Augustin-Louis Cauchy

A vida de Augustin-Louis Cauchy

Linha do tempo 1789Nasce em 21 de agosto em Paris, cinco semanas depois da queda da Bastilha. 1794Durante o Terror, a família se refugia em Arcueil, vizinha de Laplace. 1805Entra na Escola Politécnica, em segundo lugar no exame de admissão. 1810Vai para Cherbourg, como engenheiro das obras do porto militar de Napoleão. 1813Volta a Paris doente e demonstra o teorema dos números poligonais de Fermat. 1816É nomeado por decreto real para a Academia de Ciências, no lugar de Monge. 1821Publica o Curso de análise da Escola Politécnica. 1825Apresenta a memória sobre as integrais entre limites imaginários. 1830Recusa jurar fidelidade a Luís Filipe e parte para o exílio. 1833Em Praga, torna-se preceptor do duque de Bordéus, neto de Carlos X. 1838Volta a Paris. 1848A nova república abole o juramento; no ano seguinte ele assume a cátedra da Sorbonne. 1857Morre em 23 de maio em Sceaux, aos 67 anos. Um menino da Revolução Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris em 21 de agosto de 1789. A Bastilha tinha caído em 14 de julho, e o pai, Louis-François Cauchy, era um alto funcionário da polícia de Paris, um cargo do Antigo Regime que se tornou perigoso de um dia para o outro. Em 1794, durante o Terror, a família fugiu para a casa de campo que tinha em Arcueil, ao sul da cidade. Ali passou fome e pobreza; Augustin foi uma criança franzina, e a saúde frágil o acompanhou a vida inteira.

October 25, 2026 Iniciar leitura

O teorema dos números poligonais

Os gregos já arrumavam pedrinhas em figuras. Com 1, 3, 6, 10 pedrinhas se formam triângulos; com 1, 4, 9, 16, quadrados; com 1, 5, 12, 22, pentágonos. Esses são os números poligonais. A fórmula O $n$-ésimo número com $k$ lados se obtém somando uma progressão aritmética que começa em 1 e cresce de $k - 2$ em $k - 2$: $$P_k(n) = 1 + (k-1) + (2k-3) + \cdots = \frac{n\,\big((k-2)n - (k-4)\big)}{2}.$$Para $k = 3$ vêm os triangulares $\frac{n(n+1)}{2}$: 1, 3, 6, 10, 15, … Para $k = 4$, os quadrados $n^2$. Para $k = 5$, os pentagonais $\frac{n(3n-1)}{2}$: 1, 5, 12, 22, 35, … Vamos contar também o zero, $P_k(0) = 0$.

October 27, 2026 Iniciar leitura

Determinantes e permutações

Em 30 de novembro de 1812, o jovem engenheiro de Cherbourg leu no Instituto de França uma memória de título comprido: sobre as funções que só podem tomar dois valores iguais e de sinais contrários quando se trocam entre si as variáveis. Por trás do título estava a primeira teoria geral dos determinantes. Funções que trocam de sinal Tome três variáveis $a_1, a_2, a_3$ e o produto das diferenças $$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$Se trocarmos $a_1$ com $a_2$, cada fator ou continua igual ou troca de sinal, e no total $\Delta$ vira $-\Delta$. Qualquer troca de duas variáveis faz o mesmo. Uma permutação das variáveis, que é uma sequência de trocas, multiplica $\Delta$ por $+1$ ou por $-1$: é par ou ímpar.

October 27, 2026 Iniciar leitura

Limites e continuidade

No século XVIII o cálculo era uma máquina formidável e um pouco misteriosa. Euler somava séries divergentes e tirava delas resultados certos; Lagrange tentava basear tudo nas séries de potências; os livros falavam de quantidades “infinitamente pequenas” que eram zero quando convinha e diferentes de zero quando não convinha. Funcionava, mas ninguém conseguia explicar exatamente por quê. O Curso de análise Em 1821 Cauchy publicou o Curso de análise da Escola Real Politécnica, com as lições que dava aos futuros engenheiros. No prefácio anunciava a intenção de dar à análise “todo o rigor que se exige na geometria”. Tudo começa com uma definição:

October 30, 2026 Iniciar leitura

A convergência das séries

Quanto vale $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$? Agrupando de um jeito, $(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0$. De outro, $1 - (1 - 1) - (1 - 1) - \cdots = 1$. Euler e Leibniz achavam que a resposta “certa” era $\frac{1}{2}$, a média. No século XVIII essas somas eram manipuladas livremente, e o hábito às vezes dava resultados absurdos. Somas parciais No capítulo 6 do Curso de análise, Cauchy cortou o problema pela raiz. Uma série $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots$ tem as somas parciais

October 31, 2026 Iniciar leitura

A desigualdade de Cauchy

O Curso de análise de 1821 termina com nove notas, uma espécie de apêndice com resultados que Cauchy não quis pôr no corpo do texto. A segunda, sobre as desigualdades, contém duas joias que qualquer estudante de olimpíada conhece. A desigualdade O teorema de Cauchy diz que, para quaisquer números reais $a_1, \ldots, a_n$ e $b_1, \ldots, b_n$, $$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2),$$com igualdade só quando as duas listas são proporcionais.

