Hero Image
変分法：十九歳の青年の手紙

ニュートンとライプニッツの微積分は、曲線のいちばん高い点を見つけることができます。導関数がゼロになるところです。けれども、別の種類の問いもあります。二点を結ぶいちばん短い道は何か。玉がいちばん速くすべり下りるのは、どんな形のすべり台か。ぶら下がった鎖はどんな曲線になるか。こうした問いでは、答えは数ではなく、無数にありうる曲線のなかから選ばれる、曲線まるごとです。 最速降下線 1696 年、ヨハン・ベルヌーイはヨーロッパの数学者たちに挑戦状を出しました。二点 $A$ と $B$ があり、$B$ は $A$ より低いけれども真下ではない。玉が摩擦なしに自分の重さだけですべるとき、$A$ から $B$ へいちばん短い時間で行けるのはどの曲線か。この問題の名前はギリシア語の brachistos（もっとも短い）と chronos（時間）からきています。 直線はいちばん短い道ですが、いちばん速い道ではありません。道が長くなっても、はじめに急に下って早くスピードを得たほうが得なのです。挑戦に答えたのは、ヨハン、その兄ヤコブ、ライプニッツ、ロピタル、そしてだれもがニュートンだと見抜いた匿名の筆者でした。答えはサイクロイド、転がる車輪の一点が描く曲線です。 どの解き方も、それぞれちがう巧妙なわざでした。たとえばヨハンは、玉を、だんだん密度の小さくなるガラスの層を通りぬける光線と考え、屈折の法則を使いました。足りないのは一般的な方法でした。 オイラーの方法 オイラーは何年もその方法を探し、1744 年に『極大または極小の性質をもつ曲線を見いだす方法』という本で発表しました。考え方は幾何学的でした。曲線を辺の多い多角形に置きかえ、頂点を一つだけ動かして、最適にしたい量への影響を見るのです。うまくいきましたが、計算は長く、問題ごとに専用の図が必要でした。 1755 年の手紙 1755 年 8 月 12 日、オイラーのもとに、トリノの無名の 19 歳から手紙が届きました。ラグランジュは別のやり方を提案していました。頂点を一つ動かすかわりに、曲線全体を一度に変化させるのです。$y(x)$ が求める曲線なら、彼はとなりの曲線 $$y(x)+\delta y(x)$$を考えました。ここで $\delta y$ は小さなずれで、端点 $A$ と $B$ は固定されているので両端ではゼロです。ギリシア文字の d である $\delta$ が新しい記号でした。ライプニッツの $d$ が変数の変化を表すように、$\delta$ は関数の変化を表します。 こうした問いの多くは、積分 $$J=\int_a^b F(x,y,y')\,dx$$をできるだけ小さく、あるいは大きくすることを求めます。$F$ は点の位置、曲線の高さ、その傾きによって決まります。たとえば曲線の長さは $$J=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx$$です。 方程式 ラグランジュの計算は三つのステップにおさまります。第一に、積分の変化は、$y$ と $y'$ の変化がそれぞれ引き起こす変化の和です。 $$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}\,\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\,\delta y'\right)dx.$$第二に、$\delta y'$ は $\delta y$ の導関数なので、部分積分で微分をもう一方の因子に移せます。$\delta y$ は両端でゼロなので、境界の項は消えます。

