História Da Matemática

A luz é uma onda eletromagnética

Mal podemos evitar a conclusão de que a luz consiste nas ondulações transversais do mesmo meio que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos. — James Clerk Maxwell, “On physical lines of force” (1862), com o itálico do original No verão de 1861, em Glenlair, longe dos livros, Maxwell fez uma conta com o seu modelo de vórtices e rodinhas: se o meio que transmite as forças elétricas e magnéticas fosse sacudido, a perturbação se propagaria como uma onda. Com que velocidade? A conta dava um número que dependia só de duas constantes medidas em laboratório com ímãs e cargas. Ele não tinha os valores à mão. Quando voltou a Londres, em outubro, foi procurá-los. O número era a velocidade da luz.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A derivada sem infinitésimos e o teorema do valor médio

No fim do século XVIII, o cálculo funcionava muito bem e ninguém sabia explicar direito por quê. Os $dx$ de Leibniz eram quantidades “infinitamente pequenas”: às vezes eram tratadas como se fossem diferentes de zero, para poder dividir por elas, e logo depois como se fossem zero, para poder desprezá-las. O bispo Berkeley tinha zombado disso em 1734, chamando-as de “fantasmas de quantidades mortas”. Lagrange se incomodava com isso. Em 1797, publicou um livro com um subtítulo que é um programa inteiro:

October 14, 2026 Iniciar leitura

O legado de Johann Bernoulli

Johann Bernoulli não escreveu um grande livro, como o irmão escreveu a Ars conjectandi ou Newton os Principia. O seu livro mais famoso saiu com o nome de outro. O que ele deixou foi um jeito de trabalhar: transformar cada problema de física ou de geometria numa equação e resolvê-la com o cálculo de Leibniz. E deixou alunos. O campeão de Leibniz Na disputa sobre quem tinha inventado o cálculo, Newton ou Leibniz, Johann foi o soldado mais combativo do lado de Leibniz. Quando a Royal Society, presidida por Newton, publicou no começo de 1713 um relatório dando a prioridade a Newton, Leibniz respondeu com uma folha anônima, a Charta volans, que citava o julgamento de “um matemático eminente”: era Johann. Nos anos seguintes, Johann desafiou os matemáticos ingleses com problemas difíceis, que considerava impossíveis com o método de Newton. Leibniz morreu em 1716, e Johann continuou a briga sozinho por anos. A disputa separou a matemática inglesa da do continente por quase um século.

October 13, 2026 Iniciar leitura

A curvatura média: de quanto uma superfície se dobra

Para escrever a equação das placas vibrantes, Sophie Germain precisou responder a uma pergunta que parece simples: quanto uma superfície está dobrada num ponto? A resposta dela, a curvatura média, é usada até hoje para estudar bolhas de sabão, membranas de células e cascas de avião. A curvatura de uma curva Comecemos por uma linha. Uma reta não se dobra, e dizemos que a sua curvatura é zero. Um círculo se dobra igualmente em todos os pontos, e quanto menor ele é, mais se dobra. Por isso a curvatura de um círculo de raio $R$ é definida como

October 13, 2026 Iniciar leitura

Os números primos não acabam

Os números primos são mais do que qualquer quantidade proposta de números primos. — Euclides, Elementos, Proposição IX.20 Um número primo é um inteiro maior que 1 que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Todos os outros, como $12=2\cdot2\cdot3$, são produtos de primos. Os primos são os átomos da aritmética. Quanto mais se avança, mais raros eles ficam. Entre 1 e 100 há 25 primos; entre 1 000 001 e 1 000 100, só 6. Será que, a partir de algum ponto, eles acabam? Euclides mostrou que não, com um argumento de quatro linhas que o matemático inglês G. H. Hardy considerava um dos mais belos de toda a matemática.

October 12, 2026 Iniciar leitura

O legado de Albert Einstein

A imaginação é mais importante que o conhecimento. O conhecimento é limitado; a imaginação abarca o mundo. — Albert Einstein, entrevista ao Saturday Evening Post (1929) Einstein é o único cientista cujo rosto todo mundo reconhece. Mas o legado dele não está nos cartazes: está em aparelhos que usamos sem pensar e em perguntas que os físicos ainda tentam responder. Várias das suas previsões só foram confirmadas décadas depois da sua morte.