October 31, 2026 Iniciar leitura

A derivada e a integral

Dois anos depois do Curso de análise, Cauchy publicou o Resumo das lições dadas na Escola Real Politécnica sobre o cálculo infinitesimal (1823). Em quarenta lições curtas, reconstruía o cálculo diferencial e integral com a ideia de limite. É, na essência, o roteiro que os livros de cálculo seguem até hoje. A derivada Para Lagrange, a derivada de $f$ era o coeficiente de $i$ na série de potências de $f(x + i)$. Cauchy a definiu como um limite:

October 31, 2026 Iniciar leitura

A integral no plano complexo

No fim do século XVIII, Euler e Laplace calculavam integrais reais difíceis com um truque ousado: trocavam a variável real por uma complexa, faziam as contas e voltavam ao real. Laplace chamava isso de “passagem do real ao imaginário”. Os resultados batiam, mas ninguém sabia dizer quando o truque era legítimo. Foi para responder a essa pergunta que Cauchy, aos 25 anos, entregou à Academia em 1814 uma memória sobre as integrais definidas. Ela só foi publicada em 1827, e era apenas o começo.

October 31, 2026 Iniciar leitura

A tensão nos sólidos elásticos

Cauchy nunca deixou de ser engenheiro. Em 1822, Claude-Louis Navier tinha apresentado à Academia uma teoria dos sólidos elásticos baseada em forças entre moléculas, e Augustin Fresnel explicava a luz como uma vibração transversal de um meio elástico, o éter. Cauchy, colega dos dois na Academia, acompanhou de perto esses trabalhos. Em 30 de setembro de 1822 ele anunciou à Academia uma teoria nova, que não precisava de moléculas. O corte imaginário Pense numa viga carregada, numa ponte ou num pilar. Escolha um ponto lá dentro e imagine um pequeno corte plano passando por ele, com uma direção perpendicular $\mathbf{n}$. O material de um lado do corte puxa ou empurra o do outro lado. A força por unidade de área nesse corte é um vetor $\mathbf{t}$, que Cauchy chamou de “pressão” e hoje se chama vetor tensão.

October 31, 2026 Iniciar leitura

O legado de Augustin-Louis Cauchy

Cauchy é louco, e não há nada a fazer com ele; no entanto, é hoje quem sabe como a matemática deve ser feita. — Niels Henrik Abel, carta a Holmboe (1826) Cauchy publicou cerca de 800 artigos e sete livros. As Obras completas, editadas pela Academia de Ciências, saíram entre 1882 e 1974 em 27 grossos volumes. Entre os matemáticos, só Euler e muito poucos outros deixaram uma obra comparável em tamanho.

October 31, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos os arquivos ou as miniaturas fornecidas pelo Commons, reduzidas a no máximo 800 pixels de largura, sem outra edição. Retrato de Augustin-Louis Cauchy, litografia de Rudolf Hoffmann (1856) a partir de uma fotografia de Bertsch: página de origem · domínio público. Retrato a óleo de Cauchy, por volta de 1840, atribuído a Jean Roller, castelo de Sceaux: página de origem · domínio público. Litografia de Cauchy por Louis Grégoire e Deneux, por volta de 1840, coleção Dibner da Smithsonian Libraries: página de origem · domínio público. Medalhão de bronze de Pierre-Jean David d’Angers (1843): página de origem · CC0. Folha de rosto do Curso de análise (1821), versão limpa (convertida de GIF para JPEG): página de origem · CC0. Nome de Cauchy na Torre Eiffel, foto de Juanedc: página de origem · CC BY 2.0. Túmulo de Cauchy no cemitério de Sceaux, foto de Antoine Rex: página de origem · CC0. Figuras feitas para o blog A capa e as quatro figuras interativas (a bissecção, a faixa de largura ε do critério de Cauchy, a integral de 1/(1 + z²) ao longo de um círculo e o vetor tensão num corte que gira) são ilustrações originais, com textos em cada idioma do site.

October 31, 2026 Iniciar leitura