Quanto vale $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$? Agrupando de um jeito, $(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0$. De outro, $1 - (1 - 1) - (1 - 1) - \cdots = 1$. Euler e Leibniz achavam que a resposta “certa” era $\frac{1}{2}$, a média. No século XVIII essas somas eram manipuladas livremente, e o hábito às vezes dava resultados absurdos.

Somas parciais

No capítulo 6 do Curso de análise, Cauchy cortou o problema pela raiz. Uma série $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots$ tem as somas parciais

$$s_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}.$$

Se $s_n$ se aproxima de um limite $s$ quando $n$ cresce, a série é convergente e $s$ é a sua soma. Se não, a série é divergente e, nas palavras de Cauchy, “não tem soma”. Para $1 - 1 + 1 - \cdots$, as somas parciais pulam entre 1 e 0 para sempre: não há soma, nem $\frac{1}{2}$ nem nada.

O critério de Cauchy

O problema é que, para usar a definição, é preciso saber qual é o limite. Cauchy deu um teste que olha só para os termos:

Para que a série seja convergente, é necessário e suficiente que, para valores crescentes de n, as somas s(n+1) − s(n), s(n+2) − s(n), s(n+3) − s(n), … acabem por obter constantemente valores numéricos menores que qualquer limite assinalável.

— Augustin-Louis Cauchy, Curso de análise (1821)

Ou seja: a partir de certo ponto, todas as somas parciais ficam a menos de $\varepsilon$ umas das outras, por menor que seja $\varepsilon$. Uma sequência com essa propriedade se chama hoje sequência de Cauchy.

Com esse critério se vê de imediato por que a série harmônica diverge, mesmo com termos que tendem a zero. De $s_n$ a $s_{2n}$ somamos $n$ termos, todos maiores ou iguais a $\frac{1}{2n}$:

$$s_{2n} - s_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \ge n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}.$$

Por mais longe que se vá, há sempre duas somas parciais que diferem de pelo menos $\frac{1}{2}$. Na figura, escolha uma série e um $\varepsilon$, e veja a partir de onde as somas parciais cabem numa faixa de largura $\varepsilon$:

Cauchy considerou a suficiência do critério evidente. Para prová-la de verdade era preciso saber exatamente o que é um número real, e isso só foi feito em 1872, por Dedekind e por Cantor. Curiosamente, Cantor construiu os números reais justamente a partir das sequências de Cauchy.

O teste da raiz

Cauchy deu também testes práticos. O mais forte é o teste da raiz: calcule $\sqrt[n]{|u_n|}$ para $n$ grande. Se esses números acabam ficando abaixo de um $r < 1$, a série converge, porque os termos ficam menores que os de uma progressão geométrica $r^n$. Se ficam acima de 1, os termos não vão a zero e a série diverge. Para lidar com sequências que oscilam, Cauchy introduziu “o maior dos limites”, que hoje se chama limite superior.

Por exemplo, para $\sum \frac{n}{2^n}$:

$$\sqrt[n]{\frac{n}{2^n}} = \frac{\sqrt[n]{n}}{2} \longrightarrow \frac{1}{2} < 1,$$

porque $\sqrt[n]{n} \to 1$. A série converge (a soma é 2).

Exercício: a soma de n/2ⁿ

Calcule as quatro primeiras somas parciais de $\sum_{n \ge 1} \frac{n}{2^n}$ e mostre que a soma é 2.

$s_1 = 0{,}5$, $s_2 = 0{,}5 + 0{,}5 = 1$, $s_3 = 1 + 0{,}375 = 1{,}375$, $s_4 = 1{,}375 + 0{,}25 = 1{,}625$. Para a soma, chame $S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \cdots$. Então $\frac{S}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \cdots$, e subtraindo,

$$S - \frac{S}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1.$$

Logo $S = 2$. A conta é legítima porque o teste da raiz já garantiu que a série converge.

Exercício: o teste da condensação

Outro teste de Cauchy diz que, se os termos $u_n$ são positivos e decrescentes, $\sum u_n$ converge se e só se $\sum 2^k u_{2^k}$ converge. Use-o para decidir quando $\sum \frac{1}{n^p}$ converge.

Com $u_n = \frac{1}{n^p}$, temos $2^k u_{2^k} = \frac{2^k}{2^{kp}} = \left(2^{1-p}\right)^k$, uma progressão geométrica de razão $2^{1-p}$. Ela converge se e só se $2^{1-p} < 1$, isto é, $p > 1$. Assim $\sum \frac{1}{n^2}$ converge e $\sum \frac{1}{n}$ diverge, como já tínhamos visto.

Fontes: Augustin-Louis Cauchy, Cours d’analyse (1821), caps. 6 e 9 · Niels Henrik Abel, “Untersuchungen über die Reihe 1 + m/1 x + …”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1 (1826) · Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus (1981) · Umberto Bottazzini, The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass (1986).

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