October 13, 2026 読んだ
Hero Image
懸垂線：つるされた鎖

Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum.（しなやかな線が垂れ下がるように、硬いアーチは逆さにして立つ。） — ロバート・フック、1705 年に解読されたアナグラム 細い鎖の両端を持って、垂れ下がるままにしてみましょう。放物線のように見える美しい曲線ができます。1638 年、ガリレオはそれがほんとうに、少なくとも近似的には放物線だと考えました。オランダのクリスティアーン・ホイヘンスは 17 歳のとき、そうではありえないことを示しました。けれども、それがどんな曲線なのかはだれにもわかりませんでした。 1690 年 5 月、ヤコブ・ベルヌーイは『学術紀要』でこの問いを読者への挑戦として出しました。彼自身は一年かけても解けませんでした。1691 年 6 月、三つの正しい解が発表されます。ライプニッツ、当時 62 歳のホイヘンス、そしてヤコブのいちばん下の弟、24 歳のヨハンです。ヨハンはこのことをだれにも忘れさせませんでした。 兄の努力は実を結びませんでした。私のほうはもっと幸運で、それを完全に解く腕前を見つけたのです。自慢するわけではありませんが、なぜ真実を隠す必要がありましょう。たしかに、その研究のために私はひと晩じゅう休むことができませんでした。 — ヨハン・ベルヌーイ、ピエール・レモン・ド・モンモール宛の手紙（1718） 鎖の一部を見る こつは、鎖全体ではなくその一部を見ることです。最低点を原点とし、$y$ を上向きにとって、その点から右にある点 $P$ までの部分を考えます。 この部分は静止しているので、はたらく力はつりあっています。力は三つです。 最低点では、鎖が水平に左向きの力 $H$ で引く。 $P$ では、鎖が接線方向に力 $T$ で引く。 この部分の重さ $w\,s$。$w$ は 1 メートルあたりの重さ、$s$ はこの部分の長さ。 水平方向では $T$ の水平成分が $H$ とつりあい、鉛直方向では $T$ の鉛直成分が重さとつりあいます。$T$ は接線方向を向いているので、二つの成分の比が傾き $y'$ です。 $$y'=\frac{\text{鉛直}}{\text{水平}}=\frac{w\,s}{H}=\frac sa,\qquad a=\frac Hw.$$数 $a$ は長さの次元をもち、鎖がどれだけ張っているかを表します。 鎖の方程式 ここで $x$ で微分します。曲線の小さな一片にピタゴラスの定理を使うと、長さの増え方は $\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+y'^2}$ です。したがって

October 13, 2026 読んだ
Hero Image
ムッシュー・ルブランの手紙：余りの算術

1804 年にソフィー・ジェルマンがガウスに手紙を書いたとき、二人は生まれたばかりのことばで話していました。その三年前、『整数論』のなかでガウスは新しい記号 $\equiv$ と、整数についての新しい考え方を導入していました。数が何であるかではなく、わり算でどんな余りを残すかで考えるのです。ソフィーがのちにフェルマーについて書いたことは、すべてこのことばで書かれています。学んでおく価値があります。 時計の算術 今 9 時なら、5 時間後は何時でしょうか。針のある時計で 14 と答える人はいません。2 と答えます。時計は 12 でわった余りだけをおぼえているのです。ガウスはこれを $$14\equiv2\pmod{12}$$と書きました。「14 は 12 を法として 2 と合同」と読みます。一般に $a\equiv b\pmod m$ は、$a$ と $b$ を $m$ でわった余りが等しい、つまり $a-b$ が $m$ の倍数であることを意味します。 大きな利点は、合同式が等式のように足したりかけたりできることです。$a\equiv b$ かつ $c\equiv d\pmod m$ なら、 $$a+c\equiv b+d\qquad\text{かつ}\qquad a\cdot c\equiv b\cdot d\pmod m.$$これで、計算の途中で巨大な数を小さな余りに置きかえられます。たとえば、$7^{100}$ の一の位は何でしょうか。一の位は 10 でわった余りです。7 のべきの一の位は $7, 9, 3, 1$ とくり返します。$7^4=2401\equiv1\pmod{10}$ だからです。よって $$7^{100}=\left(7^4\right)^{25}\equiv1^{25}=1\pmod{10}.$$$7^{100}$ は 85 けたの数ですが、ほかのけたを一つも計算せずに、最後のけたがわかります。 よく選ばれた記号 ガウスは、合同と等号のあいだに大きな類似があるので $\equiv$ を選んだ、と説明しています。この記号は $=$ より線が一本多く、等しいのは「余りに関してだけ」だと注意しているかのようです。歴史上もっとも成功した記法の一つで、数十年のうちにだれもが使うようになりました。 べきと余り ガウスの、そしてのちにソフィーのお気に入りのテーマは、素数を法とするべきでした。素数 $p=7$ をとり、それぞれの数を 3 乗して、7 でわった余りだけを残してみましょう。

