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O princípio dos trabalhos virtuais

Em todo equilíbrio de forças quaisquer, de qualquer maneira que estejam aplicadas, a soma das energias positivas será igual à soma das energias negativas. — Johann Bernoulli, carta a Pierre Varignon (26 de janeiro de 1717) Desde Arquimedes, cada máquina simples tinha a sua própria explicação. A alavanca obedecia à lei dos braços; o plano inclinado, a uma decomposição de forças inventada por Stevin; a roldana, a um raciocínio sobre as cordas; o parafuso, a outro. Em 1717, numa carta ao amigo francês Pierre Varignon, Johann Bernoulli mostrou que todas essas leis são casos de um único princípio.

October 13, 2026 Iniciar leitura
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As figuras de Chladni e o prêmio das placas vibrantes

Espalhe areia sobre uma placa de metal presa pelo centro e passe um arco de violino na borda. A placa começa a cantar, e a areia, como se tivesse vontade própria, foge de alguns lugares e se junta em outros, desenhando linhas, cruzes, estrelas e curvas simétricas. Mude a nota, e o desenho muda. São as figuras de Chladni. Como se excita uma placa de Chladni: a placa é presa pelo centro e o arco de violino passa pela borda. Gravura de um livro de 1879.Autor desconhecido, 1879 · Wikimedia Commons · domínio público O som que se vê O alemão Ernst Chladni publicou essas figuras em 1787, num livro chamado Descobertas sobre a teoria do som. A explicação qualitativa é simples. Quando a placa vibra, quase todos os seus pontos sobem e descem, e jogam a areia para longe. Mas algumas linhas ficam paradas: são as linhas nodais. A areia escorrega para lá e fica. O desenho é um mapa dos lugares onde a placa não se mexe.

October 13, 2026 Iniciar leitura
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O algoritmo de Euclides: o máximo divisor comum

O algoritmo de Euclides é o avô de todos os algoritmos, porque é o mais antigo algoritmo não trivial que sobreviveu até os dias de hoje. — Donald Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2 (1969) Você tem duas varas, uma de 252 cm e outra de 105 cm, e quer encontrar a maior régua que mede as duas exatamente, um número inteiro de vezes. Em linguagem de hoje, quer o máximo divisor comum, $\operatorname{mdc}(252,105)$. Pode-se listar todos os divisores de cada número e procurar o maior em comum, mas com números grandes isso é impraticável. No Livro VII dos Elementos, Euclides ensina um caminho muito mais rápido.

October 12, 2026 Iniciar leitura
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A relatividade geral: do elevador ao eclipse de Sobral

Eu estava sentado numa cadeira no escritório de patentes de Berna quando, de repente, me ocorreu um pensamento: se uma pessoa cai livremente, ela não sente o próprio peso. Fiquei espantado. Esse pensamento simples me causou uma impressão profunda. Ele me impeliu para uma teoria da gravitação. — Albert Einstein, sobre uma ideia de 1907 A relatividade de 1905 tinha um defeito: não incluía a gravidade. A lei de Newton diz que o Sol atrai a Terra instantaneamente, através de 150 milhões de quilômetros, e a relatividade diz que nada viaja mais rápido que a luz. Einstein passou oito anos tentando consertar isso. O ponto de partida foi o que ele chamou de “o pensamento mais feliz da minha vida”.

October 12, 2026 Iniciar leitura
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O teorema de ouro: a lei dos grandes números

Até o mais tolo dos homens, por algum instinto da natureza, sozinho e sem nenhuma instrução, está convencido de que, quanto mais observações forem feitas, menor é o perigo de errar o alvo. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Com um dado, sabemos de antemão a chance de cada face: $\frac16$. Mas qual é a chance de um homem de 40 anos viver mais vinte? De chover amanhã? De um remédio funcionar? Nesses casos não há faces iguais para contar. Jakob propôs outro caminho: observar muitas vezes e usar a frequência como estimativa da probabilidade. Se, de muitos homens de 40 anos, metade chegou aos 60, a chance deve ser perto de metade.

October 11, 2026 Iniciar leitura
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O hexagrama místico: seis pontos numa cônica

Em fevereiro de 1640, circulou em Paris uma folha impressa de um lado só, como um cartaz, com o título Ensaio sobre as cônicas. Não trazia demonstrações, só definições, três lemas e uma lista de resultados. O autor tinha 16 anos e se chamava Blaise Pascal. Quando o padre Mersenne mostrou a folha a Descartes, a reação foi de desconfiança: Descartes achou que o rapaz tinha tirado tudo de Girard Desargues, o arquiteto e geômetra que Pascal admirava. A influência de Desargues era real, e o próprio Pascal a reconhecia. Mas o resultado central da folha era novo.

