Semiótica

Ler com as mãos e com os ouvidos: Braille e o código Nemeth

A escrita matemática comum é bidimensional. Em $\frac{x+1}{2}$, o que fica acima da barra é dividido pelo que fica abaixo; em $x^2$, o $2$ está no alto e por isso é expoente; em $\sqrt{x+1}$, o traço da raiz cobre exatamente o que está dentro. A posição faz parte do sinal, como o lugar de um algarismo num numeral. O olho lê tudo isso de uma vez. Mas e quem não lê com o olho?

October 25, 2026 Iniciar leitura

Escrever para pensar: os cadernos de Gauss e de Ramanujan

Toda escrita matemática tem um leitor. Às vezes o leitor é outra pessoa; às vezes é o próprio autor, dias ou anos depois. Os dois pedem escritas muito diferentes, e dois cadernos famosos mostram o que acontece quando um texto escrito para si mesmo cai nas mãos de outros. O diário de Gauss Em 30 de março de 1796, um estudante de 18 anos em Göttingen abriu um caderno pequeno e anotou, em latim, que tinha descoberto como dividir a circunferência em 17 partes iguais com régua e compasso, um problema aberto desde os gregos. Era Carl Friedrich Gauss, e foi esse resultado que o fez escolher a matemática em vez da filologia. Nos dezoito anos seguintes, ele escreveu no caderno 146 anotações curtas, quase sempre uma frase, às vezes uma fórmula.

October 25, 2026 Iniciar leitura

Erros que fazem sentido: as regras falsas

Pergunte a uma turma quanto é $(a+b)^2$ e uma parte responderá $a^2 + b^2$. Pergunte quanto é $\sqrt{9 + 16}$ e alguém dirá $3 + 4 = 7$. Esses erros são tão comuns, e tão parecidos de uma escola para outra, que não podem ser acaso. Eles seguem uma regra. A regra que se estica demais Em 1982, a pesquisadora americana Marilyn Matz estudou os erros de álgebra de estudantes do ensino médio e propôs que muitos deles vêm de regras falsas (malrules) construídas a partir de regras verdadeiras. A mais produtiva de todas é a distributiva:

October 25, 2026 Iniciar leitura

As convenções que ninguém escreve

Toda escrita tem regras que ninguém lembra de ter aprendido. Em português, lemos da esquerda para a direita e de cima para baixo; em árabe, da direita para a esquerda. A escrita matemática também tem regras desse tipo, e algumas são tão fortes que parecem verdades matemáticas. Não são: são convenções, combinações que poderiam ter sido outras. A ordem das operações Quanto é $2 + 3 \cdot 4$? Quase todo mundo responde $14$: primeiro a multiplicação, depois a soma. Mas nada na matemática obriga essa ordem. Se a convenção fosse “da esquerda para a direita”, a resposta seria $20$. A regra que usamos (potências, depois multiplicações e divisões, depois somas e subtrações) foi se fixando aos poucos, nos livros de álgebra dos séculos XVI a XIX, porque economiza parênteses nas expressões que mais aparecem: polinômios como $3x^2 + 2x + 1$ seriam ilegíveis de outro jeito.

October 25, 2026 Iniciar leitura

A idade do capitão: do enunciado à equação

No fim dos anos 1970, pesquisadores do Instituto de Pesquisa sobre o Ensino de Matemática (IREM) de Grenoble, na França, propuseram a crianças do ensino fundamental um problema estranho: Num barco há 26 carneiros e 10 cabras. Qual é a idade do capitão? O problema não tem resposta: nada no enunciado fala da idade de ninguém. Mesmo assim, segundo o relato que a educadora Stella Baruk tornou famoso no livro L’âge du capitaine (1985), 76 de 97 crianças responderam com um número, quase sempre $36$, a soma dos dois que apareciam no texto.