October 12, 2026 読んだ
Hero Image
『原論』：定義、公準、公理

点とは部分をもたないものである。線とは幅のない長さである。 — ユークリッド『原論』第一巻、定義 1 と 2 三角形の角の和がいつも 180° になることを、疑いの余地なくだれかに納得させたいとしましょう。測るだけでは足りません。分度器には誤差があり、測れる三角形もいくつかにすぎません。必要なのは 論証 です。けれども、どんな論証もどこかから出発します。どこから出発すればよいのでしょう。どの主張も別の主張で正当化しなければならず、その主張もまた別の主張で、となれば、鎖は決して終わりません。 ユークリッドの解決は、最初のページで、どこから出発するのかを正確に宣言することでした。ほかのことはすべて証明しなければならないのです。 三つの部品 『原論』第一巻は三つのリストで始まります。 定義（第一巻に 23）：何について話すのかを述べる。「点とは部分をもたないものである」。「円とは一本の線に囲まれた平面図形で、その内部の一点からその線へ引いたすべての直線が等しいものである」。 公準（5）：幾何学で何ができるかについて、読者に認めてもらうこと。 公理（共通概念、5）：幾何学にかぎらず、どんな量についても成り立つ一般的な真理。 五つの 公準 を意訳すると、 任意の点から任意の点へ直線を引くことができる。 有限の直線を連続して一直線に延長することができる。 任意の中心と任意の半径で円を描くことができる。 すべての直角はたがいに等しい。 一本の直線が二本の直線と交わり、同じ側の内角の和が二直角より小さいならば、その二本の直線を限りなく延長すると、その側で交わる。 最初の三つは、目盛りのない定規 と コンパス でできること、つまり直線を引く、延長する、円を描くことを述べています。『原論』のすべての作図は、この二つの道具だけを使います。四つ目は直角が標準の尺度であることを保証します。五つ目はほかよりも長く、自明さも劣ります。これが有名な 平行線公準 です。 五つの 公理 は、 同じものに等しいものは、たがいに等しい。 等しいものに等しいものを加えれば、全体は等しい。 等しいものから等しいものを引けば、残りは等しい。 たがいに重なりあうものは、たがいに等しい。 全体は部分より大きい。 一つ目は、今日なら「$a=c$ かつ $b=c$ ならば $a=b$」と書くことです。これは 最初の命題 でさっそく使われます。 十三巻の地図 巻 内容 I 三角形、平行線、ピタゴラスの定理 II 幾何学的代数：長方形と正方形の面積 III、IV 円と内接多角形 V エウドクソスの比例論 VI 相似な図形 VII〜IX 数論：最大公約数、素数、完全数 X $\sqrt2$ のような通約できない量 XI〜XIII 立体幾何学と五つの正多面体 本は、正多面体がちょうど 五つ、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体しかないことを証明して終わります。プラトンはそれらを自然の元素と結びつけていて、本全体がそこにたどりつくために書かれたと考える人もいます。 円と取り尽くし法 第 12 巻は、とても古い問いに答えています。円の面積はいくらか。エジプト人にはやり方がありました。紀元前 1550 年ごろのリンド・パピルスでは、直径 9 の丸い畑の面積は一辺 8 の正方形の面積とされており、これは $\pi\approx\frac{256}{81}\approx3.16$ を使うのと同じです。聖書では、ソロモンの神殿の大きな青銅の「海」は「縁から縁まで十アンマ」で、「周囲は縄で測ると三十アンマ」でした（列王記上 7 章 23 節）。そこでは $\pi=3$ です。