October 12, 2026 Iniciar leitura

Os números de Bernoulli: somar mil potências em sete minutos

Com a ajuda desta tabela, levei menos de meio quarto de hora para descobrir que as décimas potências dos mil primeiros números, somadas, dão 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte II Conta-se que Gauss, menino, somou de 1 a 100 em segundos, emparelhando o primeiro com o último: $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$. Para os quadrados e os cubos também há fórmulas, conhecidas desde Arquimedes e os árabes:

October 11, 2026 Iniciar leitura

A cicloide: a curva da dor de dente

Pinte um ponto no pneu de uma bicicleta e empurre-a em linha reta. O ponto sobe, faz um arco e desce de novo até tocar o chão, uma vez a cada volta da roda. A curva que ele desenha se chama cicloide. No século XVII, ela era a curva da moda. Os franceses a chamavam de roulette. Tantos matemáticos brigaram pelas descobertas sobre ela que ganhou um apelido: a Helena dos geômetras, por causa da Helena de Troia, que provocou uma guerra.

October 8, 2026 Iniciar leitura

O princípio de Fermat: a luz escolhe o caminho mais rápido

Um salva-vidas está na areia e vê alguém se afogando no mar, mais adiante e para o lado. Qual caminho ele deve seguir? A linha reta é o caminho mais curto, mas não o mais rápido: ele corre na areia muito mais depressa do que nada na água. Vale a pena correr um pouco mais pela areia, para nadar menos. Fermat percebeu que a luz faz exatamente essa escolha. A reflexão: o menor caminho A ideia mais antiga é a do espelho. No século I, Heron de Alexandria já tinha notado que a luz, ao refletir, segue o caminho mais curto entre dois pontos passando pelo espelho.

October 7, 2026 Iniciar leitura

A série de Leibniz para π: uma soma simples e lenta

O número $\pi$ vem da geometria do círculo. Os números ímpares vêm da aritmética. Não há nenhum motivo aparente para que se encontrem. Mas se encontram: $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots$$Some e subtraia os inversos dos ímpares, alternando os sinais, e o resultado, multiplicado por 4, é $\pi$. Uma descoberta, três vezes Leibniz encontrou essa fórmula em 1673, em Paris, quando ainda aprendia matemática com Huygens. Mostrou o resultado ao mestre, que ficou impressionado e o elogiou. Foi a primeira grande descoberta de Leibniz e o que o convenceu de que podia ser matemático.

October 7, 2026 Iniciar leitura

Gravitação: da maçã à Lua

Se a maçã cai, por que a Lua não cai? Antes de Newton, a resposta parecia simples: o céu e a Terra seguiam regras diferentes. Na Terra, as coisas caem. No céu, os astros giram em círculos perfeitos, para sempre. A grande ideia de Newton foi desconfiar dessa separação: talvez a Lua esteja caindo o tempo todo. O canhão de Newton A macieira do pomar de Woolsthorpe Manor que a tradição aponta como a “árvore de Newton”.David Smith · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 Num rascunho para os Principia, Newton propôs um experimento mental. Imagine um canhão no alto de uma montanha altíssima, atirando na horizontal. Com pouca pólvora, a bala cai perto. Com mais, cai mais longe. Mas a Terra é redonda: se a bala for rápida o bastante, o chão vai se curvando para baixo na mesma medida em que ela cai. A bala cai para sempre e nunca chega ao chão. Ela entra em órbita.

October 6, 2026 Iniciar leitura

Ceres e o método dos mínimos quadrados

Em 1º de janeiro de 1801, o astrônomo Giuseppe Piazzi, em Palermo, descobriu um pontinho que se movia entre as estrelas: era Ceres, hoje classificado como planeta anão. Piazzi o acompanhou por 41 dias, até ele sumir no brilho do Sol. Com tão poucas observações, ninguém sabia calcular a órbita, e Ceres parecia perdido para sempre. Gauss, com 24 anos, criou um método novo e calculou a órbita em poucas semanas. Na noite de 31 de dezembro de 1801, o astrônomo Franz von Zach apontou o telescópio para onde Gauss indicava, e lá estava Ceres.

October 1, 2026 Iniciar leitura