História Da Matemática

A área sob a curva e o número π

O terceiro livro das Instituzioni trata do cálculo integral: áreas sob curvas, volumes, comprimentos. A versiera dá um exemplo surpreendente. A curva nunca toca o eixo $x$; ela se estende sem fim para os dois lados. Mesmo assim, a região entre a curva e o eixo tem área finita. Uma primitiva conhecida Com $a = 1$, a curva é $y = \frac{1}{1 + x^2}$. Precisamos de uma função cuja derivada seja $\frac{1}{1 + x^2}$. Ela existe e é velha conhecida: o arco tangente. Se $u = \arctan x$, então $x = \tan u$ e

October 29, 2026 Iniciar leitura

Os quatérnios: a fórmula da ponte

Depois de mostrar que os complexos são pares de números reais e que a sua multiplicação gira o plano, Hamilton quis fazer o mesmo no espaço. Procurava tripletos $a + bi + cj$, com uma multiplicação que respeitasse a lei dos módulos: o tamanho do produto deveria ser o produto dos tamanhos. Tentou durante anos, sobretudo em 1843, a ponto de os filhos lhe perguntarem toda manhã se já sabia multiplicar tripletos.

October 27, 2026 Iniciar leitura

A arquitetura de von Neumann: o relatório do EDVAC

O ENIAC, terminado em 1945 na Universidade da Pensilvânia, era o computador eletrônico mais rápido do mundo: fazia cinco mil somas por segundo com quase dezoito mil válvulas. Mas para mudar de cálculo era preciso religar fios e chaves num painel, um trabalho de dias feito por uma equipe de programadoras. Duas programadoras operando o painel de controle do ENIAC, na Moore School da Universidade da Pensilvânia, por volta de 1946.Exército dos Estados Unidos · Wikimedia Commons · domínio público Os engenheiros do ENIAC, J. Presper Eckert e John Mauchly, já planejavam a máquina seguinte, o EDVAC, em que o programa ficaria guardado na memória. Von Neumann passou a frequentar as reuniões e, em junho de 1945, escreveu um texto que organizava as ideias do grupo numa linguagem abstrata, quase biológica, falando em “órgãos” e “neurônios”.

October 26, 2026 Iniciar leitura

A máquina universal: o programa também é um dado

Cada máquina de Turing faz uma coisa só. A que soma 1 soma 1; a que escreve $\frac17$ escreve $\frac17$. Para fazer outra conta, seria preciso outra máquina. Em 1936, isso era o normal: as calculadoras mecânicas, os tabuladores de cartões e as máquinas de tábuas de maré eram construídos para uma tarefa, e trocar de tarefa era trocar de máquina ou religar fios. No mesmo artigo, Turing mostrou que isso não é necessário.

October 18, 2026 Iniciar leitura

Os ossos de Napier: multiplicar com barras

Os logaritmos serviam para os grandes cálculos da astronomia. Para as contas do dia a dia, Napier inventou outra coisa, publicada em 1617, o ano da sua morte, num livrinho chamado Rabdologia, do grego rhabdos, vara, e lógos, cálculo: cálculo com varetas. As barras Cada barra, ou “osso”, porque as mais caras eram feitas de marfim, traz no alto um algarismo de 0 a 9 e, embaixo, os seus múltiplos de 1 a 9, em nove quadradinhos cortados por uma diagonal. Acima da diagonal fica a dezena; abaixo, a unidade. A barra do 7, por exemplo, mostra $0/7$, $1/4$, $2/1$, $2/8$, $3/5$, $4/2$, $4/9$, $5/6$, $6/3$.

October 17, 2026 Iniciar leitura

Os imaginários de Galois: os corpos finitos

Em junho de 1830, aos 18 anos, Galois publicou um artigo curto, Sobre a teoria dos números, num boletim científico de Paris. Nele inventou números novos, que chamou de imaginários, para um mundo em que só existem finitos números. Por mais de um século, o artigo pareceu uma curiosidade. Hoje, ele está dentro de todo celular. Contar com restos Na aritmética do relógio, contamos só com os restos da divisão por um número fixo. Com o número 5, só existem $0, 1, 2, 3, 4$, e as contas “dão a volta”:

October 16, 2026 Iniciar leitura

Dividir a lemniscata com régua e compasso

Em 1694, Jakob Bernoulli estudou uma curva em forma de oito deitado, que chamou de lemniscus, uma fita de laço. Com os focos nos pontos $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$, ela é o conjunto dos pontos cujo produto das distâncias aos dois focos vale $\frac12$. A equação é $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,$$ou, em coordenadas polares, $r^2=\cos2\theta$. Abel, um século e meio depois, provou sobre ela um teorema que parece saído do livro de Euclides: para que números $n$ dá para dividir a lemniscata em $n$ arcos de mesmo comprimento usando só régua e compasso?