October 8, 2026 Iniciar leitura
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Fermat e Pascal: a divisão justa de um jogo interrompido

Dois jogadores apostam o mesmo valor num jogo de várias rodadas: ganha tudo quem vencer primeiro um certo número delas. No meio da partida, o jogo precisa ser interrompido. Como dividir o dinheiro de forma justa? Esse é o problema dos pontos. Parece simples, mas derrubou matemáticos por mais de 150 anos. A resposta errada Em 1494, o frade italiano Luca Pacioli propôs dividir o prêmio na proporção das rodadas já ganhas. Se A ganhou 2 rodadas e B ganhou 1, A leva $\frac23$ do prêmio.

October 7, 2026 Iniciar leitura
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A máquina de Leibniz: transformar contas em movimentos

Em 1642, o jovem Blaise Pascal construiu uma máquina para ajudar o pai, que era cobrador de impostos. A pascalina somava e subtraía girando engrenagens. Para multiplicar, porém, era preciso repetir a soma à mão, várias vezes. Leibniz viu uma pascalina em Paris e quis ir além: uma máquina que multiplicasse e dividisse sozinha. Multiplicar é somar e deslocar O truque é o mesmo da conta armada que aprendemos na escola. Para multiplicar $23\times14$, separamos o 14 em $4+10$:

October 6, 2026 Iniciar leitura
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As leis do movimento: forças e mudanças de velocidade

Para Aristóteles, um corpo só se move enquanto alguém o empurra. Pare de empurrar a carroça e ela para. Parece óbvio, e foi aceito por quase dois mil anos. Galileu desconfiou. Fazendo bolas rolarem em planos inclinados, percebeu que, quanto mais lisa a superfície, mais longe a bola ia. Sem atrito nenhum, ela nunca pararia. Descartes chegou a uma ideia parecida. Newton juntou essas pistas e, nos Principia de 1687, escreveu três leis que se tornaram a base de toda a mecânica.

October 6, 2026 Iniciar leitura
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Contando os números primos

Euler provou que os primos nunca acabam (veja o capítulo dele). Mas quantos são? Aos 15 anos, Gauss passava o tempo livre contando primos em tabelas, de mil em mil. Percebeu que, perto de um número $x$, mais ou menos 1 em cada $\ln x$ números é primo. Daí a estimativa: a quantidade de primos até $x$, que chamamos de $\pi(x)$, é parecida com $$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}, \qquad \text{ou melhor ainda,} \qquad \pi(x) \approx \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$ $x$ Primos até $x$ $x / \ln x$ $\text{Li}(x)$ 100 25 21,7 29,1 1 000 168 144,8 176,6 10 000 1 229 1 085,7 1 245,1 100 000 9 592 8 685,9 9 628,8 1 000 000 78 498 72 382,4 78 626,1 O computador conta os primos de verdade (em azul) e compara com as estimativas de Gauss. Quanto maior x, menor o erro em porcentagem. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 1, 2026 Iniciar leitura
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O teorema dos círculos que se beijam

Na carta de 1643 à princesa Elisabeth, Descartes tratou de quatro círculos tangentes dois a dois. Chame de curvatura de um círculo o inverso do raio, $k = \frac{1}{r}$. O teorema diz que as curvaturas satisfazem $$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$ Aplicação: três moedas iguais de raio 1 se tocam duas a duas. Qual o raio do círculo que cabe no buraco entre elas? Com $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ e $k_4 = k$:

September 30, 2026 Iniciar leitura
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A mola e as equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação em que a incógnita é uma função, e a equação fala das suas derivadas. Euler organizou esse caminho num esquema que usamos até hoje: observar um fenômeno, escrever a equação, encontrar a função que a resolve e desenhar o gráfico. flowchart LR phenomenon((FENÔMENO)) --> equation["EQUAÇÃODIFERENCIAL"] equation --> solution["FUNÇÃOSOLUÇÃO"] solution --> plottedGraph((GRÁFICO)) plottedGraph --> derivative{"DERIVADA"} derivative --> phenomenon derivative -. "localiza" .-> extrema["Pontos de máximoe de mínimo"] classDef phenomenonStyle fill:#e6f1ee,stroke:#397c75,color:#243448,stroke-width:2px classDef equationStyle fill:#eaf0f7,stroke:#58799b,color:#243448,stroke-width:2px classDef solutionStyle fill:#f8efd9,stroke:#b68b3c,color:#243448,stroke-width:2px classDef derivativeStyle fill:#f5e9e3,stroke:#9b6251,color:#243448,stroke-width:2px class phenomenon phenomenonStyle class equation,plottedGraph equationStyle class solution solutionStyle class derivative,extrema derivativeStyle O fenômeno. Em 1678, Robert Hooke resumiu o comportamento de uma mola em latim: ut tensio, sic vis, “como a extensão, assim a força”. Uma mola de constante $k$, esticada de $x$, puxa de volta com força $F = -kx$.

September 29, 2026 Iniciar leitura