História Da Matemática

O desenvolvimento de Laplace dos determinantes

Os determinantes nasceram para resolver sistemas de equações lineares. Em 1750 Gabriel Cramer publicou a regra que leva o seu nome, que dá cada incógnita como uma razão de duas expressões formadas com os coeficientes. Mas faltava um jeito organizado de calcular essas expressões quando havia muitas incógnitas. Em 1772, quase ao mesmo tempo, Alexandre-Théophile Vandermonde e Laplace estudaram essas expressões como objetos por si mesmos. A palavra determinante, no sentido atual, só foi fixada por Cauchy em 1812, e as barras verticais que usamos hoje vieram de Arthur Cayley em 1841.

October 30, 2026 Iniciar leitura

A esfera e o cilindro

Os geômetras gregos sabiam calcular o volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones. A esfera resistia. No tratado em dois livros Sobre a esfera e o cilindro, Arquimedes resolveu o problema e encontrou relações de uma simplicidade surpreendente. Os teoremas Chame de círculo máximo o círculo que passa pelo centro da esfera, como o equador. Arquimedes demonstrou que: a superfície da esfera é quatro vezes a área do círculo máximo: $S = 4\pi r^2$; o volume da esfera é quatro vezes o de um cone cuja base é o círculo máximo e cuja altura é o raio: $V = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$. E daí tirou a consequência que mais o encantava. Considere o cilindro que envolve a esfera exatamente, com raio $r$ e altura $2r$. O seu volume é $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$, e a superfície total, contando as duas tampas, é $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$. Então

October 29, 2026 Iniciar leitura

O método inverso das tangentes

O cálculo diferencial responde a uma pergunta: dada uma curva, qual é a sua tangente em cada ponto? Os matemáticos do século XVII logo perceberam que a pergunta inversa era mais difícil e mais útil: dada uma propriedade que as tangentes devem ter, qual é a curva? Esse problema recebeu o nome de método inverso das tangentes, e é o tema do quarto e último livro das Instituzioni analitiche. Hoje o chamamos de resolver uma equação diferencial.

October 29, 2026 Iniciar leitura

Girar no espaço com quatérnios

Os complexos de módulo 1 giram o plano. Hamilton esperava que os seus números fizessem o mesmo no espaço, e fazem, mas de um modo mais sutil do que ele imaginou de início. A receita Escreva um ponto do espaço $(x, y, z)$ como o quatérnio puro $v = xi + yj + zk$. Para girar um ângulo $\theta$ em torno de um eixo dado por um vetor unitário $u = u_1 i + u_2 j + u_3 k$, tome

October 27, 2026 Iniciar leitura

O merge sort: ordenar juntando

Ordenar uma lista é uma das tarefas que os computadores mais fazem: nomes num cadastro, preços numa busca, resultados de uma eleição. Em 1945, quando o EDVAC ainda estava no papel, von Neumann quis mostrar que a máquina do seu relatório servia para trabalhos que não eram só contas, e escreveu à mão um programa para ordenar e intercalar listas. É um dos primeiros programas escritos para um computador de programa armazenado, e o método que ele usou, hoje chamado de merge sort, ainda é um dos mais usados.

October 26, 2026 Iniciar leitura

A Enigma: 159 quintilhões de chaves e um defeito

Uma máquina Enigma de três rotores, exposta no Museu Nacional de Criptologia, da agência de segurança americana. Em cima, os rotores; no meio, as lâmpadas; embaixo, o teclado; na frente, o painel de conexões.National Security Agency · Wikimedia Commons · domínio público A Enigma parecia uma máquina de escrever dentro de uma caixa de madeira. O operador apertava uma letra no teclado e outra letra se acendia num painel de lâmpadas. Um segundo operador anotava as letras acesas, e essa sequência era transmitida por rádio, em código Morse. Do outro lado, um operador com uma máquina igual, ajustada da mesma maneira, digitava a mensagem cifrada e lia o texto original nas lâmpadas.

