Toda escrita tem regras que ninguém lembra de ter aprendido. Em português, lemos da esquerda para a direita e de cima para baixo; em árabe, da direita para a esquerda. A escrita matemática também tem regras desse tipo, e algumas são tão fortes que parecem verdades matemáticas. Não são: são convenções, combinações que poderiam ter sido outras.

A ordem das operações

Quanto é $2 + 3 \cdot 4$? Quase todo mundo responde $14$: primeiro a multiplicação, depois a soma. Mas nada na matemática obriga essa ordem. Se a convenção fosse “da esquerda para a direita”, a resposta seria $20$. A regra que usamos (potências, depois multiplicações e divisões, depois somas e subtrações) foi se fixando aos poucos, nos livros de álgebra dos séculos XVI a XIX, porque economiza parênteses nas expressões que mais aparecem: polinômios como $3x^2 + 2x + 1$ seriam ilegíveis de outro jeito.

Nos Estados Unidos, os alunos a decoram como PEMDAS; no Reino Unido, como BODMAS. Os nomes mudam, a convenção é a mesma, e ela tem uma lacuna que aparece de tempos em tempos nas redes sociais:

$$6 \div 2(1+2) = \ ?$$

Quem aplica a regra ao pé da letra, da esquerda para a direita entre divisões e multiplicações, faz $6 \div 2 = 3$ e depois $3 \cdot 3 = 9$. Quem lê o $2(1+2)$ como um bloco, porque a multiplicação está implícita, sem sinal, faz $6 \div 6 = 1$. As duas leituras têm defensores, e algumas normas de publicação científica preferem a segunda. O ponto não é decidir quem está certo: é perceber que a expressão está mal escrita. Um matemático nunca a escreveria assim. Escreveria $\frac{6}{2}(1+2)$ ou $\frac{6}{2(1+2)}$, e a dúvida desapareceria.

Sinais que se comportam mal

  • $-3^2$. A potência vem antes do sinal de menos, então $-3^2 = -(3^2) = -9$. Para obter $9$, escreve-se $(-3)^2$. Muitas calculadoras e planilhas seguem essa convenção; algumas não.
  • $\operatorname{sen}^2 x$. Quer dizer $(\operatorname{sen} x)^2$, por um costume antigo, que poupa um par de parênteses. Mas $\operatorname{sen}^{-1} x$ quer dizer $\operatorname{arc\,sen} x$, a função inversa, e não $\frac{1}{\operatorname{sen} x}$. O mesmo expoente em cima do mesmo símbolo tem dois significados, como vimos no capítulo 3.
  • $2a$ e $2\tfrac{1}{2}$. Juntar um número e uma letra quer dizer multiplicar: $2a = 2 \cdot a$. Juntar um número e uma fração, nos livros que usam frações mistas, quer dizer somar: $2\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$. A mesma justaposição, duas operações.
  • $f(x+1)$ e $a(x+1)$. O primeiro é o valor da função $f$ no ponto $x+1$; o segundo é um produto. Só o contexto diz se a letra antes do parêntese é uma função ou um número.

A vírgula e o ponto

No Brasil, $1{,}5$ é um e meio e $1.500$ é mil e quinhentos. Nos Estados Unidos, é o contrário: $1.5$ é um e meio e $1,500$ é mil e quinhentos. Um mesmo sinal, $1.000$, vale mil num país e um no outro. A Conferência Geral de Pesos e Medidas aceitou, em 2003, os dois separadores decimais e recomendou separar os milhares com um espaço fino, $1\,500$, justamente para que o número não dependa do país de quem lê.

Exercício: o sinal e a potência

Calcule $-2^2 + (-2)^2$ e $-2^3 + (-2)^3$.

$-2^2 + (-2)^2 = -4 + 4 = 0$. Já $-2^3 + (-2)^3 = -8 + (-8) = -16$: com expoente ímpar, os dois sentidos coincidem, $-2^3 = (-2)^3 = -8$. Por isso o problema só aparece com expoentes pares, e quem só treinou com cubos pode nem perceber que ele existe.

Exercício: escreva sem ambiguidade

Reescreva $6 \div 2(1+2)$ de duas formas sem ambiguidade, uma para cada leitura, e dê o valor de cada uma.

Leitura da esquerda para a direita: $\dfrac{6}{2}\cdot(1+2) = 3 \cdot 3 = 9$. Leitura com o bloco: $\dfrac{6}{2(1+2)} = \dfrac{6}{6} = 1$. A barra de fração, inventada justamente para mostrar o que fica em cima e o que fica embaixo, resolve o que o sinal $\div$ deixa em aberto.

Índice do capítulo · ← A idade do capitão: do enunciado à equação · Erros que fazem sentido: as regras falsas →