October 16, 2026 Iniciar leitura

A solução de barganha de Nash

Apresenta-se um novo tratamento de um problema econômico clássico, que aparece em muitas formas, como a barganha e o monopólio bilateral. — John Nash, The Bargaining Problem (1950) Em 1948, ainda aluno de graduação no Carnegie Institute of Technology, Nash fez um curso de economia internacional, o único curso de economia da sua vida. Saiu dele com uma pergunta: quando duas pessoas negociam, como dividem os ganhos de um acordo? Os economistas achavam que a resposta dependia da psicologia, da habilidade e do blefe de cada um, e que não havia nada a dizer em geral. Nash mostrou que, se o acordo tiver de satisfazer algumas exigências razoáveis, só existe uma resposta possível. O trabalho, escrito antes de ele chegar a Princeton, foi publicado em 1950 na revista Econometrica.

October 15, 2026 Iniciar leitura

As equações de Maxwell: das linhas de força de Faraday aos vetores

Fiquei quase assustado, no começo, ao ver tanta força matemática aplicada ao assunto, e depois me admirei de ver que o assunto a suportava tão bem. — Michael Faraday, carta a Maxwell (25 de março de 1857) Até 1820, eletricidade e magnetismo eram assuntos separados. A eletricidade fazia faíscas e arrepiava os cabelos; o magnetismo fazia as bússolas apontarem para o norte. Naquele ano, numa aula na Universidade de Copenhague, o dinamarquês Hans Christian Oersted ligou uma pilha a um fio e viu que uma agulha magnética próxima se mexia. A corrente elétrica produzia magnetismo.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Quatro quadrados bastam

Pegue um número inteiro positivo qualquer e tente escrevê-lo como soma de quadrados perfeitos, $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$, usando o menor número possível de parcelas: $$\begin{aligned} 5&=4+1,\\ 6&=4+1+1,\\ 7&=4+1+1+1,\\ 30&=25+4+1,\\ 2026&=2025+1=45^2+1^2. \end{aligned}$$Alguns números são quadrados, outros precisam de dois, outros de três. O 7 precisa de quatro: não há outro jeito. Será que algum número precisa de cinco? Em 1770, Lagrange provou que não: Todo número inteiro positivo é soma de quatro quadrados de inteiros.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O cálculo exponencial: derivar x elevado a x

O cálculo de Leibniz sabia derivar potências com expoente fixo, como $x^3$ ou $x^{1/2}$: a derivada de $x^n$ é $nx^{n-1}$. Mas, em 1694, numa carta a Leibniz, Johann Bernoulli pôs na mesa um bicho estranho: a expressão $$y=x^x,$$em que a base e o expoente variam ao mesmo tempo. A regra de $x^n$ não serve, porque o expoente não é fixo. A regra de $a^x$ também não, porque a base não é fixa. Em 1697, Johann publicou nas Acta Eruditorum os “princípios do cálculo exponencial”, com o método para tratar essas potências, que ele chamava de percorrentes, porque o expoente percorre valores.

October 13, 2026 Iniciar leitura

A identidade de Sophie Germain: fatorar o que parece primo

Há números que parecem primos e não são. O $629$, por exemplo, não é par, não termina em 5 e não é múltiplo de 3. Mas $629=5^4+4$, e essa forma o entrega: ele se fatora por uma identidade que leva o nome de Sophie Germain. A identidade Para quaisquer números $a$ e $b$, $$\begin{aligned}a^4+4b^4={}&\left(a^2+2b^2+2ab\right)\\&\times\left(a^2+2b^2-2ab\right).\end{aligned}$$O truque para descobri-la é completar o quadrado, como na fórmula de Bhaskara. A soma $a^4+4b^4$ é quase o quadrado de $a^2+2b^2$; falta só o termo do meio, $4a^2b^2$. Somando e subtraindo esse termo,

October 13, 2026 Iniciar leitura