A escrita matemática comum é bidimensional. Em $\frac{x+1}{2}$, o que fica acima da barra é dividido pelo que fica abaixo; em $x^2$, o $2$ está no alto e por isso é expoente; em $\sqrt{x+1}$, o traço da raiz cobre exatamente o que está dentro. A posição faz parte do sinal, como o lugar de um algarismo num numeral. O olho lê tudo isso de uma vez. Mas e quem não lê com o olho?

Os pontos de Braille

Em 1829, o francês Louis Braille, cego desde os cinco anos e professor no Instituto Real dos Jovens Cegos de Paris, publicou um sistema de escrita com seis pontos em relevo arrumados em duas colunas de três. Cada combinação é um sinal: há $2^6 - 1 = 63$ combinações com pelo menos um ponto, o bastante para as letras, a pontuação e os números. Para os números, Braille usou um truque econômico: um sinal de número antes das dez primeiras letras faz $a$ valer $1$, $b$ valer $2$, até $j$ valer $0$.

O Braille é uma escrita linear: um sinal depois do outro, numa linha. Para escrever matemática nele, é preciso dizer com sinais aquilo que a escrita comum diz com a posição: onde começa e onde termina uma fração, onde termina um expoente, até onde vai uma raiz.

O cubaritmo

Para as contas, as escolas para cegos usaram por muito tempo o cubaritmo: uma grade de casas quadradas em que se encaixam pequenos cubos, cada face com um sinal Braille de algarismo. O aluno monta uma conta armada como no caderno, com as unidades debaixo das unidades, e sente com os dedos as colunas. A posição volta a existir, agora no tato.

Apresentação do cubaritmo na revista francesa *Recherches et inventions* (1926): uma grade em que se encaixam cubos com algarismos em Braille, para fazer contas armadas pelo tato.
Apresentação do cubaritmo na revista francesa Recherches et inventions (1926): uma grade em que se encaixam cubos com algarismos em Braille, para fazer contas armadas pelo tato.Pierre Villey · Wikimedia Commons · domínio público

O código Nemeth

O americano Abraham Nemeth (1918–2013) nasceu cego e foi desaconselhado a estudar matemática: disseram-lhe que não teria como ler as fórmulas. Formou-se em psicologia, trabalhou com outras coisas e, nas horas vagas, continuou estudando matemática; acabou fazendo doutorado em matemática na Universidade Columbia e foi professor universitário por décadas. Para ler e escrever o que estudava, criou um código Braille para matemática, adotado oficialmente nos Estados Unidos em 1952 e conhecido até hoje como código Nemeth.

A ideia central do código é transformar a posição em sinais de abertura e fechamento. Uma fração é escrita como “início de fração, numerador, barra, denominador, fim de fração”; um expoente, como “subir de nível, expoente, voltar à linha de base”. É o que se faz hoje, por outros motivos, ao digitar matemática num teclado:

$$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

vira, no TeX de Knuth, a escrita usada em todo este site,

\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

com chaves no lugar da posição. Em ambos os casos, a linearização revela a estrutura: quem escreve é obrigado a dizer onde cada parte começa e termina.

Ler em voz alta

Os programas leitores de tela e os professores que ditam uma fórmula enfrentam o mesmo problema. “$x$ mais um sobre dois” pode ser $\frac{x+1}{2}$ ou $x + \frac{1}{2}$. Na fala comum, a diferença se faz com pausas e entonação, que somem num texto. Os leitores de tela que leem matemática resolvem como Nemeth: dizem “início da fração, $x$ mais um, sobre dois, fim da fração”. Parece pesado, mas é exatamente a informação que o desenho dá ao olho sem palavras.

Exercício: dite sem ambiguidade

Escreva em palavras, de forma que um ouvinte não possa errar, as expressões $\sqrt{x+1}$, $\sqrt{x} + 1$ e $\frac{\sqrt{x+1}}{2}$.

“Raiz quadrada de, abre, $x$ mais um, fecha.” “Raiz quadrada de $x$, fim da raiz, mais um.” “Início da fração: raiz quadrada de, abre, $x$ mais um, fecha; sobre dois; fim da fração.” As palavras “abre”, “fecha” e “fim” fazem o papel dos traços que a escrita comum desenha.

Exercício: do teclado para o papel

Escreva na notação comum: \frac{1}{1+\frac{1}{x}} e x^{2^n}, e simplifique a primeira.

A primeira é $\dfrac{1}{1 + \frac{1}{x}}$, uma fração dentro de outra. Multiplicando em cima e embaixo por $x$, fica $\dfrac{x}{x+1}$ (para $x \neq 0$ e $x \neq -1$). A segunda é $x^{2^n}$: o expoente $2^n$ tem ele mesmo um expoente, e as chaves dizem que o $n$ pertence ao $2$, não ao $x$.

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