October 25, 2026 Iniciar leitura

Duas línguas na mesma frase: o registro matemático

Um texto de matemática em português é escrito em duas línguas ao mesmo tempo. Uma é a dos sinais: $=$, $+$, $x$, $\sqrt{\ }$. A outra parece português, mas não é exatamente: usa palavras de todo dia com sentidos combinados entre matemáticos, e as duas se misturam na mesma frase. O linguista inglês Michael Halliday chamou essa variedade da língua de registro matemático, nos anos 1970. Um registro é um jeito de falar ligado a uma atividade, como o da cozinha (“refogar”, “ponto de fio”) ou o do futebol (“impedimento”, “bola parada”). O registro matemático tem um problema a mais: muitas de suas palavras já existem no português comum, com outro sentido, e o leitor não é avisado quando o sentido muda.

October 25, 2026 Iniciar leitura

Ler antes de calcular: o quadro de Bogdanov-Belsky

Em 1895, o pintor russo Nikolai Bogdanov-Belsky expôs um quadro chamado Cálculo mental. Na escola popular de S. A. Rachinsky. Numa sala de aula de aldeia, meninos camponeses descalços olham para o quadro-negro, alguns com a mão no queixo, um cochichando no ouvido do professor. No quadro está escrito: $$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}.$$ Nikolai Bogdanov-Belsky, Cálculo mental. Na escola popular de S. A. Rachinsky (1895). Galeria Tretiakov, Moscou.Nikolai Bogdanov-Belsky · Wikimedia Commons · domínio público O professor de verdade existiu. Serguei Rachinsky era professor de botânica na Universidade de Moscou e largou a carreira para ensinar filhos de camponeses na aldeia de Tatevo, onde tinha nascido. Gostava de propor contas que pareciam enormes e tinham um atalho. O próprio Bogdanov-Belsky tinha sido aluno dele.

October 25, 2026 Iniciar leitura

Contar, falar e escrever números

A primeira escrita matemática que sobreviveu é um osso riscado. O osso de Ishango, encontrado em 1950 às margens do lago Eduardo, na fronteira entre a República Democrática do Congo e Uganda, tem cerca de 20 mil anos e traz grupos de traços paralelos gravados em três colunas. Ninguém sabe ao certo o que eles contavam. Mas a ideia é clara: um traço para cada coisa. O osso de Ishango, com os grupos de traços gravados ao longo do cabo. Museu de Ciências Naturais, Bruxelas.Joeykentin · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 Na linguagem do capítulo 2, o traço é um ícone: cinco riscos se parecem com cinco ovelhas, pelo menos na quantidade. Por isso essa escrita não precisa ser ensinada. Basta olhar. O preço é o tamanho: para escrever mil, mil riscos.

October 25, 2026 Iniciar leitura

Referências e créditos

Para aprofundar Euler, Leonhard. Lettres à une princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie. São Petersburgo, 1768–1772. As cartas 102 a 108 tratam dos silogismos com círculos. Venn, John. On the diagrammatic and mechanical representation of propositions and reasonings. The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine, 10, 1880, p. 1–18. Peirce, Charles S. Collected Papers, vol. 4. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933. Sobre os diagramas e o raciocínio diagramático. Clagett, Marshall (ed.). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions. Madison: University of Wisconsin Press, 1968. Playfair, William. The Commercial and Political Atlas. Londres, 1786. Tufte, Edward R. The Visual Display of Quantitative Information. Cheshire: Graphics Press, 1983. Huff, Darrell. How to Lie with Statistics. Nova York: W. W. Norton, 1954. Cleveland, William S. The Elements of Graphing Data. Monterey: Wadsworth, 1985. Argand, Jean-Robert. Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Paris, 1806. Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton: Princeton University Press, 1998. Nelsen, Roger B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington: Mathematical Association of America, 1993. Abbott, Edwin A. Flatland: A Romance of Many Dimensions. Londres: Seeley, 1884. Garland, Ken. Mr Beck’s Underground Map. Harrow Weald: Capital Transport, 1994. Fontes das imagens Imagem Fonte Licença Exportações e importações com a África, de Playfair (1786) Wikimedia Commons domínio público O mapa da cólera de John Snow (1854) Wikimedia Commons domínio público O diagrama das causas de mortalidade de Florence Nightingale (1858) Wikimedia Commons domínio público A campanha da Rússia, de Charles Minard (1869) Wikimedia Commons domínio público Folha de rosto do ensaio de Argand (1806) Wikimedia Commons domínio público Königsberg em 1652, gravura dos herdeiros de Merian Wikimedia Commons domínio público Folha de rosto de Flatland, edição americana de 1885 Wikimedia Commons domínio público Planta de uma casa da Terra Plana, desenho de Abbott Wikimedia Commons domínio público Os diagramas dos círculos de Euler, das latitudes de Oresme e da escada da soma foram produzidos para este livro e não têm texto, por isso servem aos quatro idiomas. As figuras interativas (a escala do gráfico, o plano de Argand e o hipercubo) funcionam nos quatro idiomas do site. O registro das imagens baixadas, com o hash de cada arquivo, está em data/semiotica_imagens.json.

