Euler's Eyes
2026-10-30
Limites e continuidade
No século XVIII o cálculo era uma máquina formidável e um pouco misteriosa. Euler somava séries divergentes e tirava delas resultados certos; Lagrange tentava basear tudo nas séries de potências; os livros falavam de quantidades “infinitamente pequenas” que eram zero quando convinha e diferentes de zero quando não convinha. Funcionava, mas ninguém conseguia explicar exatamente por quê.
O Curso de análise
Em 1821 Cauchy publicou o Curso de análise da Escola Real Politécnica, com as lições que dava aos futuros engenheiros. No prefácio anunciava a intenção de dar à análise “todo o rigor que se exige na geometria”. Tudo começa com uma definição:
Quando os valores atribuídos sucessivamente a uma mesma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo, de modo a acabar diferindo dele tão pouco quanto se queira, este último é chamado o limite de todos os outros.
— Augustin-Louis Cauchy, Curso de análise (1821)
A partir daí, um infinitésimo deixa de ser uma quantidade misteriosa: é simplesmente uma variável cujo limite é zero. Por exemplo, $\frac{1}{n}$ é um infinitésimo quando $n$ cresce, porque, dado qualquer número pequeno, $\frac{1}{n}$ acaba ficando menor que ele e não volta mais.
Função contínua
A segunda definição é a de continuidade. Para Euler, uma função contínua era uma função dada por uma única fórmula. Cauchy trocou essa ideia por outra, que olha para o comportamento da função:
A função f(x) será contínua entre os limites dados se, para cada valor de x entre esses limites, o valor numérico da diferença f(x + α) − f(x) decrescer indefinidamente com o de α.
— Augustin-Louis Cauchy, Curso de análise (1821)
Em linguagem de hoje: um pequeno acréscimo na variável produz um pequeno acréscimo na função. Quarenta anos depois, Weierstrass escreveria isso com as letras que todo estudante conhece: para cada $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $|f(x+\alpha) - f(x)| < \varepsilon$ sempre que $|\alpha| < \delta$. As próprias letras já aparecem nas demonstrações de Cauchy de 1823.
O teorema do valor intermediário
Com a definição na mão, Cauchy provou um fato que todos achavam evidente: se $f$ é contínua em $[a, b]$ e $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais contrários, existe um ponto entre $a$ e $b$ onde $f$ vale zero. O tcheco Bernard Bolzano tinha publicado uma prova em 1817, que quase ninguém leu.
A ideia de Cauchy é ir estreitando o intervalo. Na versão mais simples, a da bissecção, corta-se $[a, b]$ ao meio e fica-se com a metade em que a função continua trocando de sinal. Repetindo, obtêm-se intervalos encaixados, cada um com metade do comprimento do anterior. As pontas da esquerda formam uma sequência que só cresce, as da direita uma que só decresce, e a distância entre elas tende a zero: as duas têm o mesmo limite $c$. Pela continuidade, $f(c)$ é o limite dos valores negativos nas pontas de um lado e dos positivos nas pontas do outro. Só pode ser $f(c) = 0$.
Veja com $f(x) = x^3 - 2x - 5$, a equação que Newton usou para mostrar o seu método. Como $f(2) = -1$ e $f(3) = 16$, há uma raiz entre 2 e 3:
| passo | intervalo | meio $m$ | $f(m)$ |
|---|---|---|---|
| 1 | $[2;\ 3]$ | $2{,}5$ | $5{,}625 > 0$ |
| 2 | $[2;\ 2{,}5]$ | $2{,}25$ | $1{,}891 > 0$ |
| 3 | $[2;\ 2{,}25]$ | $2{,}125$ | $0{,}346 > 0$ |
| 4 | $[2;\ 2{,}125]$ | $2{,}0625$ | $-0{,}351 < 0$ |
| 5 | $[2{,}0625;\ 2{,}125]$ | $2{,}09375$ | $-0{,}009 < 0$ |
Depois de cinco passos a raiz está em $[2{,}09375;\ 2{,}125]$; o valor exato é $2{,}0945515\ldots$ Na figura, avance os passos e veja o intervalo se fechar:
Exercício: quantos passos?
Começando com um intervalo de comprimento 1, quantos passos de bissecção são necessários para garantir a raiz com erro menor que $10^{-6}$?
Depois de $n$ passos o intervalo tem comprimento $2^{-n}$. Queremos $2^{-n} < 10^{-6}$, ou seja, $2^n > 1\,000\,000$. Como $2^{19} = 524\,288$ e $2^{20} = 1\,048\,576$, bastam $n = 20$ passos. Cada passo dá um pouco mais de 0,3 casa decimal, porque $\log_{10} 2 \approx 0{,}301$.
Exercício: uma equação do quinto grau
Mostre que $x^5 - x - 1 = 0$ tem uma raiz entre 1 e 2 e faça três passos de bissecção.
$f(1) = -1 < 0$ e $f(2) = 32 - 2 - 1 = 29 > 0$. Como $f$ é contínua, há uma raiz em $[1, 2]$. Passo 1: $f(1{,}5) \approx 5{,}09 > 0$, a raiz está em $[1;\ 1{,}5]$. Passo 2: $f(1{,}25) \approx 0{,}80 > 0$, fica $[1;\ 1{,}25]$. Passo 3: $f(1{,}125) \approx -0{,}32 < 0$, fica $[1{,}125;\ 1{,}25]$. A raiz é $1{,}1673\ldots$ Essa equação não pode ser resolvida com radicais, como mostraram Abel e Galois, mas a bissecção a encontra com quantas casas se queira.
Fontes: Augustin-Louis Cauchy, Cours d’analyse de l’École royale polytechnique. 1re partie: Analyse algébrique (1821), cap. 2 e nota III · Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus (1981) · Robert E. Bradley e C. Edward Sandifer, Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation (2009) · George Berkeley, The Analyst (1734).
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