October 12, 2026 読んだ
Hero Image
光電効果：光はかたまりでやってくる

それは放射と光のエネルギー的性質を扱っていて、とても革命的です。 — アルベルト・アインシュタイン、コンラート・ハビヒト宛の手紙（1905 年 5 月） 1905 年 5 月、アインシュタインは友人コンラート・ハビヒトに手紙を書き、四つの論文を予告しました。四つのうち彼が革命的と呼んだのはひとつだけで、それは相対性理論ではなく、3 月に『物理学年報』に送った光の論文でした。アインシュタインがノーベル賞を受けたのは、この論文によってです。 光と金属のなぞ 十九世紀の終わり、物理学者たちは光が電磁波であることを知っていました。また、光がある種の金属に当たると、表面から電子をたたき出すことも知っていました。これが 光電効果 で、1902 年にフィリップ・レーナルトがくわしく調べました。ところがこの効果には、波の理論では説明できない三つの特徴がありました。 色が大事で、明るさは関係ない。 紫外線は亜鉛から電子をたたき出すが、赤い光はどれほど強くてもひとつも出さない。 電子一つひとつのエネルギーは色だけで決まる。 強い光は より多くの 電子をたたき出すが、どの電子も同じ最大エネルギーで飛び出す。 待ち時間がない。 ごく弱い光でも、最初の電子はすぐに飛び出す。 波では、エネルギーは波面になめらかに広がります。強い波なら、色に関係なく電子を激しくゆさぶるはずですし、弱い波なら十分なエネルギーをためるのに時間がかかるはずです。そのどれも起こりませんでした。 エネルギーのかたまり 1900 年、マックス・プランクは、熱い物体が出す光の正しい式を、自分でもあやしいと思っていた数学的なこつで見つけていました。エネルギーは 量子 という単位でやりとりされ、ひとつの量子のエネルギーは $$E=hf$$だと仮定したのです。$f$ は光の振動数、$h\approx6.626\times10^{-34}$ J·s は プランク定数 です。プランクにとって、それは計算上の工夫にすぎませんでした。 アインシュタインはこの考えを本気で受けとりました。光そのものが、エネルギー $hf$ のかたまりでできている。のちにそれは 光子 と呼ばれます。これで三つのなぞが一度に解けます。電子は光子を ひとつ 吸収するとたたき出されます。金属から出るには、仕事関数 と呼ばれる金属ごとに決まった最小のエネルギー $\phi$ を使います。残りが運動のエネルギーになります。 $$\boxed{K_{\max}=hf-\phi.}$$ $hf<\phi$ なら、光子一つでは電子をたたき出すエネルギーが足りず、光子を増やしてもむだです。振動数の低い赤い光ではだめなのです。 電子一つひとつのエネルギーは $f$、つまり色で決まります。強さが変えるのは光子の 数 であり、したがって電子の数です。 光子一つで足りるので、待ち時間はありません。 電子ボルトで計算する 原子にとって、ジュールは大きすぎる単位です。そこで 電子ボルト（eV）を使います。電子が 1 ボルトの電圧を通りぬけるときに得るエネルギーで、$1\ \text{eV}\approx1.602\times10^{-19}$ J です。振動数を波長 $\lambda$ で $f=c/\lambda$ と書くと、便利な目安があります。 $$E=\frac{hc}{\lambda}\approx\frac{1240\ \text{eV·nm}}{\lambda}.$$$\phi=2.0$ eV の金属では、$\lambda=400$ nm の紫の光の光子は $\frac{1240}{400}=3.1$ eV で、電子は最大 $3.1-2.0=1.1$ eV で飛び出します。$700$ nm の赤い光の光子は $\frac{1240}{700}\approx1.77$ eV で 2.0 eV に届かず、投光器を使っても電子はひとつも出ません。

October 11, 2026 読んだ
Hero Image
終わらない利息と数 e

年利 100% を払ってくれる気前のいい銀行を想像してください。1 月に 1 円預けると、12 月には 2 円になります。ここで銀行が別の提案をします。年末に 100% 払うかわりに、半年ごとに 50% 払い、前半の利息にも後半に利息がつく。得でしょうか。毎月、毎日、毎秒払ったら？限りなく金持ちになれるでしょうか。 これは、ヤコブ・ベルヌーイが 1683 年ごろ自分に問いかけ、1690 年に『学術紀要』に発表した問題です。帳簿づけの話のようですが、答えは数学で最も重要な数のひとつです。 計算してみる 一年を $n$ 個の等しい期間に分けると、各期間に $\frac{100\%}{n}$ が支払われます。つまり残高は $1+\frac1n$ 倍になります。$n$ 期間ののち、1 円は $$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$になります。二期間なら $a_2=1.5^2=2.25$ で、2 より多くなります。期間を増やすと、さらに増えます。 利息の支払い $n$ 年末の残高 一回 1 2.000000 半年ごと 2 2.250000 四半期ごと 4 2.441406 毎月 12 2.613035 毎日 365 2.714567 毎時 8 760 2.718127 残高は増えますが、増え方はだんだん小さくなります。毎月から毎日に変えても、増えるのはわずかです。毎日から毎時では、さらにわずかです。残高は $2.718$ くらいの天井に近づいていくように見えます。 天井がある理由 ベルヌーイは今日の意味での「極限」という言葉をもっていませんでしたが、ニュートンの二項定理 をもっていました。$a_n$ を展開すると、 $$a_n=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}\cdot\frac1{n^3}+\cdots$$各項を整理すると、 $$\begin{aligned}a_n={}&1+1+\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)\\&+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots\end{aligned}$$$n$ が大きくなると二つのことが起こります。かっこ $\left(1-\frac kn\right)$ は 1 に近づくので、各項は 大きくなり、さらに新しい項が現れ、それもすべて正です。だから $a_n$ は増える一方です。一方、どのかっこも 1 より小さいので、