October 19, 2026 Iniciar leitura

Como ler um diagrama: roteiro e glossário

Este capítulo leu desenhos. O roteiro abaixo junta as perguntas que ajudam a lê-los com o mesmo cuidado com que se lê uma fórmula. Cinco perguntas para um diagrama O que o desenho copia? Um diagrama é um ícone de algumas relações, nunca de todas. Num grafo, só as ligações; num diagrama de Venn, só as inclusões. Descubra o que importa e ignore o resto. O que é convenção? A escala, o começo dos eixos, as cores, a proporção da caixa. Essas escolhas não aparecem como afirmações, e mudam o que o olho conclui. Comprimento, área ou ângulo? O olho compara comprimentos bem, áreas mal e ângulos pior. Pergunte qual deles carrega a informação e se ele foi desenhado na proporção certa. O desenho prova ou ilustra? Se cada relação usada pelo olho pode ser garantida por um argumento, o desenho prova. Se não, ilustra, e pode enganar. O que ficou de fora? Uma dimensão a mais, uma variável que não coube, um valor que o eixo cortou. Todo desenho é uma escolha, e a escolha diz algo. A leitura completa de um gráfico de jornal Um jornal mostra, num gráfico de linhas, o preço de um produto que foi de 10 reais a 10,50 reais em um ano, com o eixo vertical indo de 9,90 a 10,60. A linha atravessa o gráfico inteiro de baixo para cima.

October 19, 2026 Iniciar leitura

A quarta dimensão: desenhar o que não se vê

Todos os diagramas deste capítulo têm uma vantagem: o objeto representado cabe, de algum modo, no papel. Mas a matemática fala com naturalidade de espaços de quatro, dez ou um milhão de dimensões. A álgebra não tem dificuldade nenhuma: um ponto de quatro dimensões é só uma lista de quatro números, $(x,y,z,w)$. O olho, porém, vive em três. Como se desenha o que não se pode ver? Flatland A folha de rosto de Flatland: um romance de muitas dimensões, “por um Quadrado”, na edição americana de 1885. O autor verdadeiro era o professor inglês Edwin Abbott.Edwin A. Abbott · Wikimedia Commons · domínio público Em 1884, Edwin Abbott, diretor de uma escola em Londres, publicou sob o pseudônimo de Um Quadrado um pequeno romance chamado Flatland, a Terra Plana. O narrador é um quadrado que vive num mundo de duas dimensões, habitado por triângulos, quadrados, pentágonos e círculos. Os habitantes só enxergam segmentos: olhando de lado, todo polígono é uma linha.

October 19, 2026 Iniciar leitura

Provas sem palavras

Em 1993, a Associação Matemática da América publicou um livro curioso, organizado por Roger Nelsen: Provas sem palavras. Cada página traz um desenho e, às vezes, uma fórmula embaixo. Nenhuma frase. A ideia é que o leitor olhe, entenda e se convença sem que ninguém explique nada. O livro fez tanto sucesso que ganhou mais dois volumes, e a revista Mathematics Magazine publica provas assim até hoje. A escada que vira retângulo Uma escada com 1, 2, 3 e 4 quadradinhos, e duas escadas iguais encaixadas formando um retângulo de 4 por 5.Diagrama didático produzido para este livro. Quanto vale $1+2+3+4$? Desenhe uma escada com essas fileiras de quadradinhos. Agora faça uma cópia, gire-a e encaixe-a ao lado: as duas escadas formam um retângulo de $4$ por $5$, com $20$ quadradinhos. Cada escada tem metade:

October 19, 2026 Iniciar leitura