História Da Matemática

A espiral maravilhosa e a lemniscata

Com o cálculo de Leibniz nas mãos, os irmãos Bernoulli saíram à caça de curvas. Para cada uma perguntavam: qual é a tangente, qual é o comprimento, qual é a área, qual é a curvatura? Muitas dessas curvas eram conhecidas desde os gregos, mas só agora se podia responder a essas perguntas com uma regra geral. Duas ficaram para sempre com o nome de Jakob. A espiral que não muda de forma A espiral logarítmica já tinha sido estudada por Descartes e por Torricelli. Em coordenadas polares, em que cada ponto é dado pela distância $r$ ao centro e pelo ângulo $\theta$, ela é

October 11, 2026 Iniciar leitura

Os dados do Cavaleiro de Méré e a partilha justa

Antoine Gombaud, que se apresentava como Cavaleiro de Méré, era um escritor da corte francesa e um jogador apaixonado. Por volta de 1654, levou a Pascal duas perguntas sobre apostas. Pascal achou as perguntas tão boas que escreveu a Pierre de Fermat, e daquelas cartas nasceu a teoria das probabilidades. Sobre o amigo, Pascal comentou com Fermat: Ele tem muito bom espírito, mas não é geômetra; e isso, como o senhor sabe, é um grande defeito. — Blaise Pascal, carta a Fermat (29 de julho de 1654)

October 8, 2026 Iniciar leitura

O pequeno teorema de Fermat: potências e restos

Pegue o número 2 e eleve a potências cada vez maiores. Divida cada resultado por 7 e anote o resto: Potência $2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ Valor 2 4 8 16 32 64 Resto por 7 2 4 1 2 4 1 Em $2^6$, o resto é 1. Agora tente com 3 e o primo 5: $3^4=81$, que deixa resto 1 na divisão por 5. E com 10 e o primo 13: $10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$, que também deixa resto 1 na divisão por 13.

October 7, 2026 Iniciar leitura

O símbolo ∫: da soma à acumulação

Em 29 de outubro de 1675, Leibniz estava em Paris trabalhando num problema de áreas. Até ali, ele escrevia omn., abreviação do latim omnia, “todos”, para indicar a soma de todas as linhas de uma figura, como fazia o italiano Cavalieri. No meio da página, escreveu: Será útil escrever ∫ em vez de omn. — Leibniz, manuscrito de 29 de outubro de 1675 O símbolo $\int$ é um S alongado, de summa, soma. Na época, o S comprido era uma letra comum na escrita. Desde então, nunca mais foi substituído.

October 6, 2026 Iniciar leitura

Áreas e integração: o caminho inverso das fluxions

Medir áreas de figuras curvas é um dos problemas mais antigos da matemática. Arquimedes, por volta de 250 a.C., mostrou que a área de um segmento de parábola é $\frac43$ da área de um triângulo inscrito nele. Foi um feito genial, mas feito sob medida: cada curva nova exigia uma ideia nova. No século XVII, Fermat, Cavalieri, Wallis e outros já sabiam calcular a área sob $y=x^n$ para vários valores de $n$. Faltava uma regra geral. E faltava perceber algo que Newton e Leibniz perceberam, cada um por seu caminho: calcular áreas e calcular taxas de variação são operações inversas.

October 6, 2026 Iniciar leitura

A aritmética do relógio

Se agora são 15 h, que horas serão daqui a 10 horas? Não são “25 h”, e sim 1 h da manhã: no relógio, depois do 24 a conta recomeça. Gauss deu nome e símbolo a essa ideia nas Disquisitiones: $$25 \equiv 1 \pmod{24}$$ Lê-se “25 é côngruo a 1, módulo 24”: os dois deixam o mesmo resto na divisão por 24. O símbolo $\equiv$ funciona quase como um sinal de igual: dá para somar e multiplicar dos dois lados.

October 1, 2026 Iniciar leitura

A regra dos sinais

Quantas raízes positivas pode ter um polinômio? Descartes deu uma regra simples: o número de raízes positivas é no máximo o número de trocas de sinal entre coeficientes consecutivos (e, como se provou depois, difere dele por um número par). Veja com $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Os sinais dos coeficientes são $+\ -\ +\ -$: três trocas. Então há 3 ou 1 raízes positivas. De fato, $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$ com raízes 1, 2 e 3.

