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A álgebra feita com quadrados e retângulos

Se uma reta for cortada ao acaso, o quadrado sobre a reta toda é igual aos quadrados sobre os segmentos e duas vezes o retângulo contido pelos segmentos. — Euclides, Elementos, Proposição II.4 Os gregos não tinham letras para as incógnitas, nem sinais de mais e de menos, nem o sinal de igual. Quando queriam falar de $a\cdot b$, falavam de um retângulo de lados $a$ e $b$; quando queriam $a^2$, falavam de um quadrado de lado $a$. As palavras “quadrado” e “cubo”, que usamos para as potências, vêm daí. O Livro II dos Elementos é inteiro feito assim: são identidades da álgebra, enunciadas e provadas como fatos sobre áreas. Os historiadores o chamam de álgebra geométrica.

October 12, 2026 Iniciar leitura
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E = mc²: a energia escondida na massa

Ocorreu-me ainda uma consequência do trabalho sobre a eletrodinâmica. O princípio da relatividade, junto com as equações de Maxwell, exige que a massa seja uma medida direta da energia contida num corpo. A ideia é engraçada e sedutora; mas não sei se o Senhor não está rindo disso e me fazendo de bobo. — Albert Einstein, carta a Conrad Habicht (verão de 1905) Em setembro de 1905, três meses depois do artigo da relatividade, Einstein mandou aos Annalen der Physik um complemento de apenas três páginas, com um título em forma de pergunta: “A inércia de um corpo depende do seu conteúdo de energia?”. A resposta era sim, e a conclusão, escrita em palavras e com outras letras, é a fórmula mais famosa da física:

October 12, 2026 Iniciar leitura
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A arte de conjecturar: contar as chances

Conjecturar uma coisa é medir a sua probabilidade. Por isso definimos a arte de conjecturar, ou estocástica, como a arte de medir o mais exatamente possível as probabilidades das coisas, para que, nos nossos juízos e ações, possamos sempre escolher ou seguir aquilo que nos pareça melhor, mais satisfatório, mais seguro ou mais ponderado. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Em 1654, Pascal e Fermat trocaram cartas sobre como dividir o dinheiro de um jogo interrompido. Em 1657, o holandês Christiaan Huygens publicou um livrinho de quinze páginas sobre os cálculos dos jogos de dados. Eram problemas de salão: dados, cartas, apostas.

October 11, 2026 Iniciar leitura
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A Pascalina: uma soma feita por engrenagens

Em 1640, Étienne Pascal foi nomeado coletor de impostos da Normandia. O trabalho era somar colunas e colunas de valores, noite adentro, e o filho Blaise, então com 17 anos, ajudava. Para piorar, o dinheiro francês não era decimal: $$1\ \text{livra}=20\ \text{soldos},\qquad 1\ \text{soldo}=12\ \text{dinheiros}.$$Somar $3$ livras, $15$ soldos e $8$ dinheiros com $2$ livras, $7$ soldos e $9$ dinheiros exige três tipos de “vai um”: dinheiros: $8+9=17$, que é $1$ soldo e $5$ dinheiros; soldos: $15+7+1=23$, que é $1$ livra e $3$ soldos; livras: $3+2+1=6$. Resultado: $6$ livras, $3$ soldos e $5$ dinheiros. Faça isso mil vezes por noite e você vai errar. Em 1642, Blaise começou a construir uma máquina que não errasse.

October 8, 2026 Iniciar leitura
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Números de Fermat: uma conjectura e um contraexemplo

Os matemáticos sempre sonharam com uma fórmula que só produzisse números primos. Em 1640, Fermat achou que tinha encontrado uma. Cinco primos seguidos Fermat estudou os números da forma $$F_n=2^{2^n}+1.$$O expoente é uma potência de 2: $1,2,4,8,16,\ldots$ Calculando os primeiros: $$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$Os cinco são primos. Verificar $65\,537$ à mão, testando divisores até sua raiz quadrada, já dava trabalho. Fermat escreveu a Frénicle de Bessy que estava convencido de que todos os números dessa forma eram primos, embora admitisse não ter uma demonstração.

