa ser um múltiplo positivo de $\pi$; o menor é $\pi$. A tangente é também ímpar, porque:

$$\tan(-x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.$$

O gráfico é feito de ramos

Em cada intervalo $(-\pi/2+k\pi,\pi/2+k\pi)$, a tangente é estritamente crescente. Quando a coordenada horizontal se aproxima de zero sem que a vertical se anule, o quociente cresce em módulo sem limite.

As retas $x=\pi/2+k\pi$ são assíntotas verticais. Não são pontos do gráfico. Não há “tangente infinita” como valor real em $\pi/2$; a função simplesmente não está definida nessa entrada.

Um ramo passa por $(-\pi/4,-1)$, $(0,0)$ e $(\pi/4,1)$. Os demais se obtêm por translações de $\pi$.

Uma restrição na manipulação algébrica

A igualdade $\tan x\cos x=\sin x$ vale onde $\tan x$ existe. O produto simplificado não autoriza usar a expressão original em $x=\pi/2$, mesmo que o seno esteja definido ali.

No dia a dia

  • Inclinação em porcentagem. Uma rua com 10% de inclinação tem $\operatorname{tg}\alpha = 0{,}10$, isto é, $\alpha \approx 5{,}7^\circ$.
  • Campo de visão. Uma câmera com abertura de $90^\circ$ enxerga, a 3 m de distância, uma largura de $2 \cdot 3\operatorname{tg} 45^\circ = 6$ m.
  • Por que a tangente “explode”. Perto de $90^\circ$ a inclinação vira parede: a rampa teria de subir infinitamente para cada metro andado.
A largura que uma câmera enxerga a uma distância $d$ é $2d\operatorname{tg}\beta$.

Exercícios com resolução

1. Calcule $\tan(3\pi/4)$ e $\tan(7\pi/4)$.

Conferir resolução 1

Nos dois casos o módulo é 1 e os sinais das coordenadas são opostos. Ambos valem $-1$.

2. Qual é o período fundamental de $g(x)=\tan(3x)$?

Conferir resolução 2

$\pi/3$. Os pontos proibidos satisfazem $3x=\pi/2+k\pi$, ou $x=\pi/6+k\pi/3$.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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