Euler's Eyes
2026-10-19
欧拉圆与维恩图
1760 年至 1762 年间，莱昂哈德·欧拉给一位年轻的德国公主——普鲁士国王的侄女——写了两百多封信，教她物理、天文和哲学。这些信从 1768 年起以《致一位德国公主的信》为题出版，成为那个世纪读者最多的科普书之一。在其中几封信里，为了解释逻辑推理，欧拉画了圆。
三句话，三张图
想法是：每个概念占据一个区域，逻辑语句就变成位置关系：
- “所有 A 都是 B”：圆 $A$ 在圆 $B$ 里面。
- “没有 A 是 B”：两个圆分开。
- “有些 A 是 B”：两个圆相交，公共部分里有东西。
现在看看三段论会怎样。“所有 A 都是 B。所有 B 都是 C。”把第一个圆画在第二个圆里，第二个圆画在第三个圆里。不需要再做任何事：结论**“所有 A 都是 C”**已经在图里了，因为 $A$ 已经落在 $C$ 里面，而没有人特意把它放进去。图免费完成了推理。
关系的图像符号
第2章讲过的哲学家查尔斯·桑德斯·皮尔斯解释了这为什么行得通。一个圆既不像猫的集合，也不像哺乳动物的集合。但圆与圆之间的关系——一个在另一个里面——却像集合之间的关系。这是一种关系的图像符号：图复制的是结构，而不是事物。皮尔斯甚至说，一切演绎推理归根结底都是对一张图的观察，这张图或画在纸上，或画在想象里。
欧拉的问题与维恩的解决
欧拉圆有一个缺点：它迫使人在知道之前就决定位置。如果唯一的信息是“有些 A 是 B”，两个圆就得相交；但也许 $A$ 整个都在 $B$ 里面，而图没有办法说“也许”。
1880 年，英国逻辑学家约翰·维恩提出了另一种方法。不只画已知的关系，而是画出所有可能的区域，让圆总是相交，再把信息标上去：
- 涂上阴影的区域是空的；
- 画了 x 的区域至少有一个元素。
两个集合有四个区域：只属于 $A$、只属于 $B$、同属 $A$ 和 $B$、两者都不属于。三个集合有八个区域。$n$ 个集合有 $2^n$ 个。“所有 A 都是 B”变成“$A$ 在 $B$ 之外的部分是空的”，就把这一部分涂上阴影。问题不再是“圆放在哪里？”，而是“擦掉哪些区域？”。
练习：给句子涂阴影
在有两个集合 $A$ 和 $B$ 的维恩图中，“没有 A 是 B”要涂哪些区域？“所有 A 都是 B”和“所有 B 都是 A”同时成立呢？
对“没有 A 是 B”，涂公共部分 $A\cap B$。两句同时成立时，涂“$A$ 在 $B$ 之外”和“$B$ 在 $A$ 之外”：只剩下公共部分和外面。图说明 $A$ 和 $B$ 是同一个集合。
练习：一个不成立的三段论
“所有 A 都是 B。所有 C 都是 B。所以所有 A 都是 C。”用欧拉圆画出来，判断它是否成立。
把 $A$ 和 $C$ 都放进 $B$ 里。它们可以在 $B$ 里彼此分开，题目里没有任何东西阻止这一点。所以结论不成立：所有猫都是哺乳动物，所有狗都是哺乳动物，而没有一只猫是狗。只要试着画出来，图就会给出一个反例。