Euler's Eyes
2026-10-20
Função seno: definição, sinais e gráfico
A altura do ponto
Se a imagem do real $x$ no ciclo é $P=(u,v)$, definimos $\sin x=v$. O seno é a coordenada vertical, com sinal, e não a distância sem sinal até o eixo horizontal.
Qualquer real possui imagem no ciclo. A altura varia de $-1$ a 1, incluindo os extremos. Portanto:
$$\operatorname{Dom}(\sin)=\mathbb R,\qquad\operatorname{Im}(\sin)=[-1,1].$$Em cada volta, o seno é positivo no semicírculo superior e negativo no inferior. Seus zeros são $x=k\pi$, para $k\in\mathbb Z$.
Uma volta do gráfico
| $x$ | $0$ | $\pi/2$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
O seno cresce de $-1$ a 1 em cada intervalo $[-\pi/2+2k\pi,\pi/2+2k\pi]$ e decresce de 1 a $-1$ em $[\pi/2+2k\pi,3\pi/2+2k\pi]$. Esses trechos, repetidos, formam a senoide.
Demonstração de duas propriedades
A reflexão no eixo horizontal transforma a imagem de $x$ na de $-x$, mantendo a coordenada horizontal e invertendo a vertical. Assim:
$$\sin(-x)=-\sin x.$$Logo, o seno é uma função ímpar. Uma volta completa conserva o ponto, portanto $\sin(x+2\pi)=\sin x$. O menor período positivo é $2\pi$, pois a altura máxima 1 só reaparece depois de uma volta completa.
Os máximos ocorrem em $x=\pi/2+2k\pi$; os mínimos, em $x=3\pi/2+2k\pi$.
Ler uma transformação
Em $h(x)=4+3\sin x$, a linha média é 4 e a amplitude é 3. A imagem é $[1,7]$. O período continua $2\pi$, pois somar uma constante ou multiplicar a saída não muda o tempo necessário para completar o padrão.
No dia a dia
- Música. A nota lá do diapasão é uma senoide de 440 ciclos por segundo; notas mais agudas têm período menor.
- Ondas do mar. O perfil de uma onda regular, longe da praia, se aproxima de uma senoide; a amplitude é metade da distância entre a crista e o vale.
- Vibração do celular. O motorzinho que faz o celular vibrar produz um movimento de vai e vem descrito por um seno.
Exercícios com resolução
1. Calcule $\sin(7\pi/2)$.
Conferir resolução 1
Retire uma volta: $7\pi/2-2\pi=3\pi/2$. O seno é $-1$.
2. Qual é a imagem de $f(x)=2-5\sin x$?
Conferir resolução 2
Como $-1\le\sin x\le1$, temos $-5\le-5\sin x\le5$ e $-3\le f(x)\le7$. A imagem é $[-3,7]$.
No livro interativo
Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:
Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.