可以因式分解的 D：作为算子的导数

用 $D$ 表示“对 $x$ 求导”。于是 $D(x^3)=3x^2$，$D(\sin x)=\cos x$，求两次导就是 $D(D(f))$，简写为 $D^2f$。到这里为止，它只是一个缩写。有趣的事从认真对待写法的形状开始：既然 $D^2$ 看起来像平方，为什么不把 $D$ 当作一个数？

微分方程变成多项式

考虑方程

$$y''-3y'+2y=0.$$

用 $D$ 写，就是 $D^2y-3Dy+2y=0$，或者把 $y$ 提出来：

$$(D^2-3D+2)\,y=0.$$

现在走大胆的一步：把关于 $D$ 的“多项式”像关于 $r$ 的多项式那样因式分解：

$$(D-1)(D-2)\,y=0.$$

如果 $(D-1)y=0$，那么 $y'=y$，$y=e^{x}$。如果 $(D-2)y=0$，那么 $y'=2y$，$y=e^{2x}$。方程的解是这些组合：

$$y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}.$$

刚才发生的事情是：一个微分方程被中学代数解出来了。记号 $D$ 把“哪个函数满足它各阶导数之间的这个关系？”这个问题，变成了“$r^2-3r+2$ 的根是什么？”这个问题。教科书把这个多项式叫作特征方程，这个方法对任何常系数线性方程都适用。

这个技巧还能走得更远。泰勒级数说

$$\begin{aligned} f(x+h)&=f(x)+h\,f'(x)\\ &\quad+\frac{h^2}{2!}f''(x)+\frac{h^3}{3!}f'''(x)+\cdots \end{aligned}$$

用 $D$ 来写，就成了

$$\begin{aligned} f(x+h)&=\Bigl(1+hD+\frac{(hD)^2}{2!}\\ &\qquad+\frac{(hD)^3}{3!}+\cdots\Bigr)f(x). \end{aligned}$$

括号里的级数正是指数函数的级数，只是把数换成了 $hD$。所以

$$f(x+h)=e^{hD}f(x).$$

把一个函数平移 $h$，就是对它施以导数的指数。这样一句话按字面读毫无意义，作为一条能给出正确结果的操作规则来读，却完全说得通。

1844 年，乔治·布尔——就是逻辑代数的那个布尔——发表了一篇关于这种“算子演算”的获奖论文。但把这个想法推向极致的，是英国人奥利弗·亥维赛，一位自学成才的电报员。十九世纪八九十年代，他把 $D$ 当作数，对 $D$ 开平方、除以 $D$，来解海底电缆的方程，从不操心如何证明。

剑桥的数学家抱怨他不够严格。亥维赛用一句后来很有名的话回答：

难道我因为不完全理解消化的过程，就该拒绝吃饭吗？
— 据称出自奥利弗·亥维赛

结果都是对的。证明是几十年后随着拉普拉斯变换而来的：它把求导变成乘以一个数，使亥维赛凭眼力做的事变得严格。这是一个罕见而美丽的例子：记号走在了理论前面。写法暗示了计算，计算奏效了，人们后来才明白为什么。

练习：验证解

验证 $y=e^{2x}$ 满足 $y''-3y'+2y=0$。

$y'=2e^{2x}$，$y''=4e^{2x}$。于是 $4e^{2x}-3\cdot2e^{2x}+2e^{2x}=(4-6+2)e^{2x}=0$。因子 $4-6+2$ 就是多项式 $r^2-3r+2$ 在 $r=2$ 处的值。

练习：e^{hD} 作用于 x²

把级数加起来，计算 $e^{hD}x^2$。

$Dx^2=2x$，$D^2x^2=2$，$D^3x^2=0$，所以级数在第三项就停止了：$x^2+h\cdot2x+\frac{h^2}{2}\cdot2=x^2+2hx+h^2=(x+h)^2$。导数的指数确实把函数平移了。