October 11, 2026 読んだ
Hero Image
パスカルの三角形：足し算で組み立てる

$1$ を一つ書きます。その下に $1$ を二つ。そこから先は、どの行も $1$ で始まり $1$ で終わり、あいだの数はそれぞれすぐ上にある二つの数の和です。 $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$これだけです。子どもが一分で覚えられる規則から、数学で最も豊かな表の一つが生まれます。今日これはパスカルの三角形と呼ばれていますが、パスカルはこれを見つけた最後の一人のようなものでした。 持ち主がたくさんいる三角形 インドでは紀元前 2 世紀ごろ、詩人ピンガラが詩の一行で長い音節と短い音節を組み合わせる方法の数を数え、同じ数にたどり着きました。10 世紀には注釈者ハラーユダがこの表を描き、メール・プラスターラ、「メール山の階段」と呼びました。 バグダードでは西暦 1000 年ごろ、カラジーがこの三角形を使って $(a+b)^5$ のような累乗を展開しました。彼の本は失われましたが、一世紀半後の 1150 年ごろ、サマウアルが表と推論を書き写し、カラジーの功績だと記しました。ペルシアでは、この三角形は詩人で数学者のウマル・ハイヤームとも結びつけられています。 中国では、賈憲が 1050 年ごろ、これを開平・開立に使っていました。楊輝が 1261 年に書物に載せ、朱世傑は 1303 年の『四元玉鑑』に算木で数を記した図を描きました。 朱世傑の 1303 年の書物にある三角形。中国では楊輝の三角形と呼ばれます。朱世傑『四元玉鑑』（1303） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ヨーロッパでは、1527 年にペトルス・アピアヌスの算術書の表紙に印刷されたのが最初です。その後、1544 年にミヒャエル・シュティーフェル、1556 年にニコロ・タルタリアが使いました。今でもイタリアではタルタリアの三角形、イランではハイヤームの三角形、中国では楊輝の三角形と呼ばれています。 パスカルの論文 1654 年、フェルマーと賭けについて議論していたころ、パスカルは『算術三角形論』を書きました。フランス語版とラテン語版があり、次のように始まります。 算術三角形は次のように作る。任意の点 Z から、互いに垂直な二本の直線 ZL と ZT を引き、それぞれの上に好きなだけ等しい部分を印す。 — ブレーズ・パスカル『算術三角形』（1654） 論文のラテン語版の最初のページ。知られている唯一の一冊で、パスカルの故郷クレルモン＝フェランに保管されています。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 パスカルの三角形は、実は階段の形をしたマス目の表でした。彼は一つひとつのマスをセル、行を平行列、列を垂直列、斜めの並びを底と呼びました。各セルは、上のセルと左のセルの和になっています。今日私たちが使う規則と同じで、ただ向きが回っているだけです。