October 18, 2026 Iniciar leitura

A régua de cálculo: logaritmos que deslizam

Uma tábua de logaritmos ainda exige procurar números, somar e procurar de novo. Poucos anos depois de Napier, os ingleses perceberam que era possível pôr os logaritmos numa régua e fazer a soma com as mãos. A escala de Gunter Em 1620, o astrônomo Edmund Gunter, colega de Briggs no Gresham College, desenhou uma régua em que cada número $x$ ficava a uma distância proporcional a $\log x$ da marca do 1:

October 17, 2026 Iniciar leitura

Duplicar o cubo e trissectar o ângulo: as construções impossíveis

Os gregos deixaram três problemas de construção que ninguém conseguiu resolver com régua e compasso, as ferramentas dos Elementos de Euclides: Duplicar o cubo: construir a aresta de um cubo com o dobro do volume de um cubo dado. Trissectar o ângulo: dividir um ângulo qualquer em três partes iguais. Quadrar o círculo: construir um quadrado com a mesma área de um círculo dado. Conta a lenda que, durante uma peste, o oráculo de Delos mandou os atenienses dobrarem o altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo. Eles dobraram a aresta, o volume ficou oito vezes maior, e a peste continuou. Por dois mil anos, os matemáticos tentaram. A resposta só veio no século XIX, com as ideias de Gauss e de Galois: é impossível.

October 16, 2026 Iniciar leitura

Grupos abelianos: quando a ordem não importa

Calçar a meia e depois o sapato não dá o mesmo resultado que calçar o sapato e depois a meia. Somar 3 e depois 5 dá o mesmo que somar 5 e depois 3. Quando a ordem de duas operações não muda o resultado, dizemos que elas comutam. A palavra que os matemáticos usam para as estruturas em que tudo comuta é uma homenagem a Abel: abeliano. A última memória Depois de provar que a equação geral do quinto grau não tem fórmula, Abel quis saber quais equações têm. Em 1829, num dos últimos artigos que publicou no Jornal de Crelle, estudou uma família especial: as equações em que todas as raízes podem ser obtidas de uma delas, $x$, por funções racionais $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ que comutam entre si:

October 16, 2026 Iniciar leitura

Amassar sem esticar: o teorema da imersão

Pegue uma folha de papel. Você pode enrolá-la num cilindro sem rasgar nem esticar: as distâncias medidas sobre a folha, com uma régua flexível, continuam as mesmas. Mas não consegue embrulhar uma bola com ela sem fazer pregas. A folha e a esfera têm geometrias internas diferentes, e Gauss provou em 1827 que essa diferença, a curvatura, não muda quando a superfície é dobrada sem esticar. No século XIX, Bernhard Riemann teve uma ideia ainda mais ousada: descrever uma superfície, ou um espaço de qualquer dimensão, só pelas suas medidas internas, sem desenhá-la em lugar nenhum. Basta uma regra, a métrica, que diz como medir o comprimento de qualquer curva. É assim que a relatividade geral descreve o espaço-tempo: por dentro, sem um espaço maior em volta.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A corrente de deslocamento: o termo que faltava

Das quatro equações de Maxwell, três já eram conhecidas de alguma forma antes dele: a de Gauss, a do magnetismo e a de Faraday. A quarta, a de Ampère, também, mas estava incompleta. O que Maxwell acrescentou a ela foi um único termo, $\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$. Parece pouco. Foi esse termo que fez a eletricidade e o magnetismo virarem luz. A lei de Ampère Em 1826, o francês André-Marie Ampère encontrou a regra que liga uma corrente ao campo magnético em volta dela. Em linguagem de hoje: se você percorre um caminho fechado em volta de um fio e soma a componente do campo magnético ao longo do caminho, o resultado é proporcional à corrente $I$ que atravessa qualquer superfície apoiada nesse caminho:

October 14, 2026 Iniciar leitura

Permutar as raízes: o teorema de Lagrange

Em 1770, a álgebra tinha um problema parado havia mais de dois séculos. Existiam fórmulas para resolver as equações de grau 2, a de Bhaskara, e também as de grau 3 e 4, publicadas por Cardano em 1545. Para o grau 5, ninguém achava nada. Os melhores matemáticos tinham tentado, e cada método que funcionava até o grau 4 emperrava no 5. Lagrange não tentou mais um método. Fez uma pergunta diferente: por que os métodos antigos funcionam?

October 14, 2026 Iniciar leitura