速度–时间图看上去再自然不过。但想想它做了什么：它把时间变成水平长度，把速度变成竖直长度，而这两个量都不是长度。这是一种大胆的翻译，总得有人把它发明出来。

奥雷姆的纬度

1350 年前后，法国人尼科尔·奥雷姆——巴黎的学者，后来成为利雪主教——写了一部关于性质的构形的论著。一种性质，比如一根棒的热度或一个物体的速度，可以从一点到另一点、从一刻到另一刻变化。奥雷姆提议把它画出来：

  • 经度，一条水平线，表示广延：棒的长度或运动的持续时间；
  • 在每一点上，纬度，一条竖直线段，表示那里性质的强度。

所有纬度合起来组成一个图形，图形的形状描述了变化。

奥雷姆的三种构形：均匀的（所有纬度相等，一个矩形）、均匀变化的（纬度均匀增长，一个三角形或梯形）和非均匀变化的（其他任何变化，一条曲线）。
奥雷姆的三种构形：均匀的（所有纬度相等，一个矩形）、均匀变化的（纬度均匀增长，一个三角形或梯形）和非均匀变化的（其他任何变化，一条曲线）。为本书制作的教学示意图。

奥雷姆为三种基本形状起了名字。均匀的性质给出矩形。均匀变化的性质均匀增长，给出三角形或梯形。非均匀变化的性质以其他任何方式增长，给出顶部弯曲的图形。今天我们会说：常函数、线性函数和非线性函数。

用面积证明

奥雷姆的图不只是插图。他用它证明了牛津默顿学院的学者们几十年前提出的一条规则：一个匀加速运动的物体所走的距离，等于它以平均速度匀速运动时所走的距离。

在图中，距离就是图形的面积。从静止开始的匀加速运动是一个三角形；以平均速度的运动是一个高度减半的矩形。三角形和矩形面积相等，因为三角形高出矩形的那一块，正好等于下面缺的那一块。比伽利略得出同样的规则早了两个半世纪，这个证明就是一张图。

通向函数图像的路

人们很自然地以为，1637 年把几何化为方程的笛卡儿，画的图像和今天一样。其实不然。笛卡儿的书里没有两条标了数字的互相垂直的坐标轴，负坐标也受到怀疑。坐标这个词来自莱布尼茨，是 1692 年的事。带坐标轴、刻度和曲线的函数图像，在整个十八世纪里才慢慢确立；而像下一篇里那样的数据图表，直到 1786 年才诞生。

第2章借雷蒙·杜瓦尔说明，从公式到图像是表征域之间的一次转换，许多学生会算却不会画。奥雷姆的故事提醒我们，这种转换并不是天生的：它花了几个世纪才被发明出来。

练习：平均速度定理

一辆车从静止开始，在 $4$ 秒内匀加速到 $10$ m/s。它走了多远？

在奥雷姆的图中，这是一个底为 $4$、高为 $10$ 的三角形：面积 $\frac{4\cdot10}{2}=20$ 米。平均速度是 $5$ m/s，$5\cdot4=20$ 米：平均速度的矩形面积相同。

练习：一个梯形

速度在 $3$ 秒内从 $2$ m/s 均匀增加到 $8$ m/s。走了多远？

图形是上下底分别为 $2$ 和 $8$、高为 $3$ 的梯形：面积 $\frac{(2+8)\cdot3}{2}=15$ 米。这与平均速度 $5$ m/s 乘以 $3$ 秒相同。

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