October 7, 2026 読んだ
Hero Image
フェルマーと解析幾何学：方程式の中の曲線

2000 年近くの間、幾何学と代数は別々に暮らしていました。ギリシアの幾何学は定規とコンパスと図形を使い、アラブ世界を経てヨーロッパに伝わった代数は方程式を使いました。17 世紀のはじめ、二人の人物が同時に、相談することもなく、両者を結びつけるというアイデアを思いつきました。ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーです。 一つの分野を生んだ一文 1636 年ごろ、フェルマーはラテン語で短い文章『平面および立体の軌跡への序論』を書きました。「軌跡」とは、ある条件を満たす点の集合を指すギリシア人の言葉です。たとえば円は、中心から一定の距離にある点の軌跡です。冒頭で、フェルマーはこう書いています。 最終的な方程式に二つの未知量が現れるときはいつでも、軌跡が得られ、そのうち一方の端点が直線または曲線を描く。 — フェルマー『平面および立体の軌跡への序論』 言いかえれば、二つの未知数をもつ方程式は曲線だということです。解 $(x,y)$ の一つ一つが点で、すべての解を合わせると一枚の絵になります。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 先に思いついたのは誰？ フェルマーの文章は 1636 年から写本として出回っていましたが、印刷されたのは彼の死後、1679 年でした。デカルトの『幾何学』は 1637 年に『方法序説』の付録として出版され、名声を得ました。今日の歴史家は、二人とも解析幾何学の独立した創始者だと認めています。 直線 フェルマーはヴィエトの流儀で、未知数には母音、既知数には子音を使いました。直線は 「D in A aequetur B in E」 と書かれ、今日の記号では $$D\cdot x=B\cdot y.$$$y$ について解くと $y=\dfrac DB\,x$。原点を通り、傾きが $\dfrac DB$ の直線です。フェルマーは、$x$ と $y$ についてのすべての 1 次方程式は直線を表し、すべての 2 次方程式は円錐曲線（放物線、楕円、双曲線、円）を表すことを示しました。 放物線 座標が次の式を満たす点を考えましょう。 $$y=x^2.$$$x=-2$ なら $y=4$、$x=0$ なら $y=0$、$x=2$ なら $y=4$。たくさんの点を打つと、放物線が現れます。方程式は表を作るだけのものではありません。絵を描かなくても、ある点が曲線の上にあるかどうかを教えてくれます。点 $(3,9)$ は上にあります。$9=3^2$ だからです。点 $(2,5)$ はありません。$5\neq2^2$ だからです。

October 7, 2026 読んだ
Hero Image
ライプニッツの記号：変化を表す言語

記号には発見のための利点がある。それが最大になるのは、記号が物事の本性を簡潔に表し、いわば描き出すときである。そのとき、思考の労力は驚くほど軽くなる。 — ライプニッツ、チルンハウスへの手紙（1678） 微積分に先に到達したのはニュートンでしたが、それをどう書くかを決めたのはライプニッツでした。そして書き方がすべてを変えたのです。 文字 d 1675 年 11 月 11 日、パリで書いた手稿の中で、ライプニッツは無限に小さな差を表すのに文字 $d$ を使い始めました。$d$ はラテン語の differentia に由来し、これは「引き離す」という意味の動詞 differre から来ています。つまり、 $dx$ は、非常に近い二つの $x$ の値の間の微小な差、 $dy$ は、それに対応する $y$ の差、 $\dfrac{dy}{dx}$ はその比、つまり $x$ がほんの少し変わるごとに $y$ がどれだけ変わるか、 です。「微分学」（differential calculus）という名前はここから来ています。差の計算、という意味です。 dx を使った計算 ライプニッツは $dx$ と $dy$ を、無限に小さいだけで本物の量として扱いました。$y=x^2$ で $x$ が $x+dx$ に変わるとすると、 $$dy=(x+dx)^2-x^2=2x\,dx+(dx)^2.$$$(dx)^2$ は $dx$ より無限に小さいので、彼はそれを無視し、$dy=2x\,dx$、つまり $$\frac{dy}{dx}=2x$$を得ました。これはニュートンが流率で行った計算と同じで、書き方が違うだけです。今日では「$(dx)^2$ を無視する」ことを極限で正当化します。有限の差の比は $2x+h$ で、$h\to0$ のとき $2x$ に近づきます。 1684 年の論文 1684 年 10 月に『学術紀要』でライプニッツが発表した『極大と極小についての新しい方法』の最初のページ。微分法がはじめて印刷された。ライプニッツ · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1684 年 10 月、ライプニッツはライプツィヒの学術誌『学術紀要』に自分の規則を発表しました。題名はとても長く、『分数量や無理量にも妨げられない、極大・極小および接線のための新しい方法、ならびにそのための特異な計算法』というものでした。誤植だらけの 6 ページの濃密な論文で、ほとんど誰も理解できませんでした。理解したのはヤコブとヨハンのベルヌーイ兄弟で、彼らこそが微積分をヨーロッパ中に広めたのです。

