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Por que o arco-íris aparece a 42°

Em Os Meteoros, Descartes explicou o arco-íris usando a lei da refração, que publicou em A Dióptrica. Quando a luz passa do ar para a água, ela desvia segundo $$\sin i = n \cdot \sin r,$$ em que $i$ é o ângulo de entrada, $r$ o ângulo dentro da água e $n \approx \frac{4}{3}$ para a água. (O holandês Willebrord Snell tinha achado a mesma lei antes, mas não publicou. Por isso ela se chama lei de Snell-Descartes.)

September 30, 2026 Iniciar leitura
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As pontes de Königsberg e o nascimento dos grafos

Königsberg em 1652, com o rio Pregel e suas ilhas. Dá para contar as pontes.Merian-Erben · domínio público A cidade de Königsberg (hoje Kaliningrado, na Rússia) era cortada pelo rio Pregel, que formava duas ilhas. Sete pontes ligavam as quatro regiões da cidade. Os moradores se perguntavam se era possível dar um passeio atravessando cada ponte exatamente uma vez.

September 29, 2026 Iniciar leitura
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A integral no plano complexo

No fim do século XVIII, Euler e Laplace calculavam integrais reais difíceis com um truque ousado: trocavam a variável real por uma complexa, faziam as contas e voltavam ao real. Laplace chamava isso de “passagem do real ao imaginário”. Os resultados batiam, mas ninguém sabia dizer quando o truque era legítimo. Foi para responder a essa pergunta que Cauchy, aos 25 anos, entregou à Academia em 1814 uma memória sobre as integrais definidas. Ela só foi publicada em 1827, e era apenas o começo.

October 31, 2026 Iniciar leitura
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A hipótese de Riemann

No meio do artigo de 1859 sobre os números primos, Riemann escreve uma frase quase de passagem. Falando de uma função ligada à zeta, cujas raízes reais correspondem aos zeros da zeta sobre a reta crítica, ele diz: É muito provável que todas as raízes sejam reais. Seria desejável, sem dúvida, uma demonstração rigorosa; mas, depois de algumas tentativas rápidas e vãs, deixei provisoriamente de lado a sua busca, pois ela não parecia necessária para o objetivo seguinte da minha investigação. — Bernhard Riemann, Sobre o número de primos menores que uma grandeza dada (1859)

October 31, 2026 Iniciar leitura
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O teorema do limite central

Jogue um dado: cada face tem a mesma chance, e o gráfico das probabilidades é plano. Jogue dois e some: a soma 7 é a mais provável, e o gráfico vira um triângulo. Jogue dez, trinta, cem: o gráfico da soma vai ganhando a forma de um sino. O mesmo acontece se, em vez de dados, somarmos moedas, roletas ou erros de medida. Esse fato surpreendente é o teorema do limite central.

October 30, 2026 Iniciar leitura
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A espiral de Arquimedes

No tratado Sobre as espirais, também dedicado a Dositeu, Arquimedes estuda uma curva nova, definida por um movimento. Se uma reta, num plano, gira com velocidade constante em torno de uma das suas extremidades, que fica fixa, e volta à posição de partida, e se, ao mesmo tempo, um ponto se move ao longo da reta com velocidade constante, a partir da extremidade fixa, o ponto descreverá uma espiral no plano. — Arquimedes, Sobre as espirais, definição

October 29, 2026 Iniciar leitura
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Uma mulher na universidade: o discurso de 1727 e a cátedra de Bolonha

Oratio qua ostenditur artium liberalium studia a femineo sexu neutiquam abhorrere. — Título do discurso de Agnesi, 1727 A frase latina quer dizer: “Discurso em que se mostra que os estudos das artes liberais não são de modo algum impróprios para o sexo feminino”. Agnesi tinha nove anos quando o recitou diante dos convidados do pai, em 1727. O texto tinha sido escrito em italiano por um dos seus professores; ela o traduziu para o latim e o decorou.

