Os gregos já arrumavam pedrinhas em figuras. Com 1, 3, 6, 10 pedrinhas se formam triângulos; com 1, 4, 9, 16, quadrados; com 1, 5, 12, 22, pentágonos. Esses são os números poligonais.

A fórmula

O $n$-ésimo número com $k$ lados se obtém somando uma progressão aritmética que começa em 1 e cresce de $k - 2$ em $k - 2$:

$$P_k(n) = 1 + (k-1) + (2k-3) + \cdots = \frac{n\,\big((k-2)n - (k-4)\big)}{2}.$$

Para $k = 3$ vêm os triangulares $\frac{n(n+1)}{2}$: 1, 3, 6, 10, 15, … Para $k = 4$, os quadrados $n^2$. Para $k = 5$, os pentagonais $\frac{n(3n-1)}{2}$: 1, 5, 12, 22, 35, … Vamos contar também o zero, $P_k(0) = 0$.

A afirmação de Fermat

Em 1638, numa carta a Mersenne, e depois numa nota na margem do seu exemplar de Diofanto, Pierre de Fermat afirmou ter descoberto uma propriedade “muito bela e totalmente geral”:

Todo número é triangular ou soma de dois ou três triangulares; quadrado ou soma de dois, três ou quatro quadrados; pentagonal ou soma de dois, três, quatro ou cinco pentagonais; e assim por diante até o infinito.

— Pierre de Fermat, nota no Diofanto (c. 1638)

Como de costume, Fermat não deixou demonstração. O caso dos quadrados resistiu a Euler durante quarenta anos e foi resolvido por Lagrange em 1770. O dos triangulares foi provado por Gauss em 1796; no diário, ele anotou com alegria: “ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ”. Os pentagonais, hexagonais e todos os outros continuavam em aberto.

Por que são precisos $k$

Antes da prova, vale ver que Fermat não exagerou: há números que realmente precisam de $k$ parcelas. Olhe para $2k - 1$. Os números com $k$ lados menores que ele são só $0$, $1$ e $k$, porque o próximo, $P_k(3) = 3k - 3$, já é maior que $2k - 1$ quando $k > 2$. Podemos usar $k$ no máximo uma vez, pois $2k > 2k - 1$. Então

$$2k - 1 = k + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{k-1}$$

é a forma mais econômica: são $k$ parcelas. Para os quadrados ($k = 4$), o número 7 precisa de quatro: $7 = 4 + 1 + 1 + 1$. Para os triangulares, $5 = 3 + 1 + 1$. Para os pentagonais, $9 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1$.

A prova de Cauchy

Cauchy apresentou a demonstração completa à Academia em 1813 e a publicou em 1815. O ponto de partida é o teorema de Gauss sobre os triangulares, ou, o que é equivalente, o fato de que todo número da forma $8m + 3$ é soma de três quadrados ímpares. A partir daí, Cauchy provou um lema engenhoso: se $a$ e $b$ são ímpares e

$$b^2 < 4a \quad\text{e}\quad 3a < b^2 + 2b + 4,$$

então existem inteiros $s, t, u, v \ge 0$ com

$$a = s^2 + t^2 + u^2 + v^2 \quad\text{e}\quad b = s + t + u + v.$$

Ou seja, dá para escolher quatro quadrados com soma $a$ e com raízes de soma $b$ ao mesmo tempo. Agora, um número poligonal é uma combinação de $n^2$ e $n$, pois $P_k(n) = \frac{k-2}{2}\,n^2 - \frac{k-4}{2}\,n$. Somando quatro deles com $n = s, t, u, v$, aparecem exatamente $a$ e $b$:

$$P_k(s) + P_k(t) + P_k(u) + P_k(v) = \frac{k-2}{2}\,a - \frac{k-4}{2}\,b.$$

Com uma escolha cuidadosa de $a$ e $b$, Cauchy mostrou que todo número suficientemente grande é igual a essa expressão mais um resto pequeno, que se completa com parcelas iguais a 0 ou 1. Os números pequenos se verificam um a um. O resultado é até mais forte que o de Fermat: das $k$ parcelas, todas menos quatro podem ser 0 ou 1.

Exercício: o número 30 de três maneiras

Escreva 30 como soma de três triangulares, de quatro quadrados e de cinco pentagonais.

Triangulares: $0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28$. Por exemplo, $30 = 15 + 15 + 0$, ou $30 = 21 + 6 + 3$.

Quadrados: $30 = 25 + 4 + 1 + 0$, ou $30 = 16 + 9 + 4 + 1$.

Pentagonais: $0, 1, 5, 12, 22$. Por exemplo, $30 = 22 + 5 + 1 + 1 + 1$, ou $30 = 12 + 12 + 5 + 1 + 0$.

Exercício: os hexagonais

Calcule os primeiros números hexagonais e verifique que 11 precisa de seis parcelas.

Com $k = 6$, $P_6(n) = \frac{n(4n - 2)}{2} = n(2n - 1)$: $0, 1, 6, 15, 28, \ldots$ Para escrever $11 = 2 \cdot 6 - 1$, só servem 0, 1 e 6, e o 6 entra no máximo uma vez. A melhor forma é $11 = 6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1$: seis parcelas, exatamente o que o teorema permite.

Fontes: Augustin-Louis Cauchy, “Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones”, Mémoires de l’Institut (1813–1815), em Œuvres complètes, série 2, tomo 6 · Melvyn B. Nathanson, “A short proof of Cauchy’s polygonal number theorem”, Proceedings of the AMS 99 (1987) · Leonard E. Dickson, History of the Theory of Numbers, vol. 2, cap. 1 (1920).

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