Do movimento para uma função

Uma função associa a cada entrada do domínio uma única saída. Ao fazer um ponto percorrer o ciclo trigonométrico, podemos observar sua altura, sua posição horizontal ou outras grandezas construídas geometricamente. Cada escolha produz uma função circular.

A entrada será, em geral, um número real que representa o giro em radianos. Mesmo que duas entradas diferentes levem ao mesmo ponto, cada uma tem uma única imagem pela função. Uma função pode repetir saídas.

O que significa repetir?

Dizemos que $T>0$ é um período quando, para todas as entradas permitidas, o domínio e os valores se repetem por esse deslocamento:

$$f(x+T)=f(x).$$

Quando existe um menor período positivo, ele é chamado período fundamental. É preciso distinguir “um período” de “o menor período”: se $T$ é período, $2T$ e $3T$ também são.

Uma função constante admite todo $T>0$ como período e não tem menor período positivo. Isso mostra por que a existência do menor precisa ser examinada.

Demonstração da repetição no ciclo

O ponto de $x+2\pi$ coincide com o de $x$. Logo qualquer coordenada desse ponto se repete após $2\pi$. Seno e cosseno, que serão definidos nas próximas aulas, satisfazem:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad\cos(x+2\pi)=\cos x.$$

O gráfico de uma função periódica pode ser construído repetindo um trecho correspondente a um período. As extremidades desse trecho devem ser compatíveis com a definição da função; pontos em que ela não existe continuam ausentes.

Mudar a velocidade da entrada

Se $g(x)=\sin(bx+c)$ com $b\ne0$, queremos que a mudança de $x$ produza uma volta completa no argumento:

$$|b|T=2\pi\quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{|b|}.$$

Para $g(x)=a\sin(bx+c)+d$, com $a\ne0$, esse continua a ser o período fundamental. A amplitude é $|a|$ e o eixo médio é $y=d$. Se $a=0$, a função é constante e a regra do período fundamental deixa de valer.

Por exemplo, $g(x)=2\sin(3x)-1$ oscila de $-3$ a 1 e tem período $2\pi/3$.

No dia a dia

  • Coração. Com 75 batimentos por minuto, o ciclo cardíaco tem período de $\frac{60}{75} = 0{,}8$ s.
  • Tomada. A corrente alternada brasileira tem frequência de 60 Hz: período de $\frac{1}{60}$ s.
  • Estações do ano. A duração do dia e a temperatura média se repetem com período de cerca de 365,25 dias.
Coração, tomada, semáforo, Lua e semana: cada fenômeno com o seu período.

Exercícios com resolução

1. Qual é o período fundamental de $f(x)=\cos(4x)$?

Conferir resolução 1

$2\pi/4=\pi/2$.

2. A função $f(x)=5$ tem período fundamental?

Conferir resolução 2

Não. Todo número positivo é um período, e não existe menor número real positivo.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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