October 29, 2026 Iniciar leitura
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O teorema de Cayley–Hamilton

Todo quatérnio $q = a + v$, com parte escalar $a$ e parte vetorial $v$, satisfaz uma equação do segundo grau com coeficientes reais. Como $v^2 = -\lvert v \rvert^2$ (veja os vetores), $$q^2 = a^2 + 2av + v^2 = a^2 - \lvert v \rvert^2 + 2av,$$e daí $$q^2 - 2a\,q + \lvert q \rvert^2 = 0, \qquad \lvert q \rvert^2 = a^2 + \lvert v \rvert^2.$$Um quatérnio é raiz de um polinômio real de grau 2, assim como um número complexo $z$ é raiz de $z^2 - 2\operatorname{Re}(z)\,z + \lvert z \rvert^2 = 0$. Nas Lectures on Quaternions, de 1853, Hamilton foi mais longe e mostrou que certas funções lineares de quatérnios também satisfazem uma equação polinomial própria, que lhe serviu para calcular as suas inversas.

October 27, 2026 Iniciar leitura
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A moeda viciada que vira justa

Suponha que você tenha uma moeda torta. Ela cai cara com uma probabilidade $p$ que você não conhece, talvez $0{,}7$, talvez $0{,}55$. Dá para usá-la num sorteio perfeitamente justo, meio a meio? No mesmo artigo de 1951 em que falou do “estado de pecado” de quem fabrica números ao acaso, von Neumann deu uma resposta curta e surpreendente. O truque Jogue a moeda duas vezes: se sair cara, coroa, diga “cara”; se sair coroa, cara, diga “coroa”; se sair cara, cara ou coroa, coroa, esqueça e jogue mais duas vezes. Por que é justo? Os dois lançamentos são independentes, então

October 27, 2026 Iniciar leitura
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O jogo da imitação: uma máquina pode pensar?

Proponho considerar a pergunta: “As máquinas podem pensar?” — Alan Turing, “Computing Machinery and Intelligence” (1950) Assim começa o artigo que Turing publicou em 1950 na revista de filosofia Mind. Logo na frase seguinte, ele desiste da pergunta. Para respondê-la, seria preciso definir “máquina” e “pensar”, e qualquer definição viraria uma discussão sem fim sobre palavras. Turing propõe trocá-la por outra, que tem a vantagem de poder ser testada. As regras do jogo O jogo original tem três participantes: um homem, uma mulher e um interrogador, em salas separadas. O interrogador se comunica com os outros dois só por mensagens escritas e precisa descobrir quem é o homem e quem é a mulher. O homem tenta enganá-lo; a mulher tenta ajudá-lo.

October 18, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de John Napier, autor desconhecido, 1616, Galerias Nacionais da Escócia: página de origem · domínio público. Página de rosto da Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614: página de origem · domínio público. Uma página das tábuas de 1614: página de origem · domínio público. Página de rosto da Arithmetica logarithmica de Briggs, 1624, foto de Phidus: página de origem · CC BY-SA 4.0. Ossos de Napier do Museu Whipple, foto de Marsupium: página de origem · domínio público. Torre de Merchiston, foto de Kim Traynor: página de origem · CC BY-SA 3.0. Régua de cálculo, foto de Jacek Halicki: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog O mapa, o grafo da trajetória e as figuras interativas (as duas progressões, os dois pontos, a escala de Briggs, os ossos e a régua de cálculo) são originais e funcionam em todos os idiomas do site. O mapa usa dados do OpenStreetMap.

October 17, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Galois aos 15 anos, desenho de autor desconhecido: página de origem · domínio público. Galois desenhado pelo irmão Alfred, publicado em 1848: página de origem · domínio público. A carta a Auguste Chevalier, 29 de maio de 1832: página de origem · domínio público. O colégio Louis-le-Grand, em Paris, foto de Celette: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A figura das seis simetrias do triângulo é uma ilustração original. A tabuada do post foi conferida por programa, compondo as permutações dos cantos. A figura não tem texto e serve a todos os idiomas do site.

October 16, 2026 Iniciar leitura