October 6, 2026 読んだ
Hero Image
一般化された二項式：整数のべきを超えて

学校では $(1+x)^2=1+2x+x^2$ や $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$ の展開を習います。係数は算術三角形（パスカルが研究し、それ以前から知られていたもの）から得られます。正の整数の指数なら、展開は必ず終わります。 1664 年から 1665 年の冬、まだ学生だったニュートンは、誰もこれほど大胆には問わなかった問いを立てました。指数が $\frac12$ だったら？ $-1$ だったら？ $(1+x)^{1/2}$、つまり $\sqrt{1+x}$ を $x$ のべきの和として書くとどうなるのか？ 係数の規則 ニュートンはジョン・ウォリスの『無限算術』を読んでいました。この本は数表の間を補間して面積を求めていました。同じ発想をたどって、ニュートンは二項係数が、指数が整数であることに依存しない規則に従うことに気づきました。 $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots$$各係数は、一つ前の係数に $\dfrac{\alpha-k}{k+1}$ を掛けると得られます。$\alpha$ が正の整数なら、どこかで因子 $(\alpha-k)$ がゼロになり、それ以降の項はすべて消えます。これが学校で習う二項式です。$\alpha$ が正の整数でなければ、どの因子もゼロにならず、和はどこまでも続きます。 この級数は $|x|<1$ のときに成り立ちます。その範囲の外では項が小さくならずに大きくなり、和は収束しません。 二つの例 $\alpha=-1$ のとき、係数は $1,-1,1,-1,\dots$ となり、すでに知られていた級数、等比級数が得られます。 $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$$\alpha=\frac12$ のとき、新しいものが現れます。 $$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$ニュートンは現代的な意味での証明を持っていませんでした。彼は検算したのです。この級数を自分自身と掛け合わせ、項が打ち消し合って $1+x$ だけが残ることを確かめました。最初の 3 項で試してみましょう。 $$\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\right)^2=1+x+\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{4}\right)+\cdots=1+x+0\cdot x^2+\cdots$$$x^2$ の項は、あるべきとおり消えます。その先の項も同様です。 足し算で平方根を求める $\sqrt{1.21}$ を計算するには $x=0.21$ とします。 $$1+0.105-0.0055125+0.0005788125=1.1000663125.$$正確な値は $1.1$ です。4 項だけで誤差はすでに小数第 4 位にあり、第 5 項 $-5x^4/128\approx-0.000076$ でさらに改善します。特別なアルゴリズムが必要な平方根が、掛け算と足し算の連続になったのです。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 「恥ずかしくて言えない」

October 6, 2026 読んだ
Hero Image
並べかえ定理

学校では「足し算は順序を変えても和は変わらない」と習う。有限個の和については正しい。無限個の和についてはそうではない。そのもっともはっきりした例が、リーマンが積分を定義したのと同じ 1854 年の教授資格論文に出てくる。 和が ln 2 になる級数 交代調和級数 $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots$$は収束し、その和は $\ln 2 \approx 0.6931$ である。しかし、この級数にはもろいところがある。正の項と負の項を分けると、それぞれ単独では無限大になるのである。 $$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots = \infty, \qquad \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots = \infty.$$この級数が収束するのは、正の項と負の項が交互に現れて打ち消しあっているからにすぎない。このように収束するが、絶対値の和は無限大になる級数を条件収束するという。 どんな数でも リーマンは、条件収束する級数では、項を並べかえればどんな和でも得られることに気づいた。目標をたとえば 1.5 として、次のようにする。 1.5 を超えるまで正の項 $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots$ を足す。 1.5 を下回るまで負の項 $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \cdots$ を足す。 まだ使っていない正の項にもどり、くり返す。 それぞれの組は単独で無限大なので、目標をもう一度超えるのに十分な項がいつも残っている。そして項はしだいに小さくなるので、目標のまわりの揺れも小さくなっていく。並べかえた級数の和はちょうど 1.5 になる。もとの級数のどの項もちょうど一回ずつ現れ、変わったのは順序だけである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 31, 2026 読んだ
Hero Image
星雲説

