Cauchy nunca deixou de ser engenheiro. Em 1822, Claude-Louis Navier tinha apresentado à Academia uma teoria dos sólidos elásticos baseada em forças entre moléculas, e Augustin Fresnel explicava a luz como uma vibração transversal de um meio elástico, o éter. Cauchy, colega dos dois na Academia, acompanhou de perto esses trabalhos. Em 30 de setembro de 1822 ele anunciou à Academia uma teoria nova, que não precisava de moléculas.

O corte imaginário

Pense numa viga carregada, numa ponte ou num pilar. Escolha um ponto lá dentro e imagine um pequeno corte plano passando por ele, com uma direção perpendicular $\mathbf{n}$. O material de um lado do corte puxa ou empurra o do outro lado. A força por unidade de área nesse corte é um vetor $\mathbf{t}$, que Cauchy chamou de “pressão” e hoje se chama vetor tensão.

Esse vetor não precisa ser perpendicular ao corte. A parte perpendicular é a tensão normal, que comprime ou estica; a parte paralela é a tensão de cisalhamento, que tende a fazer as duas faces escorregarem uma sobre a outra. E, girando o corte em torno do mesmo ponto, $\mathbf{t}$ muda.

O teorema de Cauchy

A descoberta de Cauchy é que essa dependência é a mais simples possível: linear. Existe um quadro de números $\sigma$ tal que, para qualquer direção $\mathbf{n}$,

$$\mathbf{t} = \sigma\,\mathbf{n}, \qquad \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}.$$

Bastam seis números, porque o quadro é simétrico, para conhecer a força em todos os cortes possíveis por aquele ponto. É o tensor das tensões de Cauchy.

O argumento é o do tetraedro. Recorte um tetraedro minúsculo com três faces paralelas aos planos coordenados e a quarta perpendicular a $\mathbf{n}$. As forças sobre as faces são proporcionais às áreas, que diminuem como o quadrado do tamanho; o peso e a inércia são proporcionais ao volume, que diminui como o cubo. Para um tetraedro muito pequeno, só as forças nas faces contam, e elas têm de se equilibrar. Como a área de cada face coordenada é a área da face inclinada vezes uma componente de $\mathbf{n}$, o equilíbrio dá exatamente $\mathbf{t} = \sigma\mathbf{n}$.

Um exemplo no plano

No plano, o quadro tem três números. Tome, em megapascals,

$$\sigma = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Para um corte vertical, $\mathbf{n} = (1, 0)$, e $\mathbf{t} = (3, 1)$: tensão normal 3 (tração) e cisalhamento 1. Para um corte horizontal, $\mathbf{n} = (0, 1)$, e $\mathbf{t} = (1, 1)$: normal 1 e cisalhamento 1. Gire o corte na figura e acompanhe as duas componentes:

As direções principais

Cauchy mostrou também que em cada ponto existem três direções perpendiculares entre si, as direções principais, em que o vetor tensão é perpendicular ao corte: só tração ou compressão, sem nenhum cisalhamento. Os valores correspondentes, as tensões principais, são a maior e a menor tensão normal possíveis naquele ponto. São eles que o engenheiro compara com a resistência do material. Na linguagem de hoje, são os autovalores e autovetores do tensor $\sigma$, ideias que Cauchy desenvolveu no mesmo período, estudando as superfícies de segundo grau.

Exercício: as tensões principais

Encontre as tensões principais e as direções principais de $\sigma = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Procuramos $\mathbf{n}$ com $\sigma \mathbf{n} = \lambda \mathbf{n}$. Isso exige $\det(\sigma - \lambda I) = 0$: $(3 - \lambda)(1 - \lambda) - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 2 = 0$, logo $\lambda = 2 \pm \sqrt{2}$, isto é, $3{,}414$ e $0{,}586$. Para $\lambda = 2 + \sqrt{2}$, a primeira linha dá $(1 - \sqrt{2})\,n_x + n_y = 0$, ou $n_y = (\sqrt{2} - 1)\,n_x$, e $\sqrt{2} - 1 = \tan 22{,}5°$. As direções principais formam ângulos de $22{,}5°$ e $112{,}5°$ com o eixo $x$.

Exercício: o prisma

Para um vidro comum, $A \approx 1{,}5046$ e $B \approx 4\,200\ \text{nm}^2$. Calcule o índice de refração para a luz violeta ($\lambda = 400$ nm) e para a vermelha ($\lambda = 700$ nm).

Violeta: $n = 1{,}5046 + \frac{4\,200}{160\,000} = 1{,}5046 + 0{,}0263 = 1{,}5309$. Vermelha: $n = 1{,}5046 + \frac{4\,200}{490\,000} = 1{,}5046 + 0{,}0086 = 1{,}5132$. A diferença é pequena, mas é ela que abre o arco-íris na saída de um prisma.

Fontes: Augustin-Louis Cauchy, “Recherches sur l’équilibre et le mouvement intérieur des corps solides ou fluides, élastiques ou non élastiques”, Bulletin de la Société philomatique (1823) · Augustin-Louis Cauchy, “De la pression ou tension dans un corps solide”, Exercices de mathématiques 2 (1827) · Augustin-Louis Cauchy, Mémoire sur la dispersion de la lumière (1836) · Isaac Todhunter e Karl Pearson, A History of the Theory of Elasticity, vol. 1 (1886) · Clifford Truesdell, Essays in the History of Mechanics (1968).

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