September 30, 2026 Iniciar leitura

O número $e$ e os juros compostos

1 2 3 4 Explore a cena: toque nos números. Pelo teclado, use Tab e Enter ou as setas. 1. Cliente: o capital inicial A pessoa diante do balcão representa quem leva uma quantia para uma operação. No exemplo do artigo, começamos com 100 unidades de dinheiro: esse é o capital inicial. 2. Atendimento: conferir as contas A pessoa atrás do balcão representa o atendimento e a conferência dos valores. Para acompanhar uma aplicação no nosso modelo, precisamos conhecer o capital, a taxa e o número de períodos. 3. Moedas: juros sobre juros No exemplo matemático de 100% ao ano, um pagamento anual transforma 100 em 200. Em dois semestres, a taxa de 50% leva 100 a 150 e depois 150 a 225: o segundo pagamento também rende sobre os juros anteriores. 4. Caixa: guardar não é capitalizar Dinheiro guardado não cresce sozinho. Os juros do exemplo vêm de uma regra matemática de remuneração. Explore o gráfico abaixo para comparar pagamentos anuais, mensais e cada vez mais frequentes. Experimentar os juros compostos ↓ Ampliar a gravura Banca, trapeza, mensa: a mesa dos primeiros banqueiros, entre 1450 e 1650.Reconstituição ilustrativa com IA a partir da gravura do acervo Euler’s Eyes

September 29, 2026 Iniciar leitura

A convergência das séries

Quanto vale $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$? Agrupando de um jeito, $(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0$. De outro, $1 - (1 - 1) - (1 - 1) - \cdots = 1$. Euler e Leibniz achavam que a resposta “certa” era $\frac{1}{2}$, a média. No século XVIII essas somas eram manipuladas livremente, e o hábito às vezes dava resultados absurdos. Somas parciais No capítulo 6 do Curso de análise, Cauchy cortou o problema pela raiz. Uma série $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots$ tem as somas parciais

October 31, 2026 Iniciar leitura

As hipóteses em que se funda a geometria

A questão da validade das hipóteses da geometria no infinitamente pequeno está ligada à questão do fundamento interno das relações métricas do espaço. — Bernhard Riemann, Sobre as hipóteses em que se funda a geometria (1854) Em 10 de junho de 1854, Riemann apresentou à faculdade de Göttingen a palestra Sobre as hipóteses em que se funda a geometria. Ele a escreveu para um público que incluía filósofos e historiadores, quase sem fórmulas. O texto só foi publicado em 1868, depois da sua morte, e mudou a geometria.

October 31, 2026 Iniciar leitura

A equação de Laplace

Para saber como um planeta atrai um ponto, é preciso somar a atração de cada um dos seus pedaços. Cada pedaço puxa numa direção diferente, e somar forças é trabalhoso: são vetores, com três componentes cada. Os matemáticos do século XVIII descobriram um atalho, e Laplace fez dele uma ferramenta. Somar números em vez de setas Para uma massa $M$ concentrada num ponto, considere o número $$V = \frac{M}{r},$$em que $r$ é a distância até a massa (deixamos de lado a constante $G$). Esse número, que depois recebeu o nome de potencial, guarda toda a informação da força: as componentes da atração em cada direção são as derivadas de $V$ nessa direção. E a grande vantagem é que, para várias massas, os potenciais simplesmente se somam como números. Primeiro se soma o potencial de todos os pedaços do planeta; depois, com uma derivada, se obtém a força.

October 30, 2026 Iniciar leitura

A quadratura da parábola

“Quadrar” uma figura, para os gregos, era encontrar um quadrado, ou outra figura retilínea, com a mesma área. Quadrar o círculo era o problema impossível por excelência. Arquimedes conseguiu quadrar uma figura curva: o segmento de parábola, a região entre uma parábola e uma corda. Todo segmento limitado por uma reta e por uma seção de cone retângulo é quatro terços do triângulo que tem a mesma base e a mesma altura que o segmento. — Arquimedes, Quadratura da parábola, carta a Dositeu

October 29, 2026 Iniciar leitura