1796 年の『宇宙体系解説』は、数学の素養のない読者のための本だった。ラプラスはそこで、天体力学が明らかにしたことを散文ですべて語った。そして巻末の注で、彼自身が「観測や計算の結果でないものすべてに向けるべき疑いをもって」と断りながら、太陽系の起源についての説明を試みた。 『宇宙体系解説』第二版の扉、1798 年（共和暦七年）。Pierre-Simon Laplace · Wikimedia Commons · パブリックドメイン できすぎた偶然 ラプラスは誰もが知っている事実から出発した。当時知られていた惑星はみな同じ向きに太陽のまわりを回り、その軌道はほぼ同じ平面にあって、ほぼ円である。自転の向きも同じで、惑星のまわりを回る衛星も同じ向きである。惑星、衛星、自転を合わせて、ラプラスは同じ向きの運動を 43 個数えた。 それぞれの運動が偶然に、確率 $\frac{1}{2}$ でどちらかの向きをとるとしたら、すべてがそろう確率はいくらか。最初の運動が向きを決め、残りの 42 個がそれに従わなければならない。 $$\left(\frac{1}{2}\right)^{42} = \frac{1}{4\,398\,046\,511\,104} \approx \frac{1}{4.4 \times 10^{12}}.$$ラプラスは、この配置に共通の原因があることに「四兆対一以上」で賭けられると書いた。空に確率の推論を当てはめる、いかにも彼らしい考え方である。偶然が奇妙だと言うかわりに、彼はそれを測ったのだ。 回る雲 彼が提案した原因はこうである。はじめ太陽は巨大で熱い大気、つまり星雲に包まれていた。星雲はゆっくり回転し、現在の軌道より外まで広がっていた。冷えるにつれて雲は縮み、縮むにつれてますます速く回るようになり、ついに縁で遠心力が重力とつりあうと、物質の環が分かれた。それぞれの環が集まってひとつの惑星となり、もとの雲と同じ向きに回った。衛星も同じように、惑星の大気から生まれたとされる。 なぜ縮む雲は速く回るのか。それは角運動量の保存で、フィギュアスケートの選手が腕を縮めると回転が速くなるのと同じ理屈である。回転軸から距離 $r$ のところを角速度 $\omega$ で回る質量 $m$ の角運動量は $$L = m\,r^2\,\omega$$である。外からトルクがはたらかなければ $L$ は変わらない。雲の半径が半分になると $r^2$ は四分の一になり、それを補うために $\omega$ は四倍になる。 $$m\,r^2\,\omega = m\left(\frac{r}{2}\right)^2\omega' \quad\Rightarrow\quad \omega' = 4\omega.$$ カント、ラプラス、そして角運動量の問題 その四十年前、1755 年に、哲学者イマヌエル・カントが似た考え、すなわち太陽系は塵の雲からできたという説を発表していた。ラプラスはカントの本を知らなかったようだが、十九世紀には二つの提案がまとめてカント＝ラプラスの星雲説と呼ばれるようになった。この説は深刻な反論に直面した。太陽は太陽系の質量の 99.8% をもつのに、角運動量は約 1% しかもたない。ただ縮むだけの雲なら、太陽はずっと速く回っているはずだ。答えは二十世紀に出た。磁場と恒星風が若い星にブレーキをかけ、角運動量を外へ運び出すのである。今日の望遠鏡は、おうし座 HL 星のような若い星のまわりに原始惑星系円盤を撮影しており、そこには惑星が生まれつつあるらしい環とすき間が見える。現代の理論はラプラスのものとはずいぶん違うが、中心となる像は生き残った。星と惑星は、回転するガスと塵の円盤から生まれるのである。 練習：縮む星太陽の半径は約 $700\,000$ km で、25 日に一回自転する。質量も角運動量も失わずに、中性子星のように半径 10 km まで縮んだとしたら、新しい自転周期はいくらか。（質量分布の形は変わらず、$L \propto r^2\omega$ とする。） 半径は $\frac{700\,000}{10} = 70\,000$ 分の一になるから、$\omega$ は $70\,000^2 = 4.9 \times 10^9$ 倍になる。周期は同じ割合で短くなる。$25 \text{ 日} = 2\,160\,000$ s だから、$\frac{2\,160\,000}{4.9 \times 10^9} \approx 4.4 \times 10^{-4}$ s。千分の一秒の半分にも満たない。知られているもっとも速いパルサーの桁である。

October 30, 2026 読んだ