October 7, 2026 Iniciar leitura
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A aritmética binária: representar números com 0 e 1

Por que contamos de dez em dez? Provavelmente porque temos dez dedos. Não há nada de especial no número 10: dá para escrever qualquer número com qualquer base. Leibniz levou essa ideia ao extremo e perguntou: qual é o menor número de algarismos com que se consegue escrever tudo? A resposta é dois: 0 e 1. Cada posição vale o dobro Os números de 0 a 32 escritos em binário, na tabela do artigo Explicação da aritmética binária, que Leibniz publicou em 1703 nas memórias da Academia de Ciências de Paris.G. W. Leibniz (1703) · Wikimedia Commons · domínio público No sistema decimal, as posições valem 1, 10, 100, 1000… e cada algarismo diz quantas vezes usamos aquele valor. No sistema binário, as posições valem 1, 2, 4, 8, 16, 32… e cada algarismo só pode dizer sim (1) ou não (0).

October 6, 2026 Iniciar leitura
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O método de Newton: aproximar raízes com tangentes

Algumas equações não têm fórmula. Não existe uma “Bhaskara” para $e^x+x-3=0$, e a fórmula das equações de terceiro grau é tão trabalhosa que quase ninguém a usa. Nesses casos, o jeito é aproximar: chutar um valor, ver o quanto erramos e corrigir o chute. A questão é como corrigir bem. O exemplo de Newton No De analysi, de 1669, Newton escolheu a equação $$y^3-2y-5=0.$$Testando, ele viu que a raiz fica perto de $2$, porque $2^3-2\cdot2-5=-1$. Então escreveu $y=2+p$, onde $p$ é a correção que falta, e substituiu:

October 6, 2026 Iniciar leitura
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O teorema fundamental da álgebra

Na tese de doutorado, em 1799, Gauss provou que todo polinômio de grau $n$ tem $n$ raízes, desde que se aceitem os números complexos. Por exemplo, $x^2 + 1 = 0$ não tem solução real, mas tem duas complexas: $$x^2 + 1 = (x - i)(x + i).$$ Gauss também popularizou o jeito de desenhar os números complexos como pontos de um plano, o plano complexo: $a + bi$ é o ponto $(a, b)$. O norueguês Caspar Wessel (1797) e o suíço Jean-Robert Argand (1806) tiveram a mesma ideia, mas quase ninguém leu seus trabalhos; foi a fama de Gauss, a partir de 1831, que espalhou o desenho. Por isso ele também se chama plano de Argand-Gauss. E aí aparece uma ligação bonita com o polígono de 17 lados. As três raízes de $x^3 = 1$ são

October 1, 2026 Iniciar leitura
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Os ângulos dos poliedros e a fórmula de Euler

Num vértice de um cubo se encontram três quadrados, e os ângulos deles somam $3 \times 90° = 270°$. Faltam $90°$ para completar uma volta: esse é o defeito do vértice. Por volta de 1630, Descartes descobriu que, num poliedro convexo, a soma dos defeitos de todos os vértices é sempre 720°. Poliedro Ângulos num vértice Defeito Vértices Soma Tetraedro 3 × 60° = 180° 180° 4 720° Cubo 3 × 90° = 270° 90° 8 720° Octaedro 4 × 60° = 240° 120° 6 720° Dodecaedro 3 × 108° = 324° 36° 20 720° Icosaedro 5 × 60° = 300° 60° 12 720° As faces em volta de um vértice, abertas no plano. A fatia vermelha é o defeito, o ângulo que falta para completar 360°. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

September 30, 2026 Iniciar leitura
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A fórmula de Euler e a "equação mais bonita"

O número $e$ pode ser escrito como uma série: $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$ Euler teve a coragem de colocar um número imaginário no expoente. Trocando $x$ por $i\theta$ e usando $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$: $$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$ Separando os termos sem $i$ dos termos com $i$:

September 29, 2026 Iniciar leitura
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A desigualdade de Cauchy

O Curso de análise de 1821 termina com nove notas, uma espécie de apêndice com resultados que Cauchy não quis pôr no corpo do texto. A segunda, sobre as desigualdades, contém duas joias que qualquer estudante de olimpíada conhece. A desigualdade O teorema de Cauchy diz que, para quaisquer números reais $a_1, \ldots, a_n$ e $b_1, \ldots, b_n$, $$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2),$$com igualdade só quando as duas listas são proporcionais.

October 31, 2026 Iniciar leitura
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A função zeta

A função que leva o nome de Riemann foi estudada antes por Euler. Para um número real $s$ maior que 1, a série $$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$converge. Euler calculou vários dos seus valores, como $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$, a solução do problema de Basileia. O produto de Euler A descoberta mais profunda de Euler, de 1737, foi que a mesma função pode ser escrita como um produto sobre os números primos:

October 31, 2026 Iniciar leitura